集合与简易逻辑高考考点解析原创-人教版-集合与简易逻辑高考考点解析

集合与简易逻辑高考考点解析

河北滦县第二中学庞志全

（邮编063700联系电

集合与简易逻辑是未来学习的工具，是学习数学的基础。在高考中，集合

与简易逻辑问题常以选择题、填空题题型出现，主要考查基本概念、基本运算

以及数形结合、等价转化、分类讨论、函数与方程等数学思想，有时也出现在

解答题中。

本章的考试内容：集合、子集、补集、交集、并集、逻辑联结词、四种命

题、充分条件和必要条件。

本章的考试要求：1理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空

集、全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关术语和符号，

并会用它们正确表示一些简单的集合。2理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”

的含义；理解四种命题及其相等关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的

心:点示例与解析

考点1考查集合中元素个数

示例1.设集合Af=卜,y，/+y2=l,xeR,ye

N=j（x,-y=0,xe/?,ye/?）,则集合MAN中元素的个数（）

A.1B.2C.3D.4（04广西）

解析：本例主要考查交集运算、方程组的解法及集合的有关概念

得方程组m

（法一）依题意，

,所以集合MAN中元素的个数是2个，选择B.

（法二）集合M+）」=l,xeR,ye/?},

是圆x2+y2=l上的点组成的集合，

N=b，）］x2—y=（）,xeR,yeR}是抛物线y=x2上的

点组成的集合.集合MAN表示圆x2+y2=l与抛物线白

y=x?的交点组成的集合。作出圆x2+y2=l与抛物线y=x2

的图形，看交点个数即可求出答案。

注意：解决集合问题时，数形结合能够起到简化运算的效果。

考点2考查集合与集合的关系，即子集、真子集、相等集合的概念。

示例2.设集合尸={1,2,3,4,5,6},Q^{XER\2<X<6},那么下列结

论正确的是()(04天津)

A.=PB.PQQ^Q

C.PUQ=QD.Pf]Q^P

解析：本例主要考查子集的概念，交集运算定义、运算性质及集合与集合

关系的判断。因为P={1,2,3,4,5,6},Q^{xeR\2<x<6},

尸口。={2,3,4,5,6},所以选择D.

示例3.设集合P={mI-1<m<Q},Q={meR\mx2+4mx-4<0对任意实

数x恒成立},则下列关系中成立的是()(04湖北)

A.P父QB.Q&PCP=QD.PAQ=0

解析：本例主要考查集合与集合间的关系以及一元二次不等式、一元二次

方程、二次函数的关系问题。

由于集合P={用I-1<机<0},Q={m&R\mx2+4mx-4<0对任意实数x

、，、5,,„f(4m)2-4xmx(-4)<0.,,一、

恒成“},化简Q={m|m=0或《}={m|-Km^0),所以

m<0

P些Q,选择A。

示例4.设A、B、I均为非空集合，且满足A=B=1,则下列各式中号送

的是()

A.(GA)UB=IB.(C,A)U(GB)=I

C.AA(CB)=°D.(C,A)U(Ci

B)=C.B(04河北)I-；

解析：本例主要考查补集、交集、并集运算以及广。

集合与集合间的关系。运用韦氏图解决教简单。由QJQA

图可知(GA)UB=I,选择A

注意：解决集合与集合的关系问题时，要准确

把握子集、真子集、集合相等的概念及性质。

示例5.设A、B为两个集合，下列四个命题：

①A至B。对任意xwA,有x史B②A生BoA^\B=0

③A生B=ANB④A里Bo存在xeA,使得x史8(04湖北)

其中真命题的序号是.(把符合要求的命题序号都填上)

解析：本例考查了子集的概念以及命题的否定形式，需要正确理解集合

之间的关系。由于“A[B”即集合A中的任何元素都是集合B中的元素，而

A生B是AqB的否定，等价于集合A中至少存在一个元素不属于集合B,所

以应填④。

考点3考查集合的运算

(1)考查交集运算

示例6.设集合P={1,2,3,4},Q={x||#2,xeR},贝UPAQ等于

()

A.{1,2}B.{3,4}C.{1}D.{-2,-1,0,1,2}(04江苏)

解析：本例考查交集的定义以及绝对值不等式的解法。依题意

Q={x|k|M2,xeR}={x|-2WxW2},所以PAQ={1,2}选择A.

示例.7已知集合M={0,1,2},N={xlx=2a,aeM},则集合McN=

()

A.{0}B.{0,1}C.[1,2}D.{0,2}(04甘肃)

解析：本例考查集合的有关概念以及交集的定义。依题意集合

N={xlx=2a,a€M}={0,2,4},所以集合加门％={0,2},选择D。

示例8.已知集合〃={xlY<4},N={xl--2x-3<0},则集合McN=

()

A.[x\x<-2}B.{x\x>3]

C.{xl-l<x<2}D.{xl2<x<3}(04四川)

解析：本例考查交集的定义以及一元二次不等式的解法。依题意，先将集

合化简，即M={xI-2<x<2},N={x|-Kx<3},所以集合McN={xI-1<x<2},

诜搔C

(2)考查并集运算

示例9.设集合A={5,log2(a+3)}(集合B={a,b}.若ADB=⑵,则

AUB=.(04上海)

解析：本例考查交集、并集的定义以及对数方程的解法。依题意，因为

ACB=⑵,所以logz(a+3)=2,解得a=l,因此集合B中b=2,即A={5,2},集合

B={1,2}.故AUB={L2,5}o

(3)考查交集、并集、补集的混合运算

示例10.若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则a(MuN)=()

(A){1,2,3}(B){2}(C){1,3,4}(D){4}(04浙江)

解析：本例考查并集、补集的定义。易知选择(D)

示例11.设全集是实数集R,M={x|-2WxW2},N={x|x<l},则(GM)D

N等于

(A){x|x<-2}(B){x|-2<x<l}

(C){x|x<l}(D){xj-2Wx〈l}(04北京)

解析：本例考查交集、补集的定义。利用数轴易知选择(A)

考点4考查集合语言与集合思想的应用

示例12.记函数f(x)=小-三彳的定义域为A,g(x)=lg[(x—a—1)(2a—

x)](水1)的定义域为B.

(1)求A；

(2)若B±A,求实数a的取值范围.(04上海)

解析：本小题主要考查集合的有关概念，分式不等式及一元二次不等式的

解法等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力.

【解】(1)2一色20,得320,矛〈一1或

x+1x+1

即A=(—8,—1)U[1,+8]

(2)由(x—a—1)(2a—x)>0,得(x—a—1)(x—2a)<0.°・•永1,・,•济1>2H,

.,.B=(2a,a+1).VBcA,，2且21或a+lW-l,即a2*1■或aW-2,而水1,

一2

.•.工Wa〈l或aW—2,故当B=A时，实数a的取值范围是(一8,—2)U[■,1]

2-2

示例13设全集U=R(1)解关于x的不等式Ix-lI+a-l>O(aeR);

(2)记A为(1)中不等式的解集，集合

B={xlsin(^x-1)+V3cos(^x-1)=0},若(CuA)CB恰有3个元素，求a

的取值范围.

解析：本小题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函

数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以

及分析问题和推理计算能力.

解：(1)由lx—11+。—1>0得lx—1I>1—a.

当。>1时，解集是R；

当a41时，解集是{xlx<a或%>2-a}.

（2）当a〉l时，（CuA）=。；

当时，CuA={x\a<x<2-a].

因

sin（OT-y）+V3COS（OT_0）=2[sin（OT-y）cos-y+COS（G—0）sing]=2sinm.

由sin%；=0,得加=k7r（keZ）,即x=kwZ,所以8=Z.

<7<1,

当（CuA）AB怡有3个元素时，a就满足<242-a<3,解得

-1<a<0.

点拨：高考中集合问题主要有两大类，一类是考查集合本身的知识，一类

是以集合语言与集合思想为载体，考查函数的定义域、值域、方程、不等式、

曲线间的交点问题。解题时，要分清集合属于那一类（数集、点集或某类图

形）；进行集合运算时，一般要把各参与运算的集合化为最简形式；关于含参

数的集合问题要运用数形结合、分类讨论等数学思想加以解决。

考点5考查逻辑联结词与复合命题真假的判断

示例14.命题p：若a、bWR,则|a|+|b|>l是|a+b|>l的充要条件;

命题q：函数y=Jlx-ll-2的定义域是（—8,—1]U[3,+8）.则

（）

A."p或q”为假B.“p且q”为真

C.p真q假D.p假q真（04福建）

解析：本例考查复合命题真假的判断，根据题设条件获得命题的真假，进

而借助真值表判断复合命题的真假。因为|a+b|W|a|+|b|,所以|a|+|b|〉l是

Ia+b|>1必要不充分条件，即p假；由|xT|-220解得xW-1.，或x23,即q

真，因此选择D。

考点6考查四种命题的关系

示例15.在下列关于直线1、m与平面a、p的命题中,真命题是（）（04

上海）

A.若/uB且则l，a.B.若£且。〃£，则/_La.

C.若/_LB且a_L£,则l〃a.D若an£=m且/〃m,则1〃a.

解析：本例以四种命题真假的判断为工具考查立体几何中线面关系。由立

体儿何知识可知选择B。

考点7考查充分条件、必要条件和充要条件

示例16.已知数列那么“对任意的〃eN*,点2（〃，a“）都在直线

y=2x+l上”是“{%}为等差数列”的

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件（04天津）

解析：本例考查了简易逻辑、充要条件的判定及其方法规律，考查等差数

列的性质和充要条件的应用，还考查了点与直线的位置关系。由点匕（〃，/）都

在直线y=2x+l上，则an=2n+l,所以{%}为等差数列；由{%}为等差数列，

不能推出点心（〃，%）在直线y=2x+l上，因此，对任意的〃eN*,点

心（〃，明）都在直线y=2x+l上”是“{%}为等差数列”的B.充分而不必要

条件。

点拨：简易逻辑在高考以基本概念为考查对象，以本单元知识作为工具

考查三角、立体几何、解析几何中的基础知识，因此要对数学概念有准确的

记忆和深层次的理解，要正确认识数学符号，对基本题型求解准确迅速。

基础练习

1.设A={xIx=AeN）,8{xIxW6,xeQ},则Ac8等于

（）A.{1,4}B.{1,6}C.{4,6}D.{1,4,6}（04湖北）

2.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则品（An

B）等于（）

A.{1,2,4}B.{4}C.{3,5}D.0（04福建）

3.设集合U={0,1,2,3,4,5},集合M={0,3,5},N={1,4,5）,则

MD（CuN）=（）

A.{5}B.[0,3}C.{0,2,3,5}D.{0,1,3,4,5）（04甘肃）

4.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则AA（CLB）

=（）

A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3}（04河北）

5.在AABC中，“A>30°”是rtsinA>-M的（）

2

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（0充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（04浙江）

6.对任意实数a、b、c,在下列命题中，真命题是

ac>c是

AR.（（a>bn的必要条件

是

。c-c

C“a=b”的必要条件

是

Qc>c“a>b”的充分条件

是

D.QC-C"a=b”的充分条件

7.“sinA=4”是“A=30°”的（）

2

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（0充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（04浙江文）

8.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。

那么P是q成立的：（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.不同直线和不同平面,给出下列命题（）

①a"°一「cmHn

>=>m//B②>=nil0

maamHB

muanm,〃异面④a''

③c>=m1.0

mHa

其中假命题有：（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

10.设集合U={（x,y）|xeR,yGR},A={（x,y）12『y+m>0},

B={（x,y）|户y-n<0},那么点P（2,3）eAc（。5）的充要条件是（）

A.m>-l,n<5B.w<-l,n<5

C.m>-\,n>5D.m<-\,n>5

11.已知a,3,c为非零的平面向量.甲：=a-c,乙：各=c，贝！J（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（04湖北）

12.设m,n是两条不同的直线，a,B，7是三个不同的平面，给出下列

四个命题：

①若m_La,n〃a,则m_Ln；

②若a〃/，夕〃7,m±a,则m_Ly；

③若m〃a,n//a,则m〃n；

④若Pl.y,