高考数学一轮复习 考点规范练29 解三角形（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

考点规范练29解三角形一、基础巩固1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,则c=()A.12 B.1 C.3 D.2.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA=(A.31010 B.1010 C.-1010 3.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30° B.45°C.60° D.75°4.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为()A.7.5 B.7 C.6 D.55.在△ABC中,若三边长a,b,c满足a3+b3=c3,则△ABC的形状为()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.以上均有可能6.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sinA-sinC)(则∠C=.

7.在△ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.

8.某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处,测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上,则点B与电视塔的距离是km.

9.已知岛A南偏西38°方向,距岛A3nmile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10nmile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5h能截住该走私船?参考数据:二、能力提升10.已知在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD=62AD,BC=2AD,则sinC的值为(A.158 B.154 C.18 11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2a-cb=cosCcosA.43 B.23 C.2 D.312.已知△ABC的面积为S,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若S=4cosC,a=2,b=32,则c=.

13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.三、高考预测14.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinAsinB+bcos2A=53a(1)求ba(2)若c2=a2+85b2,求角C

考点规范练29解三角形1.B解析由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B2.C解析(方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD2+DC2由余弦定理,得cosA=A=2AD2+5(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=π4设∠DAC=α,则∠BAC=α+π4∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=5AD.∴sinα=25=255∴cos∠BAC=cosα=cosαcosπ4-sinαsin=22(cosα-sinα)==-1010,故选C3.B解析依题意可得AD=2010m,AC=305m,又CD=50m,所以在△ACD中,由余弦定理,得cos∠CAD=A=(30又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.4.D解析∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×b2+c2-a22bc+a×a2解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.5.A解析由题意可知c>a,c>b,即角C最大,所以a3+b3=a·a2+b·b2<ca2+cb2,即c3<ca2+cb2,所以c2<a2+b2.根据余弦定理,得cosC=a2+则0<C<π2,即三角形为锐角三角形6.π3解析在△ABC∵(sinA-sinC)(∴(a-∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2∴C=π37.6解析由题意及正弦定理,可知ABsin即2sin∠ADB=3所以12A=180°-120°-45°,故A=30°,则C=30°,所以三角形ABC是等腰三角形.所以AC=22sin60°=68.32解析如题图,由题意知AB=24×1560=在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°.由正弦定理知BSsin30∴BS=AB·sin30°sin45°9.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°.由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin所以∠ABC≈38°.又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.10.A解析设AB=AD=2a,则BD=6a,则BC=4a,cos∠BDA=BD所以cos∠BDC=BD2+整理得到CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍),故cosC=16a而C∈0,π2,故sinC=1511.A解析∵在△ABC中,2a∴(2a-c)cosB=bcosC.∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.∴cosB=12,即B=π由余弦定理可得16=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac,故ac≤16,当且仅当a=c时取等号,因此,△ABC的面积S=12acsinB=34ac≤4故选A.12.855解析由S=4cosC,a=2,b=3可得S=12absinC=3sinC=4cosC,所以tanC=43,cosC=由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=645,c=8故答案为8513.解(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2B2故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=1517(2)由cosB=1517得sinB=8故S△ABC=12acsinB=417又S△ABC=2,则ac=172由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×17=4.所以b=2.14.解(1)∵asinAsinB+b