高考数学一轮复习 单元质检8 解析几何（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

单元质检八解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=02.已知方程x2m2+n−A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3)3.若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2A.2 B.3 C.2 D.24.已知直线过点A(0,3),圆(x-1)2+y2=4被该直线截得的弦长为23,则该直线的方程是()A.y=-43x+3B.x=0或y=-43x+C.x=0或y=43x+3D.x=05.(2018全国Ⅱ,理12)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过点A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠FA.23 B.12 C.13 6.(2018全国Ⅰ,理11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(A.32 B.3 C.23 D.7.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为FA.3 B.6 C.12 D.428.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且∠AFB=α(α为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N.若|AB||MN|的最小值为1,则A.π6 B.π4 C.π3 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=10.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x212−y211.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A.若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点.若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.

13.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若14.(2018全国Ⅲ,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=.

三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.16.(13分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=49,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率17.(13分)(2018全国Ⅲ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1)证明:k<-12(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB=0.证明:2|FP|=|FA18.(13分)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x,且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-3,求双曲线的离心率.19.(14分)(2018上海,20)设常数t>2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A,与Γ交于点B,P,Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F的距离;(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;(3)设t=8,是否存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.20.(14分)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12,已知A是抛物线y2=2px(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为62,求直线AP的方程单元质检八解析几何1.D解析设所求直线方程为3x-4y+m=0(m≠1),由|m-1|5=3,解得即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.A解析由题意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2<n<3m2.又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m2+n+3m2-n=4,即m2=1,所以-1<n<3.3.A解析可知双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为2ba2+b2=22-4.B解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线的方程为x=0,此时圆(x-1)2+y2=4被截得的弦长为23.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为23,圆的半径为2,所以弦心距为22-(3由点到直线距离公式,得|k+3|k2综上所述,所求直线方程为x=0或y=-43x+35.D解析∵A(-a,0),△PF1F2为等腰三角形,∴|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PE⊥x轴.∵∠F1F2P=120°,∴∠PF2E=60°.∴|F2E|=c,|PE|=3c,∴P(2c,3c).∵kPA=36,∴PA所在直线的方程为y=36(x+a∴3c=36(2c+a).∴e=c6.B解析由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±33x,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°不妨设∠OMN=90°,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=3,所以|MN|=3.7.B解析因为双曲线的离心率为2,所以e2=c2a2=a2+b2所以双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±3x,代入得x=23p或x=0,故xA=xB=23又因为|AF|=xA+p2=23p+p28.C解析如图,过点A,B分别作准线的垂线AQ,BP,垂足分别是Q,P.设|AF|=a,|BF|=b,连接AF,BF.由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcosα.∵|AB∴a2+b2-2abcosα≥(a+b)24,当α9.2解析由题意知a=1,b=m,m>0,c=a2+b2=1+m10.1解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线x212−y24=1的渐近线x±3y=11.19解析由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-则p=8,所以点M(1,4).因为双曲线x2a-y2=1的左顶点为A(-所以直线AM的斜率为41+由题意得41+a=112.8解析设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1p4又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以p216+12p213.233解析如图所示,由题意可得|OA|=a,∵∠MAN=60°,∴|AP|=32b,|OP|=|设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ,则tanθ=|又tanθ=ba,∴32ba2-34∴e=1+b14.2解析设直线AB:x=my+1,联立x=my+1,y2=4x⇒y设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).∵∠AMB=90°,∴MA·MB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)·4m+5=4m2-4m+1=0.∴m=12.∴k=1m=15.解(1)由y=2x-4又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则|3k所以|3k+1|=k2即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-34所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-34x+即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.设M(x,y),又因为|MA|=2|MO|,所以x2+(y整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1≤a2+[(解得a的取值范围为0,16.解(1)由题意,得e=ca可知a=4b,c=15b.∵△PF1F2的周长是8+215,∴2a+2c=8+215,∴a=4,b=1.∴椭圆C的方程为x216+y2=(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1.由直线y=kx+1与圆T相切可知|2即32k2+36k+5=0,∴k1+k2=-98,k1k2=5由y=k1x+1,x216+y2=1∴xE=-32k同理xF=-32kkEF=yE-y故直线EF的斜率为3417.证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y1两式相减,并由y1-y2x1-由题设知x1+x22=1,y由题设得0<m<32,故k<-1(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=34从而P1,-32,|FP于是|FA|=(x1-1)2+同理|FB|=2-x2所以|FA|+|FB|=4-12(x1+x2)=3故2|FP|=|FA|+|FB|.18.解(1)双曲线x2a2−y2由双曲线的一条渐近线方程为y=x,可得ba=1,解得a=b因为c=a2+b2=故双曲线的方程为x22−(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=nm=-1-3,即因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,解得n=12c,m=32将点A32c,1化简得34c2b2-14c2a2=a2b又因为c2=a2+b2,所以上式化简整理得34c4-2c2a2+a4=0两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,解得e2=23或e2=2因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率e=2(负值舍去).故双曲线的离心率为2.19.解(1)(方法一)设B(t,22t则|BF|=(t-2(方法二)设B(t,22t由抛物线的定义可知,|BF|=t+2.(2)由题意,得F(2,0),|FQ|=2,t=3,∴|FA|=1,∴|AQ|=3,∴Q(3,3).设OQ的中点为D,则D32,32,kPF=∴直线PF的方程为y=-3(x-2).由y=-3(x-2),y解得x=23或x=6(舍去)∴△AQP的面积S=12(3)存在.设Py28,y则kPF=yy28-2=8yy2-16,∴yQ=16-y28y(8-2)=∵FP+FQ=FE,∴48+y24y2=8y2∴存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上,且P2520.解(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,ca=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b