专题10 几何图形初步中动角问题压轴题真题分类（解析版）-2023-2024学年七年级数学上册重难点题型分类高分必刷题（人教版）

专题10几何图形初步中动角问题真题分类（解析版）专题简介：本份资料专攻《几何图形初步》这一章中动角问题的压轴题，所选题目源自各名校月考、期末试题中的压轴题真题，难度较大，具体分成单动角问题和双动角问题，适合于想挑战满分的学生考前刷题使用，也适合于培训机构的老师培训尖子生时使用。题型一：单动角问题1．（雅礼）已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°．（1）如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD＝98°，求∠BOC的度数；（2）如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠EOC＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD，求∠EOF的度数．【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠AOD＝98°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣98°＝22°，∵∠COD＝60°，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝60°+22°＝82°；∠AOD与∠BOC互补，理由：∵∠AOB+∠COD＝120°+60°＝180°，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOB+∠COD＝∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝∠AOD+∠BOC＝180°，∴∠AOD与∠BOC互补；（3）设∠BOC＝n°，则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠COD+∠BOC＝60°+n°，∵∠AOE＝∠AOC，∴∠EOC＝∠AOC＝40°+n°．∵∠DOF＝∠BOD，∴∠DOF＝（60+n）＝20°+n°，∴∠COF＝∠COD﹣∠DOF＝40°﹣n°，∴∠EOF＝∠EOC+∠COF＝40°+n°+40°﹣n°＝80°．2．（长郡）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD．（1）如图1，当OA，OC重合时，∠EOF＝度；（2）若将∠COD从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角∠AOC＝α，满足0°＜α＜90°且α≠40°．①如图2，用等式表示∠BOF与∠COE之间的数量关系，并说明理由；②在∠COD旋转过程中，请用等式表示∠BOE与∠COF之间的数量关系，并直接写出答案．【解答】解：（1）∵OA，OC重合，∴∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝100°+40°＝140°，∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD＝∠AOD＝×40°＝20°，∠DOF＝∠BOD＝×140°＝70°，∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝70°﹣20°＝50°；（2）①∠BOF+∠COE＝90°；理由如下：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD＝∠AOE＝∠AOD＝（40°+α）＝20°+α，∠BOF＝∠BOD＝（∠AOB+∠COD+α）＝（100°+40°+α）＝70°+α，∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°+α﹣α＝20°﹣α，∴∠BOF+∠COE＝70°+α+20°﹣α＝90°；②由①得：∠EOD＝∠AOE＝20°+α，∠DOF＝∠BOF＝70°+α，当∠AOC＜40°时，如图2所示：∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝70°+α﹣40°＝30°+α，∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝2（70°+α）﹣（20°+α）＝120°+α，∴∠BOE﹣∠COF＝120°+α﹣（30°+α）＝90°，当40°＜∠AOC＜90°时，如图3所示：∠COF＝∠DOF+∠DOC＝（360°﹣140°﹣α）+40°＝150°﹣α，∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝140°+α﹣（20°+α）＝120°+α，∴∠COF+∠BOE＝150°﹣α+（120°+α）＝270°；综上所述，∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系为∠BOE﹣∠COF＝90°或∠COF+∠BOE＝270°．3．（明德）如图①，已知线段MN＝24cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．（1）若AM＝8cm，AB＝2cm，求CD的长度；（2）若AB＝2acm，线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．（3）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．当∠AOB转动时，∠COD是否发生变化？∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系，请说明理由．【解答】解：（1）①∵MN＝24cm，AB＝2cm，AM＝8cm，∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝14（cm），∵点C和点D分别是AM，BN的中点，∴AC＝AM＝4cm，BD＝BN＝7cm．∴AC+BD＝11（cm）．∴CD＝AC+AB+BD＝11+2＝13（cm）．即CD的长为14cm．②不变，理由如下：∵点C和点D分别是AM，BN的中点，∴AC＝AM，BD＝BN，∴AC+BD＝AM+BN＝（AM+BN）．又∵MN＝24cm，AB＝2acm，∴AM+BN＝MN﹣AB＝24﹣2a（cm）．∴AC+BD＝（AM+BN）＝12﹣a（cm）．∴CD＝AC+AB+BD＝12﹣a+2a＝12+a（cm）．（2）∠COD＝（∠MON+AOB）．理由如下：∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，∴∠AOC＝∠AOM，∠BOD＝∠BON．∴∠AOC+∠BOD＝∠AOM+∠BON＝（∠AOM+∠BON）．∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB＝（∠AOM+∠BON）+∠AOB＝（∠MON﹣∠AOB）+∠AOB＝（∠MON+AOB）．4．（师大）若A、O、B三点共线，∠BOC＝50°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE＝90°，∠DEO＝30°）．（1）如图1，使三角板的短直角边OD在射线OB上，则∠COE＝；（2）如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC，则OD所在射线是∠BOC的；（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到使∠COD＝∠AOE时，求∠BOD的度数；（4）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE恰好与直线OC重合，求t的值．【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝50°，∴∠COE＝40°，故答案为40°；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，∵∠COE+DOC＝∠DOE＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∴∠DOC＝∠DOB，∴DO平分∠BOC，∴DO是∠BOC的角平分线，故答案为：角平分线；（3）∵∠COD＝∠AOE，∠COD+∠DOE+∠AOE＝130°，∴5∠COD＝40°，∴∠COD＝8°，∴∠BOD＝58°；当OE与射线OC的反向延长线重合时，5t+40＝180，∴t＝28，当OE与射线OC重合时，5t＝360﹣40，∴t＝64，综上所述：t的值为28或64．5．（雅礼）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使。将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方.（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分。问：此时直线是否平分？请说明理由.（2）将图1中的三角板绕点以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则直接写出的值______.（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，求的度数是否为定值，若是，求出其度数；若不是，说明理由.【解答】解：（1）平分，理由：延长NO到D，∵∠MON＝90°∴∠MOD＝90°∴∠MOB+∠NOB＝90°，∠MOC+∠COD＝90°，∵∠MOB＝∠MOC，∴∠NOB＝∠COD，∵∠NOB＝∠AOD，∴∠COD＝∠AOD，∴直线NO平分∠AOC；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC＝130°∴∠AOC＝50°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝25°，∴∠BON＝25°，∠BOM＝65°，即逆时针旋转的角度为65°，由题意得，6t＝65°解得t＝（s）；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝25°，∴∠AOM＝65°，即逆时针旋转的角度为：180°+65°＝245°，由题意得，6t＝245°，解得t＝（s），综上所述，t＝s或s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；（3）∠AOM﹣∠NOC＝40°，理由：∵∠AOM＝90°﹣∠AON∠NOC＝50°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（50°﹣∠AON）＝40°．6.（一中）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠COD＝∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．根据以上信息，解决下面的问题：（1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝25°，若∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝10°；（2）如图2，已知∠AOB＝60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜60°）至∠COD．若∠COB是∠AOD的内半角，求α的值；（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置．使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图4，将三角板COD绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，直接写出t的值．【解答】解：（1）∵∠COD是∠AOB的内半角，，∠AOB＝70°，∴∠COD＝∠AOB＝35°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣25°﹣35°＝10°，故答案为：10°；（2）由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝α，∠COD＝∠AOB＝60°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝α+60°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣α，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠AOD＝2∠COB，即α+60°＝2（60°﹣α），解得：α＝20°，∴α的值为20°；（3）①如图4所示，此时∠COB是∠AOD的内半角，由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3t°+30°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝30°﹣3t°，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠AOD＝2∠COB，即3t°+30°＝2（30°﹣3t°），解得：t＝；②如图所示，此时∠BOC是∠AOD的半角，由旋转性质可得：∠AOC＝∠BOD＝3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3t°+30°，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝3t°﹣30°，∵∠BOC是∠AOD的内半角，∴∠AOD＝2∠BOC，即3t°+30°＝2（3t°﹣30°），解得：t＝30；③如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角，由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝360°﹣3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝390°﹣3t°，∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝330°﹣3t°，∵∠AOD是∠BOC的内半角，∴∠BOC＝2∠AOD，即390°﹣3t°＝2（330°﹣3t°），解得：t＝90；④如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角，由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝360°﹣3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝390°﹣3t°，∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝3t°﹣330°，∵∠AOD是∠BOC的内半角，∴∠BOC＝2∠AOD，即390°﹣3t°＝2（3t°﹣330°），解得：t＝；综上所述：当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，t的值为或30或90或．题型二：双动角问题7.（雅礼）一副三角尺(分别含，，和，，)按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为.(1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_______度；(2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转.①当为何值时，边平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）；（2）①t＝8.75秒；②t＝8.75秒或秒.8．（北雅）已知∠AOD＝40°，射线OC从OD出发，绕点O以20°/秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒．射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD．（1）如图①：如果t＝4秒，求∠EOA的度数；（2）如图①：若射线OC旋转时间为t（t≤7）秒，求∠EOF的度数（用含t的代数式表示）；（3）若射线OC从OD出发时，射线OB也同时从OA出发，绕点O以60°/秒的速度逆时针旋转，射线OC、OB在旋转过程中（t≤3），∠COE＝∠BOE．请你借助图②与备用图进行分析后，（Ⅰ）求此时t的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（1）如图①，根据题意，得∠DOC＝4×20°＝80°，∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+80°＝120°，∵射线OE平分∠AOC，∴AOE＝∠AOC＝60°，答：∠EOA的度数为60°．（2）根据题意，得∠COD＝（20t）°∴∠AOC＝（40+20t）°，∵射线OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD，∴∠AOE＝（40+20t）＝（20+10t）°，∠AOF＝20°，∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝（10t）°，答：∠EOF的度数为（10t）°．（3）（Ⅰ）如图②当射线OB在∠AOF内部时，∠COE＝∠AOC＝（20t+40）°＝（10t+20）°，∠BOE＝＝∠AOE﹣∠AOB＝（10t+20﹣20）°＝（10t）°，根据题意10t+20＝10t，此方程无解；如备用图当射线OB在∠AOF外部时，∠COE＝∠AOC＝（20t+40）°＝（10t+20）°，∠BOE＝（50t﹣20）°，根据题意10t+20＝（50t﹣20），解得t＝2；（Ⅱ）当t＝2s时∠EOF＝20°，∠BOC＝40°，所以．9．（雅礼）如图1，已知∠AOC＝140°，∠BOC的余角比它的补角的少10°．（1）求∠BOC的度数；（2）如图1，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，保持射线OP始终在∠BOA的内部，当∠POC＝10°时，求旋转时间．（3）如图2，若射线OD为∠AOC的平分线，当射线OP从OB处绕点O以4度/秒的速度逆时针旋转，同时射线OT从射线OD处以x度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当这两条射线重合于射线OE处（OE在∠DOC的内部）时，，求x的值．（注：本题中所涉及的角都是小于180°的角）【解答】解：（1）根据题意可知，90°﹣∠BOC＝（180°﹣∠BOC）﹣10°，解得∠BOC＝20°；（2）设旋转时间为t秒，根据射线的运动可知，∠BOP＝4°t，当OP到达OC前，∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝20°﹣4°t，∴20°﹣4°t＝10°，解得t＝2.5；当OP到达OC后，∠POC＝∠BOP﹣BOC＝4°t﹣20°，∴4°t﹣20°＝10°，解得t＝7.5；∴当∠POC＝10°时，旋转时间为2.5秒或7.5秒．（3）∵∠AOC＝140°，OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝70°，∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝90°，设相遇时，旋转的时间为t秒，根据射线的运动可知，∠BOP＝∠BOE＝4°t，∠TOD＝∠DOE＝x°t，∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝4°t﹣20°，∠DOE+∠BOC＝x°t+20°，∠BOD＝4°t+x°t＝90°，∴4°t﹣20°+x°t+20°＝90°，∵，∴（x°t+20°）：（4°t﹣20°）＝7：2，即[90°﹣（4°t﹣20°）]：（4°t﹣20°）＝7：2，解得4°t﹣20°＝20°，即t＝10，∴4°×10+10•x°＝90°，解得x＝5．

10．（长郡）如图1，在数轴上A、B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝；（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．①当t＝1时，α＝；②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α，β满足|α﹣β|＝45°，请用t的式子表示α、β并直接写出t的值．【解答】（1）∵CF平分∠ACE，∴∠AOF＝∠AOE＝45°，故答案为：45°；（2）①∵t＝1，∴∠ACD＝30t＝30°，∵∠DCE＝90°，∴∠ACE＝120°，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF＝60°，∵∠DCF＝α，∴α＝∠ACF﹣∠ACD＝30°，故答案为：30°；②∠BCE＝2α，证明：∠BCE＝180°﹣（90°+30t）＝90°﹣30t，由平分知：90°﹣α＝α+30t30t＝90°﹣2α，∴∠BCE＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α；（3）α＝∠FCA﹣∠DCA＝（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t+（90°﹣30t）＝45°+15t，∵|α﹣β|＝45°，∴|30t|＝45°，∴t＝±，∵0＜t＜3，∴t＝．11.（师大）如图，两条直线，相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为每秒，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为每秒，运动时间为秒(，本题出现的角均不大于平角)(1)图中一定有________个直角；当时，的度数为________；(2)①若等于平角时，求此时的值；②若平分，平分，当为直角时，请求出的值；(3)当射线在内部时，是不是一个定值？若是，请求出这个定值.【解答】解：（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角；当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°，故答案为：4；114°；（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠DON＝12t，∠COM＝15t﹣90°，∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，∴，．∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，（15t﹣90）+×12t＝90，解得t＝10，∴当∠EOF为直角时，t值为10．（3）当∠MON＝180°时∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°解得，当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6，①如图所示，当时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，∴＝＝．（不是定值）②如图所示，当时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，∴，＝＝．（是定值）综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为，这个定值是3．12.（广益）如图，两个形状，大小完全相同的含有、的三角板如图放置，、与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点逆时针旋转.(1)①如图1，________度.②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板不动，三角板从图示位置开始每秒开始逆时针旋转一周(旋转)，问旋转时间为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”.(2)如图3，若三角板的边从外开始绕点逆时针旋转，转速秒，同时三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速秒，在两个三角板旋转过程中，(转到与重合时，两三角板都停止转动).设两个三角板旋转时间为秒，以下两个结论：①为定值；②为定值，请选择你认