宁夏银川市六盘山高级中学2023届高三三模数学（理）试题（含答案与解析）

宁夏六盘山高级中学2023届高三年级第三次模拟考试

数学（理科）

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项:

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知z=l-2i,且z+应+b=0,其中”，b为实数，贝ij()

A.a=l,b=-2B,a=-l,b=2C.a=l,b=2D,a=-l,b=-2

2.已知集合4={—3,—2,—l,0,l},3={x|x=l-3〃,〃eZ},则AB=()

A.{-3,-1}B.{-2,1}C.{-3,-1,1}D.{-2,0}

3.已知命题P：对任意xeR,总有f—x+lNO；命题心若a<b，则/〈尸.则下列命题为真命题

的是()

A.fdqB.pdfC.r?AFD.PM

4.设函数=则下列函数中为偶函数的是()

x—2x+3

A./(x+l)B.y(x)+l

c./(x-1)D.—l

31

5.已知直线X+3y=1经过圆（x）2+（y-〃）2=1的圆心，其中〃m>0,则一+一的最小值为（）

mn

A.7B.8C.9D.12

6.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式,如图是来氏太极图，其大圆半径为4,

大圆内部的同心小圆半径为1,两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域

的概率为（）

7.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面A8C。，底面ABC。为长方形，PD=DC=2,

AD=0，。为尸C上一点，且尸Q=3QC,则异面直线AC与8Q所成的角的余弦值为（）

8.国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界

顶级科学家参与21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自100多个国家的4200多位数学

家参加了本次大会•这次大会的“风车”会标取材于我国古代数学著作《勾股圆设方图》，该弦图是由四个

全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为。（0<«<45）,且

大正方形与小正方形面积之比为25:1,则cosa的值为（）

9.已知函数〃x)=2百siiiwo&r+2sin2x—2,以下说法中正确的是()

①函数"X)关于直线》=专对称；

冗7T

②函数/(X)在一q，k上单调递增；

(JT2兀\

③当x'(J时，/(")的取值范围为(—2,0)；

④将函数/(x)图象向右平移己个单位长度，所得图象对应的解折式为g(x)=2sin2x-l.

A①③B.②③④C.①④D.②

/、logX,X>1,1s/\

10.已知函数?8在R上单调递增的概率为果且随机变量J〜则

P(()<JW1)等于()

[附：若4~N(〃,cr2),则p(4一bWxW〃+cr)=0.6827,

P(/z-2cr<x</z+2a)-0.9545.]

A.0.1359B.0.1587C.0.2718D.0.3413

11.已知函数/(.丫)=/111%+依存在减区间，则实数。的取值范围为()

3333

A-(e2,+oo)B.(2e',+8)c*(-00,e?)D•(-oo,2e5)

x22

12.椭圆C:—+二=l(a>b>Q)的左、右焦点分别为士，F,过点6的直线/交椭圆C于A,B两

/b22

点，若16鸟|=|A居I，M=2£B,则椭圆C的离心率为()

ATB.交C.旦

723

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为A(2,0),它的一条渐近线方程为y=则双

曲线的标准方程为.

14.设向量：=(2,1),b=(-l,x),若a“。一a),则网=.

15.已知一A8C的内角A,6,C的对边分别为a,6,c,若“因114-$皿8)=(。-加氏11。+$皿8),c=J7,

_ABC的面积为巫，则_A5C的周长为.

2

16.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为.

俯视图

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和为Sn,且S5=25,电是4和%的等比中项.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设数列｛4｝满足a=2"",证明数列也｝是等比数列，并求他｝的前“项和却

18.随着社会的进步，科技的发展，越来越多的大学本科生希望通过保研或者考研进入更理想的大学进行

研究生阶段的学习.某大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了400名大学

生进行调查,将收集到的学习时间（单位：小时）数据分成5组：［2,4）,［4,6）,［6,8）,［8,10）,

L10J2］（学习时间均在［2,12］内）,得到如图所示的频率分布直方图.

（小时）

（1）求机的值，并估计这400名大学生每天课余学习时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点

值为代表）；

(2)按分层抽样的方法从学习时间在［6,8)和［10,12］组中抽出8人，再从这8人中随机抽取3人，记X

表示抽到的3人中学习时间在［10,12］组中的人数，求X的分布列和数学期望.

19.已知平面四边形A6CA/由等腰"加。和Rt_ABC组成，AB±BC,MA^MC,。为AC上的点

且。4=OC=3C=2(如图1所示)，将等腰力皿抽。沿AC折起，点M折至点。位置，使得平面

D4CL平面ABC(如图2所示).

图I图2

(1)求证：DO1AB；

(2)若点E在棱QC上，且满足£>E=2EC,平面E钻和平面ABC所成锐二面角的余弦值为更，求

5

四面体ABCQ的体积.

3Y

20.已知而#0,曲线/"(X)=——^在％=1处的切线方程为6%+力-3=().

a-x

(1)求a,〃值；

(2)证明：当xe(0,l］时,/(%)<tanx.

21.已知动点P到直线丁=一；的距离比到定点(0,；)的距离大1.

(1)求动点P的轨迹C的方程.

(2)若〃为直线y=x—2上一动点，过点M作曲线。的两条切线MB,切点为A,B,N为

A8的中点.

鳏证：MN_Lx轴；

Q直线A3是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用25铅笔在答题卡上

将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；

多答按所答第一题评分.

22.以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲

边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Qx中，曲边三角形。PQ为勒洛三角形，且尸2,一2，

Q2,已，以极点。为直角坐标原点，极轴3为x轴正半轴建立平面直角坐标系X。)，，曲线的参数方

V3

x=——t

程为《2G为参数）.

,1

y=-1+—/

2

(1)求PQ的极坐标方程和0Q所在圆G的直角坐标方程；

(2)已知点M的直角坐标为(0,—1),曲线C和圆C,相交于A,8两点，求二3一二^

\MA\|MB\

23.已知关于x的函数/(x)=|2X-2|+|X+3|(XGR).

(1)求关于x不等式/(%)>7的解集.

(2)若函数/(X)的最小值为〃7、且实数4,人满足"+282=机，求2。+。的最大值.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知z=l-2i,且z+应+人=(),其中a,人为实数，则()

A.a-\,b--2B,a--\,b=2C,a=\,b=2D,a=-1,b=-2

【答案】A

【解析】

【分析】先算出5,再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z=l-2i

z+应+b=1-2i+a(l+2i)+。=(1+a+6)+(2a-2)i

由Z+4江+〃=(),结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

1+a+/?=01

得《，即《

[2a-2=0b=-2

故选:A

2.已知集合A={-3,-2,-l,0,l},8={x|x=l-3〃,”eZ},则A|B=()

A.{-3,-1}B.{-2,1}C.{-3,—1,1}D.{-2,0}

【答案】B

【解析】

【分析】先利用整数集Z的概念与列举法得到集合8,再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为A={-3,-2,-l,0,l},B={x|x=l-3〃,〃eZ}={,-5,-2,1,4,},

所以Ac8={—2,1}.

故选：B.

3.已知命题P：对任意xeR,总有f—x+iNO；命题夕：若。<八则“2</.则下列命题为真命题

的是()

A.B.〃八FC.D.PM

【答案】B

【解析】

【分析】先判断命题?，命题q的真假，再判断复合命题的真假.

【详解】由必一方+1=(%——)2+->0

24

所以命题"为真命题，

令。=-21=0,则。<匕，但是"?〉〃，

所以命题夕为假命题.

故为真.

故选：B.

4.设函数/(力=)二一则下列函数中为偶函数的是()

x-2x4-3

A./(%+l)B,/(%)+1

C./(x-l)D./(x)-1

【答案】A

【解析】

【分析】根据偶函数的定义即可判断.

r/\1111

【详解】=,——=7一八厂；，则/(x+l)=M=，因为y=一二是偶函数，故

X-2.X+5(x-1)+2''X2+2x~+2

/(%+1)为偶函数.

故选：A

31

5.已知直线％+3y=1经过圆（工一机）2+（y-〃）2=1的圆心，其中〃2〃>0，则一+一的最小值为（）

mn

A.7B.8C.9D.12

【答案】D

【解析】

【分析】根据基本不等式，结合圆的标准方程进行求解即可.

【详解】因为直线x+3y=1经过圆（九一mA+⑶一〃>=1的圆心（加,〃）,

故帆+3/2=1,

所以上+_1=（m+3〃）（上+工〕=6+电+%26+2、”=12,

mnymn）mn\mn

Onmi

当且仅当——=一，即，"=3〃=一时，等号成立.

mn2

故选：D

6.明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式.如图是来氏太极图，其大圆半径为4,

大圆内部的同心小圆半径为1,两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域

的概率为（）

巳午

【答案】D

【解析】

【分析】求出大圆，小圆面积，进而求出阴影部分面积，利用儿何概型求概率公式得到答案.

【详解】设大圆面积为S1,小圆面积其，则&=兀义42=16兀，§2=71X12=兀.则黑色区域的面积为

|x（s,-s2）=^,所以落在黑色区域的概率为/,=5（1-，2）=15.

22S,32

故选：D

7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8C。，底面ABCD为长方形，PD=DC=2,

AD=6，。为PC上一点，且尸。=3QC,则异面直线AC与8Q所成的角的余弦值为（）

P

._2-^2

A.-------D.----------

77

C.旦D.一立

77

【答案】A

【解析】

【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出AC,BQ后可求线线角的余弦值.

【详解】因平面A8CD，。。,4。匚平面筋。，故9，。。,/3。，4）,

底面A8C。长方形，故DCJ_40,所以0P,DC,D4两两互相垂直，

以。为原点，DC,OP分别为无，y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

P（0,0,2）,A（V3,0,0）,B（G,2,0）,C（0,2,0）,2^0,

所以AC=（—6,2,0）,=

_\AC-BQ\IZ_2夜

设异面直线AC与8。所成的角为氏则c°s°=M「^0

"47

所以异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为述

7

故选：A.

8.国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界

顶级科学家参与21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自100多个国家的4200多位数学

家参加了本次大会•这次大会的“风车”会标取材于我国古代数学著作《勾股圆设方图》，该弦图是由四个

全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为。（0＜。＜45）,且

大正方形与小正方形面积之比为25:1,则cosa的值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】设直角三角形较短的直角边长为。，则较长的直角边长为，一，求出小正方形的边长为

tana

（—―—a\,大正方形的边长为，，结合题意可得cosa—sina=',联立sii？a+cos2a=1,求解

\tanaJsina5

即可得出答案

【详解】解：设直角三角形较短的直角边长为则较长的直角边长为‘一，

tana

小正方形的边长为--a],大正方形的边长为‘，

（tana）sma

大正方形与小正方形面积之比为25:1,

aa

sina_sina_】_<.1

所rrn以l，/1、一/•.—5,则coscc—sincc=—,①

(1ja(cosa-sina)cosa—sina5

Itana)sina

因为0va<45，则cosa>sina>0,②

又因为sin?a+cos2a=1,③

4

由①②③可得cosa=l.

故选：C.

9.已知函数,f(x)=2Gsinxcos^+2sin2比一2,以下说法中正确的是()

①函数"X)关于直线X=E对称;

JTJT

②函数/(X)在-上单调递增;

时，/(X)的取值范围为(-2,0)：

④将函数/(x)图象向右平移展个单位长度，所得图象对应的解折式为g(x)=2sin2x-1.

A.①③B.②③④C.①④D.②

【答案】D

【解析】

【分析】根据倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用正弦函数的性质及函数的平移变换即可求解.

【详解】由题意可得，/(x)=2>/3sinxcosx+2sin2x-2=6sin2x-cos2x-l=2sin(2x-2)-l,

/哈)=2sin(2x专一弓卜1=一1,所以/(x)图象的关于信中心对称，故①错误；

兀兀—c兀jr7TjrTT

—,-

因为XG—7'所以，=2X—：£，所以y=2sinr-l在一U，W是单调递增区间，故②正

66626JL26_

确;

无271

即

因为xe6'T所以，所以sin

2sin2x--^-1G(-2,1],所以/(x)的取值范围为(一2』，故③错误;

将函数/(x)的图象向右平移2个单位长度，所得图象对应的解折式为

故④错误.

故选：D.

/、Ilog.X,X>1,1“/、

10.已知函数/(x)={6-在R上单调递增的概率为且随机变量则

P(O<JW1)等于()

[附：若J~N(〃,cr2),则P(〃一b«xW"+b)=0.6827,

P(4-2b«xW〃+2cr)=0.9545.]

A.0.1359B.0.1587C.0.2718D.0.3413

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件可求出M=-l,则&~N(-1,F).根据正态分布的对称性，即可求得.

【详解】使〃力在R上单调递增的充要条件是J+l<log21=。，即自WT，故PdD=g.

由于随机变量4~N(〃,1),则“=一1,即J~N(—1,巧，即〃=-1,b=l.

故P(-2<^<0)=P(//-cr<^<//+cr)=0.6827,

P(-3<^<1)=P(//-2<T<^</Z+2(T)=0.9545,

所以P(O<4W1)=P(—-l<《W0)=gx[p(—3<

=1x(0.9545-0.6827)=0,1359.

故选：A.

11.已知函数/(x)=flnx+ax存在减区间，则实数。的取值范围为()

333_3

A,(e2,+oo)B.(2e*,+8)C,(-oo,e*)D-(-oo,2eD

【答案】D

【解析】

【分析】函数/(》)=/111%+内存在减区间,则/'。)<0有解可求解.

【详解】由题可知/'(x)=2xlnx+x+a,

因为函数f(x)=x2Inx+办存在减区间，则/(x)<0有解，

即2xlnx+x+a<0有解，

令g(x)-2xlnx+x+a,g'(x)=21nx+3,

令g'(x)>0,解得S；令8'。)<0,解得0s,

/3\/3\

所以g（x）在0,e”单调递减，e”,+8单调递增，

\7\7

_33_3_3

所以g（x）min-g（e，）=-3e2+e5+Q=-2e》+Q，

3

因为2xInx+x+a<0有解，所以_2e£+Q<O，

解得公屋.

故选:D.

22

rv

12.椭圆。：。+==13>/,>0）的左、右焦点分别为"，F2,过点6的直线/交椭圆C于A,B两

a~b~

点，若|耳&|=|4乙|,A耳=2耳3,则椭圆C的离心率为（）

A.-B.—C.—D.-

7233

【答案】D

【解析】

【分析】由椭圆的定义及题设，求出|4月|、|3耳|、\BF2\,利用NA耳6+N6斗心=兀，由余弦定理建

立方程化简即可得解.

【详解】因为入|=|A6|=2c,由椭圆定义知|A耳卜2a-2c,

又的=2招,所以|B£|=a-c,再由椭圆定义|8玛|=2a—(a—c)=a+c,

因为NA48+NB万鸟=兀，所以cos/A耳与=-cosZBFlF2,

|因『+|68|2一|叫『

所以由余弦定理可得

2\AFi\-\FiF2\2|明|"||

即(2.3)2+(2»-(2°尸=(…尸+(2»一(〃+»

2(2a-2c)-2c2(。一c)•2c

化简可得〃+3c2—4ac=0，即3e?—4e+1=0，

解得e=1或e=l（舍去）.

3

故选：D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为A（2,0）,它的一条渐近线方程为>=3%，则双

曲线的标准方程为.

2

【答案】--/=1

4-

【解析】

【分析】由双曲线的一个顶点为A(2,0),可得焦点在x轴上，且。=2,根据渐近线方程

求出〃的值即可得双曲线的标准方程

【详解】由双曲线的一个顶点为A(2,0),

所以可得双曲线的焦点在x轴上，且a=2,

由双曲线一条渐近线方程为

所以2所以匕=1

a2

所以双曲线的标准方程为二-丁=1

4

v-2

故答案为：----y2-1.

4

14,设向量)=(2,1),Z?=(-l,x),若〃,仅―a),则网=.

【答案】50

【解析】

【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解

【详解】b—a=(—3,x—1),由题意得a•(8—a)=0,即-6+x-l=0,得x=7

忖=11+49=5五.

故答案为：56

15.已知，ABC的内角A,6,C的对边分别为a,仇c,^a(sinA-sinB)=(c-6)(sinC+sinB),c=S，

J^BC的面积为上巨，则的周长为.

2

【答案】5+⑺##77+5

【解析】

【分析】先用正弦定理角化边把a(sinA-sinB)=(c-份(sinC+sinB)化解，再结合余弦定理解出azsC,进

而求出角C,再利用面积公式求出ab的值，最后结合余弦定理配方求出a+力的值，进而得到周长.

【详解】对Q(sinA-sin5)=(c-3(sinC+sin3)由正弦定理角化边，

得a(Q-b)=(c-b)(c+//),

ITTTT

即。2=/+。20,由余弦定理可得cosC=—，因为0＜。＜一，所以。=一.

223

。1一「石口3石,,

S=—absmC=——ab=-----:.ab=b

ARr242

c2=7-a2+b~—ah-—3＞ab：.a+b—5

则_ABC的周长为a+b+c=5+J7.

故答案为：5+77.

16.如图所示为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为.

—俯视图

【答案】20%

【解析】

【分析】作出原几何体的直观图，找出该几何体的外接球球心，计算出外接球的半径，结合球体体积公式

可得结果.

【详解】由三视图还原原几何体如下图所示，由图可知，原几何体为三棱锥P-A8C,

且平面平面A8C,

取AC的中点。，连接P。、BD，则AO=CO=G，BD=PD=3,

由三视图可知BD_LAC,PDA.AC,

QBDcPD=D,则ACJ_平面P3D,

由勾股定理可得AB=BC=PA=PC=物+3=2g=AC，

则ABC、4c均为正三角形，

因为平面A4C，平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PD1AC,PZ)u平面P4C，

.•.QD1.平面4BC,

Q3。u平面ABC,PD，3£),

过，ABC的外心E在平面PBD内作£O，BD,

过△PAC的外心尸在平面PBD内作EOLPD，设EOIFO=O,

因为4。_1平面「8/),EOu平面P8E),则EOJ.AC,

因EO1BD,AC3。=。，，石。，平面ABC，同理，EO_L平面PAC,

所以，。为三棱锥P—43C的外接球球心，

因为E为等边的外心，则OE=，BO=1,同理b=1,

3

在平面用如内，因为OELOf,DE｝DF，OELDE,DE=DF，

所以，四边形OEDF为正方形，所以，OF=DE=\,

因为PF=PD—DF=2，所以，OP=yJOF2+PF2=\[5-

因此，该几何体外接球的表面积为44-0。2=20万.

故答案为：20%.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.已知公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且$5=25,电是6和%的等比中项.

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

(2)设数列出｝满足a=2%,证明数列出｝是等比数列，并求出｝的前〃项和却

【答案】(1)a“=2〃-1

(2)证明见解析；7；,=|(4),-1)

【解析】

【分析】(1)利用等差数列的求和公式及通项公式列方程求解即可；

b

(2)先通过(1)求出数列也｝的通项公式，再通过证明:必为定值可得数列色｝是等比数列，最后利用

等比数列的求和公式求和即可.

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的公差为H0,

。2是外和。5的等比中项，

a；=ata5,即(q=4(q+4d)①，

又S5=5%+104=25②，

由①②得a1=l,d=2,

:.an=2n-\；

【小问2详解】

由⑴可得”=22"T,

b22n+1

二才=尹=4,又4=2

故数列｛2｝是以2为首项，4为公比的等比数列，

2(1-4")2；、

“=下1=刹-1〉

18.随着社会的进步，科技的发展，越来越多的大学本科生希望通过保研或者考研进入更理想的大学进行

研究生阶段的学习.某大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了400名大学

生进行调查，将收集到的学习时间(单位：小时)数据分成5组：［2,4),［4,6),［6,8),［8,10),

［10,12］(学习时间均在［2,12］内)，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求，〃的值，并估计这400名大学生每天课余学习时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点

值为代表)；

(2)按分层抽样的方法从学习时间在［6,8)和［10,12］组中抽出8人，再从这8人中随机抽取3人，记X

表示抽到的3人中学习时间在［10,12］组中的人数，求X的分布列和数学期望.

【答案】（1）加=019;8.12小时;

a

（2）分布列见解析，£（%）=-.

O

【解析】

【分析】（1）根据各组数据频率之和为1即可求出图中加的值，利用平均数计算公式即可求出结果；

（2）根据题意分析X的可能取值为0，1，2,3,进而列出分布列求出结果.

【小问1详解】

由于各组数据频率之和为1,即（0.02+0.05+0.15+0.19+m）x2=1,则加=0.09,

这400名大学生每天课余学习时间的平均值为：

3x0.04+5x0.1+7x0.3+9x0.38+11x0.18=8.12（小时）：

【小问2详解】

由题可知学习时间在［6,8）和［10,12］组的频率分别为0.3,0.18,

按分层抽样的方法从学习时间在［6,8）和［10,12］组中抽出8人，有5名在［6,8）内，3名在［10,12］内,

则X的可能取值为0，1,2,3,

C°C35c'C215

则P（X=O）=»=2,P（X=I）=*=D,

l/C；28l/C；28

2l3

P（X=2）=当CC.=152P（X=3）=*CC°J,1

即X的分布列为

X0123

515151

P

28285656

所以£(X)=0x2+lx竺+2x竺+3X-!-=2.

')282856568

19.已知平面四边形A6CA/由等腰"加。和Rt.ABC组成，AB±BC,MA^MC,。为AC上的点

且Q4=OC=3C=2（如图1所示），将等腰AM4c沿AC折起，点M折至点。位置，使得平面

D4CL平面ABC（如图2所示）.

B

图I图2

（1）求证：DO1AB；

（2）若点E在棱。。上，且满足O£=2EC,平面EW和平面ABC所成锐二面角的余弦值为好，求

5

四面体A8CD的体积.

【答案】（1）证明见解析

（2）206

3

【解析】

【分析】（1）先通过面面垂直的性质证明。平面ABC,进而证明。OLAB；

（2）建立坐标系，写出两个平面的法向量，通过锐二面角的余弦值求出参数，进而计算四面体ABCO的

体积.

【小问1详解】

因为的4=MC,04=0。，所以在,ACZ）中，IX）VAC.

又因为平面DAC±平面ABC,平面ZMCn平面ABC=AC,。。u平面DAC,

所以OOJ_平面ABC,又因为ABu平面ABC,所以。0J.AB.

【小问2详解】

在平面ABC内过点。作AC的垂线，建立空间直角坐标系如图所示：

设OO=a(a>0),则40,—2,0),B(G,l,0),C(0,2,0),E(0,g，5

叫衅各“十星，£).

设平面EAB的一个法向量〃=（再y,z）,

x=-y/3y

AEn=010y+az=0

则《,即《“厂，解得V10

BE-n=0一3。3%+y+az=0z=---y

a

不妨取y=a,则〃=(一可,4,一1()).结合(1)知，平面ABC，

取平面ABC的一个法向量00=(0,0,a),

则坐红=下粤=邛

解得。=10.

\OD\-\n\小/市+1005

在_ABC中，因为AC2=AB2+BC2,所以AB="T^=2百，

所以「ABC的面积为gx2x2百=26,

所以四面体A3CD的体积为』X2J5X10=处叵.

33

3r

20.已知就。0,曲线/(%)=——j■在x=l处的切线方程为6x+办-3=0.

a-x

(1)求a,b的值；

(2)证明：当xe(0,l］时，/(x)<tanx.

【答案】(1)a=3,b=-2

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据切点和斜率求得

(2)化简/(x)<tanx,利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.

【小问1详解】

3-3

由题可知/(1)=——=——，即匕=1一。.

a-\b

22

a-x)+6x~3a+T)X/•，小3。+36

又(")=1所以")=记i?

a-x2^a-x2\~b

a=3

解得《,即Q=3,Z?=—2.

h=-2

【小问2详解】

3x

/(x)=——7，xe(o,l],

3-x2

…、3xsinx

要证/(x)<tanx,-----<----,

3-xcos尤

只需证3sinx-3xcosx-x2sinx>0，

令g(x)=3sinx-3xcosx-x2sinx,

则g'(x)=3cosx-3cosx+3xsinx-2xsinx-x1cosx=x(sinx-xcosx),

令〃(x)=sinx—xcosx,xe(0,l］,则hf(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinx>(),

所以〃(x)在(0,1］上单调递增，所以〃。)>〃(0)=0,即g'(x)>(),

所以g。)在(0』上单调递增，则g(x)>g(0)=0,即当xw(0,l］时，/(x)<tanx.

21.已知动点P到直线y=-j的距离比到定点(0,j的距离大1.

(1)求动点P的轨迹C的方程.

(2)若M为直线y=x—2上一动点，过点”作曲线。的两条切线M4,MB,切点为A,B,N为

AB的中点.

绘证：MN_Lx轴；

旗线是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】(1)/=),；(2)①证明见解析；(2^1,2^|.

【解析】

【分析】(1)由题意知，动点p到直线>=的距离等于到定点的距离，符合抛物线的定义，求轨

迹C的方程为％2=y；

(2)微动点/(。-2),3(々芯)，利用导数求出切线M4,MB的方程分别为：

丁一年=2石(工一玉)、y-x^=2X2(X-X2),从而有七,4为方程X2一2a+.一2=0的两根，证明点

N的横坐标与点M的横坐标相等，从而证得轴；

触3I1的结论，把直线A8的方程写成含有参数，的形式，即y—(2/—+2)=2r(x7)

(\\

并把方程看成关于。的一次函数，从而得到定点为-,2.

(2)

【详解】⑴由动点P到直线y=-：的距离比到定点(0。)的距离大1得，

动点尸到直线y=~的距离等于到定点(°，；)的距离，

所以点P的轨迹为顶点在原点、开口向上的抛物线，其中〃=(,

轨迹方程为f=y.

(2)①设切点4(内,片)，8(工2芯)，y'=2x,所以切线M4的斜率为2玉，

切线MA:卜-才=2X]（x-xj.

设—2）,则有f—2—x；=2JV]（f—%）,化筒得芍—2/XI+f-2=0.

同理可得考一2a2+f-2=0.

所以A，々为方程/一2次+，-2=0的两根.

则有玉+工2=2，x,x2=t-2,所以Xz=/=/=X”.

因此MN_Lx轴.

—

②因为,N=5（玉2+工；）=5（*1+工2）X]X2—2f—t+2,

所以N（t,2/一r+2）.又因为原8=号"子=玉+々=2f，

所以直线A6:y-（2产一r+2）=2f（x—力，即y-2=2（x—.

即直线过定点（；,2）.

【点睛】本题考查抛物线的定