黑龙江省龙东地区三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

黑龙江省龙东地区三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编一03

解答题

一.分式的化简求值（共3小题）

2

1.（2022•黑龙江）先化简，再求值：（三二_］）+红!，其中”=2COS30°+1.

a2-la+1

22

2.（2021•黑龙江）先化简，再求值：（a—一---其中“=2cos60°+1.

2

a+1a-l

22

3.（2021•黑龙江）先化简，再求值：（〃-且一）+——，其中〃=2tan45°+1.

a+1a2-l

二.二元一次方程组的应用（共1小题）

4.（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、8两种跳绳.已知购进10根4

种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元.

（1）求购进一根A种跳绳和一根8种跳绳各需多少元?

（2）设购买A种跳绳加根，若班级计划购买A、8两种跳绳共45根，所花费用不少于

548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？

三.一元一次不等式组的应用（共2小题）

5.（2021•黑龙江）”中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，

某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具.已知购进2件甲种农机具和1

件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又

不超过12万元，设购进甲种农机具,〃件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资

金最少，最少资金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7

万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购

买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

6.（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，

某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1

件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元

又不超过12万元，设购进甲种农机具〃?件，则有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

四.一次函数的应用（共3小题）

7.（2022•黑龙江）为抗击疫情，支援2市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往8市.甲、

乙两辆货车从A市出发前往8市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达

B市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路

原速又运往8市.乙车维修完毕后立即返回A市.两车离A市的距离y（6）与乙车所

用时间x（力）之间的函数图象如图所示.

（1）甲车速度是km/h,乙车出发时速度是km/h；

（2）求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x"）的函数解析

式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km?请直接写出答案.

8.（2021•黑龙江）已知A、8两地相距240切?，一辆货车从A前往B地，途中因装载货物

停留一段时间.一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间

不计）立即原路原速返回.如图是两车距8地的距离y（km）与货车行驶时间x⑺之

间的函数图象，结合图象回答下列问题：

（1）图中根的值是;轿车的速度是km/h;

（2）求货车从A地前往8地的过程中，货车距8地的距离），（km）与行驶时间x⑺

之间的函数关系式；

（3）直接写出轿车从8地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12k”？

9.(2021•黑龙江)一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分

别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶.已知轿车比货车每小时多行驶20b".两车相遇后

休息一段时间，再同时继续行驶.两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x(//)之间

的函数图象如图所示的折线AB-BC-CD-DE,结合图象回答下列问题：

(I)甲、乙两地之间的距离是km；

(2)求两车的速度分别是多少如"/〃？

(3)求线段。的函数关系式.直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20h"?

10.(2022•黑龙江)如图，抛物线y^^+bx+c经过点A(-1,0),点B(2,-3),与y

轴交于点C,抛物线的顶点为£>.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写

11.(2021•黑龙江)如图，抛物线y=a7+6x+3(aWO)与x轴交于点A(1,0)和点B(-

3,0),与y轴交于点C,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△BOC的面积.

七.二次函数综合题(共1小题)

12.(2021•黑龙江)如图，抛物线yu4f+bx+S(a^O)与x轴交于点A(1,0)和点B(-

3,0),与y轴交于点C,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线E£＞上，若以点P、Q、E为

顶点的三角形与△8OC相似，请直接写出点尸的坐标.

13.（2022•黑龙江）△ABC和△AOE都是等边三角形.

（1）将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD,CE并延长相交于点P（点P与

点A重合），有力+P8=PC（或用+PC=PB）成立（不需证明）；

（2）将△AOE绕点A旋转到图②的位置时，连接BO,CE相交于点P,连接刑,猜想

线段雨、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；

（3）将△AOE绕点A旋转到图③的位置时，连接8。，CE相交于点P,连接行1,猜想

线段山、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

14.（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABC。的边A8在x轴上，顶

点。在y轴的正半轴上，"为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程f-7x+12

=0的两个根（OA<OB）,tan/D4B=2,动点P从点。出发以每秒1个单位长度的速

3

度沿折线。C-CB向点8运动，到达B点停止.设运动时间为f秒，△APC的面积为S.

（1）求点C的坐标；

(2)求S关于，的函数关系式，并写出自变量f的取值范围；

(3)在点P的运动过程中，是否存在点P,使aCMP是等腰三角形？若存在，请直接

写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

15.(2021•黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，△AOS的边OA在x轴上，OA=AB,且

线段04的长是方程，-4x7=0的根，过点8作轴，垂足为E,tan/BAE=全

3

动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停

止.过点M作x轴的垂线，垂足为。，以MD为边作正方形MQCF,点C在线段04上,

设正方形MDCF与aAOB重叠部分的面积为S,点M的运动时间为f(f>0)秒.

(1)求点8的坐标；

(2)求S关于/的函数关系式，并写出自变量，的取值范围；

(3)当点尸落在线段08上时，坐标平面内是否存在一点P,使以M、A、0、P为顶点

的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

16.(2022•黑龙江)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平

面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-1),8(2,-5),C(5,-4).

(1)将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△AiBi。，画出两次平

移后的△AiBiCi，并写出点Ai的坐标；

(2)画出81cl绕点Ci顺时针旋转90°后得到△曲历。，并写出点A2的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点4旋转到点上的过程中所经过的路径长(结果保留口).

一十一.作图-旋转变换(共2小题)

17.(2021•黑龙江)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面

直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A(-1,3),3(-4,3),O(0,0).

(1)画出△ABO关于x轴对称的△A1B1。，并写出点4的坐标；

(2)画出aABO绕点。顺时针旋转90°后得到的△A2B2O,并写出点儿的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点儿所经过的路径长(结果保留n).

18.(2021•黑龙江)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面

直角坐标系内，△AB。的三个顶点坐标分别为A(-1,3),8(-4,3),O(0,0).

(1)画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O,并写出点81的坐标；

(2)画出△ABO绕点。顺时针旋转90°后得到的△A282O,并写出点&的坐标；

（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点明所经过的路径长（结果保留n）.

一十二.几何变换综合题（共1小题）

19.（2021•黑龙江）在等腰△ADE中，AE=DE,aABC是直角三角形，ZCAB=90Q,Z

ABC=^ZAED,连接CO、BD,点F是8。的中点，连接EF.

2

（1）当NEA£>=45°,点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF=^CD；

2

（2）当/E4O=45°,把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点8落在边AO上时，如图②所

示，当NE4D=60°,点8在边4E上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和

8又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.

一十三.条形统计图（共2小题）

20.（2022•黑龙江）为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问

卷调查.设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：

A组：x<8.5

B组：8.5Wx<9

C组：9Wx<9.5

。组：9.5WxV10

E组：Q10

根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题:

（1）本次共调查了名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，求。组所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若该校有1500名学生，请估计该校睡眠时间不足9小时的学生有多少人？

21.（2021•黑龙江）为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、

学史崇德、学史力行”知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、。、E五个

等级进行统计，并绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题:

抽样成绩条形统计图抽样成绩扇形统计图

（2）补全条形统计图;

（3）在扇形统计图中，求8等级所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和8等级的学生共有

多少名？

参考答案与试题解析

一.分式的化简求值（共3小题）

a2-2a.])

1.（2022•黑龙江）先化简，再求值：（小纥L,其中〃=2cos30°+1.

21

a-1a+1

a2-2a_])=2a-l

【解答】解：（

21

a-1a+1

2n21

a-2aa-12a-l

、A二,

a2-la2-l

l-2axa+1

(a+1)(a-1)2a-l

1

当iz=2cos30°+1=2X①+1=«+1时,

2

原式=1=-返

1-V3-13

22

2.（2021•黑龙江）先化简，再求值：（a」一),其中Q=2COS60。+1.

21

a+1a-1

【解答】解：原式=三更12二」a2

a+1(a+1)(a-1)

a(a+1)(aT)

a+1a2

—a-l

—----------------9

a

当o=2cos600+1=2义工+1=2时,

2

原式=2二2=工

22

22

3.（2021•黑龙江）先化简，再求值:(q-——)4--2—,其中々=2tan450+1.

21

a+1a-1

222

【解答】解：原式=afa-a..a

21

a+1a-1

a.(a+1)(a-l)

a+1a2

-_.-a---l-，

a

当a=2tan45°+1=2义1+1=3时，原式=3二1=2.

33

二.二元一次方程组的应用（共1小题）

4.（2022•黑龙江）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳.已知购进10根A

种跳绳和5根8种跳绳共需175元：购进15根4种跳绳和10根B种跳绳共需300元.

（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？

（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于

548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？

【解答】解：（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根8种跳绳需y元，

10x+5y=175

依题意得:

ll5x+10y=300

解得：（X=1°.

ly=15

答：购进一根4种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元.

（2）•••该班级计划购买A、B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳,"根，

购买B种跳绳（45-〃?）根.

依题意得：P°m+15（45-m）＜560,

110m+15（45-m）＞548

解得:23WmW25.4,

又；机为整数，

.•.加可以取23,24,25,

共有3种购买方案，

方案1：购买23根4种跳绳，22根8种跳绳；

方案2：购买24根A种跳绳，21根8种跳绳：

方案3：购买25根A种跳绳，20根8种跳绳.

（3）设购买跳绳所需总费用为卬元，则w=10〃?+15（45-m）=-5〃?+675.

5＜0,

二卬随m的增大而减小，

当m=25时，w取得最小值,最小值=-5X25+675=500.

答：在（2）的条件下，购买方案3需要的总费用最少，最少费用是500元.

三.一元一次不等式组的应用（共2小题）

5.（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，

某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具.已知购进2件甲种农机具和1

件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又

不超过12万元，设购进甲种农机具,"件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资

金最少，最少资金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7

万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购

买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元.

根据题意得：产刊=3.5,

Ix+3y=3

解得：卜j5,

1y=0.5

答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元.

（2）设购进甲种农机具机件，购进乙种农机具（10-,"）件，

根据题意得：［L5m+0.58,

11.5m+0.5（10-m）<12

解得:4.8WZ7.

•••加为整数.

二加可取5、6、7.

...有三种方案：

方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件.

方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件.

方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件.

设总资金为w万元.

卬=1.5m+0.5（10-/n）=m+5.

・・・攵=1>0,

w随着m的减少而减少，

二.加=5时，w最小=1X5+5=10（万元）.

・,•方案一需要资金最少，最少资金是10万元.

（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具。件，乙种农机具b件，

由题意得：（1.5-0.7）a+（0.5-0.2）6=0.7义5+0.2X5,

其整数解：或卜=3,

lb=15lb=7

节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：

方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件.

方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件.

6.（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，

某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1

件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元

又不超过12万元，设购进甲种农机具机件，则有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，

依题意得：俨~3.5.

Ix+3y=3

解得：卜=L5.

Iy=0.5

答：购进1件甲种农机具需要1.5万元，1件乙种农机具需要0.5万元.

（2）设购进甲种农机具机件，则购进乙种农机具（10-机）件，

依题意得：［L5m+0・5（10-m）＞9.8,

11.5m+0.5（10-m）＜12

解得:4.8W，"W7,

又•••，”为整数，

，机可以取5,6,7,

共有3种购买方案，

方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；

方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；

方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件.

（3）方案1所需资金为1.5X5+0.5X5=10（万元）；

方案2所需资金为1.5X6+0.5X4=11（万元）；

方案3所需资金为1.5X7+0.5X3=12(万元).

V1O<11<12,

...购买方案1所需资金最少，最少资金是10万元.

四.一次函数的应用(共3小题)

7.(2022•黑龙江)为抗击疫情，支援8市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往8市.甲、

乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达

B市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路

原速又运往8市.乙车维修完毕后立即返回A市.两车离A市的距离y(km)与乙车所

用时间x(〃)之间的函数图象如图所示.

(1)甲车速度是100km/h,乙车出发时速度是60kmlh：

(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离了(如?)与乙车所用时间x")的函数解析

式(不要求写出自变量的取值范围)；

(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120h〃？请直接写出答案.

甲车的速度为：500+5=100Ckm/h),

乙车出发时速度是：300+5=60(km/h),

故答案为：100,60；

(2)乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y(m)与乙车所用时间x的函数解析

式是y=kx+b,

•.•点(9,300),(12,0)在该函数图象上，

.(9k+b=300j

'I12k+b=0'

解得尸100,

lb=1200

即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(〃)的函数解析式是

y=-100^+1200；

(3)设乙车出发〃?小时，两车之间的距离是120切?，

当0<〃?<5时，

100/n-60”?=120,

解得m=3；

当5.5</«<8时，

100(77?-5.5)+120+300=500,

解得m=6.3；

当9〈机<12时，

乙车返回的速度为：3004-(12-9)=100(km/h),

(100+100)X(/«-9)=120,

解得〃?=9.6；

答：乙车出发3小时或6.3小时或9.6小时，两车之间的距离是120班.

8.(2021•黑龙江)已知A、B两地相距240M?,一辆货车从A前往B地，途中因装载货物

停留一段时间.一辆轿车沿同一条公路从B地前往4地，到达A地后(在A地停留时间

不计)立即原路原速返回.如图是两车距8地的距离y(km)与货车行驶时间x(〃)之

间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)图中机的值是5；轿车的速度是⑵km/h；

(2)求货车从A地前往8地的过程中，货车距8地的距离)，(km)与行驶时间x

之间的函数关系式；

(3)直接写出轿车从8地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12fon?

轿车的速度为：2404-2=120(km/h')；

故答案为：5；120；

(2)①设历(心#0)(0Wx<2.5),

•.•图象经过点M(0,240)和点N(2.5,75),

bi=240

2.5k।+b1=75

b1二240

解得W

kp-66

-66/+240(0W/V2.5),

yNC=15(2.5Wx<3.5)；

yGH=k2x+bi(QWO)(3.5WxW5),

•.•图象经过点G(3.5,75)和点”(5,0),

+

5k2b2=0

+=

3.5k2b275

k=-50

解得12

b2=250

••yGH=~50x+250,

'-66x+240(0<x<2.5)

•*.y=75(2.5<x<3.5)

-50x+250(3.5<x<5)

(3)货车从A前往8地的速度为：(240-75)+2.5=66(km/h),

设轿车出发a小时与货车相距12km,

根据题意，得66(1+a)+120a=240+12或66(1+a)+120a=240-12,

解得a=1或a=—,

31

答：轿车从8地到A地行驶过程中，轿车出发1小时或空■小时与货车相距12b”.

31

9.(2021•黑龙江)一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分

别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶.已知轿车比货车每小时多行驶20如1.两车相遇后

休息一段时间，再同时继续行驶.两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x")之间

的函数图象如图所示的折线AB-BC-CQ-OE,结合图象回答下列问题：

(1)甲、乙两地之间的距离是180km-.

(2)求两车的速度分别是多少km/h'!

(3)求线段CC的函数关系式.直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20加？

【解答】解：(1)由函数图象得，甲、乙两地之间的距离是180bw,

故答案为：180；

(2)设货车的速度为x千米/小时，则轿车的速度为(x+20)千米/小时，根据题意，得:

x+(x+20)—180,

解得x=80,

答：货车的速度为80千米/小时，轿车的速度为100千米〃J、时;

(3)设点。的横坐标为x,则：

80(x-1.5)+100(x-1.5)=144,

解得x=2.3,

故点。的坐标为(2.3,144),

设线段CO的函数关系式为〉=丘+6(AW0),则：

(1.5k+b=0,

12.3k+b=144，

解得(k=180,

lb=-270

；.y=180x-270；

当180x-270=20时，解得x=21；

18

设A8的解析式为〃(加W0),贝(I：

(n=180

lmtn=0

解得件T80,

ln=180

二线段AB的解析式为：7=-180x+180,

当-180x+180=20时，解得工=区,

9

.•.货车出发3小时或29小时，与轿车相距20&〃？

918

五.待定系数法求二次函数解析式(共1小题)

10.(2022•黑龙江)如图，抛物线y=^+bx+c经过点4(-1,0),点8(2,-3),与y

轴交于点C,抛物线的顶点为D

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点P,使aPBC的面积是△BCC面积的4倍，若存在，请直接写

出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(D:抛物线y=，+bx+c经过点A(-1,0),点8(2,-3),

.(l-b+c=0

14+2b+c=_3

解得b=-2,c=-3>

抛物线的解析式：y=？-2x-3；

(2)存在，理由如下：

•.•y=7-2x-3=(x-1)2-4,

二。点坐标为(1,4),

令x=0,贝!Jy=»-2x-3=-3,

；.C点坐标为(0,-3),

又点坐标为(2,-3),

：.BC//x^,

SABCD=—X2X1=1,

2

设抛物线上的点P坐标为Cm,nr-2m-3),

2

•'•SA/>BC=—X2X|W-2m-3-(-3)|=|W-2m\,

2

当怵2-2匐=4)1时，

解得WJ=1±A/5>

当时，m2-2m-3=

当m=1-时，m2-2m-3=I>

综上，P点坐标为(1+收，1)或(1-依，1).

六.抛物线与x轴的交点（共1小题）

11.(2021•黑龙江)如图，抛物线了=办2+笈+3(“W0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-

3,0),与y轴交于点C,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点。.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△BOC的面积.

【解答】解：(1)..•抛物线、=/+队+3(“W0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,

0),

.[a+b+3=0

19a~3b+3=0

解得卜=总，

1b=_2

二抛物线的解析式为y=-x2-2r+3；

(2)由(1)知，y=-7-2%+3,

点C的坐标为(0,3),

：.OC=3,

•••点8的坐标为(-3,0),

；.OB=3,

VZB0C=9Q°,

△BOC的面积是°B'0C=3X3=9

222

七.二次函数综合题(共1小题)

12.(2021•黑龙江)如图，抛物线＞=«?+公+3QW0)与x轴交于点A(1,0)和点8(-

3,0),与y轴交于点C,连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点D

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线EO上，若以点P、Q、E为

顶点的三角形与△80C相似，请直接写出点P的坐标.

【解答】解：(1)：抛物线y=a/+乐+3过点A(1,0),8(-3,0),

.(a+b+3=0

I9a~3b+3=0

解得卜=T,

Ib=_2

...抛物线的解析式为：y=---2x+3；

(2)令%=0,y=3,

：.OC=OB=3,即△OBC是等腰直角三角形，

•.•抛物线的解析式为：y=-2x+3,

二抛物线对称轴为：x=-1,

•.,EN〃)，轴，

：.4BENsLBC0,

•••B-N-z：--E-N-1

BOCO

•••2~ENf

33

:.EN=2,

①若MQESAOBC,如图所示，过点P作PHLED垂足为H,

；・/PEH=45。,

:・NPHE=90°,

：・NHPE=NPEH=45°,

:.PH=HE,

・・・设点P坐标(x,-x-1+2),

，代入关系式得，-x-1+2=-x2-2x+3,

整理得，f+x-2=0,

解得，xi=-2,切=1（舍）,

.•.点P坐标为（-2,3）,

②若AEPQSAOCB,如图所示，

设P（x,2）,

代入关系式得，2=-x2-2%+3,

整理得，7+2%-1=0,

解得，X[=-l-&,乂2=-1+五（舍），

点P的坐标为（-1-2）,

综上所述点P的坐标为（-1-J5，2）或（-2,3）.

八.全等三角形的判定与性质（共1小题）

13.（2022•黑龙江）ZVIBC和△AOE都是等边三角形.

（1）将△/!£>£绕点A旋转到图①的位置时，连接3。，CE并延长相交于点P（点P与

点A重合），WPA+PB=PC（或必+PC=P8）成立（不需证明）；

（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接8。，CE相交于点尸，连接孙，猜想

线段加、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；

（3）将△AOE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接鬼,猜想

线段以、/»、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

【解答】解：（2）PB=PA+PC,理由如下:

如图②，在8P上截取BF=PC,连接AF,

图②

「△ABC、△4£>£都是等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAC+ZCAD^ZCAD+ZDAE,

即/D4B=/EAC,

：./\ABD^^ACE(SAS),

NABD=NACE,

"：AB=AC,BF=CP,

.•.△BAF也△CAP(SAS),

：.AF=AP,NBAF=NCAP,

以尸=90°,

...△4FP是等边三角形，

：.PF=PA,

：.PB=BF+PF=PC+PA-,

(3)PC=PA+PB,理由如下：

如图③，在PC上截取连接AM,

同理得：△ABO丝△ACE(S4S),

：.ZABD^ZACE,

'：AB=AC,PB=CM,

：./\AMC^/\APB(SAS),

：.AM=AP,NBAP=NCAM,

：.ZBAC=ZfAM=60°,

」.△AMP是等边三角形，

：.PM=PA,

：.PC=PM+CM=PA+PB.

九.四边形综合题(共2小题)

14.(2022•黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABC。的边AB在x轴上，顶

点。在y轴的正半轴上，M为8c的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程/-7x+12

=0的两个根(OA<OB),tanND4B=_l,动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速

3

度沿折线。C-CB向点8运动，到达8点停止.设运动时间为f秒，AAPC的面积为S.

(1)求点C的坐标；

(2)求S关于/的函数关系式，并写出自变量，的取值范围；

(3)在点P的运动过程中，是否存在点P,使是等腰三角形？若存在，请直接

写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解得：xi=3,X2=4,

•：OA<OB,

・・・O4=3,08=4,

VtanZL>AB=P5.=A,

OA3

：.OD=4,

：四边形ABCD是平行四边形,

，Z）C=AB=3+4=7,DC//AB,

.,./O£>C=/AOC=90°,

点C的坐标为（7,4）；

(2)：①当0WfW7时，

由题意得：PC=7-t,

...△APC的面积为5=2/>。。。=工(7-r)X4=14-2z；

22

②当7<fW12时，过点A作AFLBC交CB的延长线于点F,

：AO=VOA2OD2=VS2+42=5'四边形ABC。是平行四边形,

：.BC=AD=5,

\"S^ABC=—AB-OD^1.CB'AF,

22

：.AB-OD=CB'AF,

，7X4=5AF,

：.AF=23-,

5

.♦.△APC的面积为(r-7)X28=11/-

22555

，14-2t(0<t<7)

s=

综上，\1498,J/、；

bb

(3)•.•8C=A£>=5,M为8c的中点，C(7,4),B(4,0),

：.CM=^-,M(11,2),

22

：(7"=且

2

，CM=CP=$,

2

,:CD=1,

，OP=7-2=a,

22

...点P的坐标为(9,4)；

2

②当CM=MP时，过点M作ME_LC£＞于E,

'：M(H,2),C(7,4),

2

：.E(11,4),CE=7-11=J.,

222

：.PE=CE=3.,

2

：.DP=DE-PE=-11-2=4,

22

点尸的坐标为(4,4)；

③当CP=MP时，过点P作PF1.BC于F,

，MF=CF=」CM=旦

24

四边形ABCD是平行四边形,

NBCD=ZDAB,

"

..cosZBCD=cosZD/lB=P^.=^.,

AD5

_5

•CF3pn43

PC5PC5

.♦.PC=空，

12

.•.点P的坐标为（至9,4）；

12

综上，点尸的坐标为（4,4）或（9,4）或（型，4）.

212

15.（2021•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△408的边04在x轴上，0A=4B,且

线段04的长是方程，-4x7=0的根，过点8作BELc轴，垂足为E,tanN班E=4,

3

动点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段AB向点B运动，到达点B停

止.过点M作x轴的垂线，垂足为。，以MZ）为边作正方形MDCF,点C在线段OA上,

设正方形MDC尸与△AOB重叠部分的面积为S,点M的运动时间为f（f>0）秒.

（1）求点B的坐标；

（2）求S关于，的函数关系式，并写出自变量，的取值范围；

（3）当点F落在线段0B上时，坐标平面内是否存在一点P,使以M、A、。、P为顶点

的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)由7-4x-5=0,解得x=5或-1,

VOA是方程的根，

；.0A=5,

.•.A8=OA=5,

在RtZ\ABE中，tan/8AE=^=冬，AB=5,

AE3

：.BE=4,AE=3,

：.OE=OA+AE=5+3=8,

：.B(8,4).

(2)如图1中，当点F落在08上时，AM=f,DM^h.AO=3f,

55

图1

\'FM//OA,

.FM=«_

"OABA'

4

.亏t_5-t

55

•••=t25•

9

如图2中，当0<rW至时，重叠部分是四边形ACFM,S=A<AC+FM).DM=A<Ar+A

92255

-3)•生=2尸.

555

图2

如图3中，当时，重叠部分是五边形ACHGM,S=S^ACFM-S^FGH=^J1-1

952

图3

(O<t(告)

y

综上所述,

(等<t(5)

y

:点下落在08上时，r=2殳,

9

•.•£>M=FM=型，A£>=$,AC=S,

939

:.PF=PM-FM=5-圆=空，0C=5-5=也，

9999

：.F（4型），M（空，型）.

9939

：.P（A,型），p"（-旦，-型），P'（越，致）.

393939

一-h轨迹（共1小题）

16.（2022•黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平

面直角坐标系中，ZXABC的三个顶点坐标分别为A（1,-1）,8（2,-5）,C