青海省西宁市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-解答题

青海省西宁市三年(2020-2022)中考数学真题分类汇编-解答题

一.实数的运算(共2小题)

1.(2022•西宁)计算：(-2)3+^^+(A)

3

2.(2020•西宁)计算：3-2X|-9|+(-IT)°.

二.完全平方公式(共1小题)

3.(2020•西宁)化简：3(，+2)-(x-1)2.

三.因式分解的应用(共1小题)

4.(2022•西宁)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

将2a-3ab-4+6%因式分解.

【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解法一：原式=(2a-3ab)-(4-6b)

=a(2-3b)-2(2-3%)

=(2-3b)(a-2)

解法二：原式=(2a-4)-(3ab-6b)

=2(a-2)-3b(a-2)

=Ca-2)(2-3b)

【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组,

再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组

分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式

分解一定要分解到不能再分解为止)

【类比】(1)请用分组分解法将7-因式分解；

【挑战】(2)请用分组分解法将依+$-2"-康+廿因式分解；

【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理.如图，

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若

直角三角形的两条直角边长分别是。和6斜边长是3,小正方形的面积是1.

根据以上信息，先将a4-2a3/2/必,2ab3+b,因式分解，再求值.

四.分式的化简求值（共1小题）

2_1L

5.（2020•西宁）先化简，再求值：（1与_）其中a八历+L

a+aa+2a+l

五.负整数指数第（共1小题）

6.（2021•西宁）计算：（_2）2+6厂1_|一31

六.二次根式的混合运算（共1小题）

7.（2021•西宁）计算：（遥+3）（通-3）-（V3-1）2.

七.解一元二次方程-因式分解法（共1小题）

8.（2021•西宁）解方程：x（x-2）=x-2.

八.解分式方程（共2小题）

9.（2022•西宁）解方程：一^―--?—=0.

2上2

x+xX-X

10.（2021•西宁）解方程：三包-——=1.

V-121

x1x-1

九.解一元一次不等式组（共1小题）

’2x-24x

11.（2020•西宁）解不等式组|.1，并把解集在数轴上表示出来.

x+2>»x-l

一十.一元一次不等式组的整数解（共1小题）

12.（2022•西宁）解不等式组：［x-3（xj2）>4,并写出该不等式组的最大整数解.

12x+l<x-l

一十一.一次函数的应用（共1小题）

13.（2021•西宁）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片.“五四”期间，西宁市

某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生

日”.现需租用4,8两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和

租金信息如表：

型号载客量租金单价

（人/辆）（元/辆）

A16900

B221200

若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元.

（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）;

(2)据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？

(3)在(2)的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省

钱的租车方案.

一十二.待定系数法求反比例函数解析式(共1小题)

14.(2022•西宁)如图，正比例函数y=4x与反比例函数产区(x>0)的图象交于点A(a,

x

4),点B在反比例函数图象上，连接A8,过点8作轴于点C(2,0).

(1)求反比例函数解析式；

(2)点。在第一象限，且以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出

一十三.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)

15.(2021•西宁)如图，正比例函数y=L与反比例函数y=K(x>0)的图象交于点A,

2x

AB_Lx轴于点8,延长AB至点C,连接OC.若cos/BOC=2,OC=3.

3

(1)求08的长和反比例函数的解析式；

(2)将AAOB绕点。旋转90°,请直接写出旋转后点A的对应点4'的坐标.

一十四.反比例函数综合题(共1小题)

16.（2020•西宁）如图，一次函数y=-x+l的图象与两坐标轴分别交于A,8两点，与反

比例函数的图象交于点C（-2,/»）.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在y轴正半轴上，且与点B,C构成以为腰的等腰三角形，请直接写出

所有符合条件的P点坐标.

一十五.二次函数综合题（共3小题）

17.（2022•西宁）如图，抛物线丫=苏+板+3与x轴交于点A（3,0）,与y轴交于点B,点

C在直线AB上，过点C作。。工》轴于点。（1,0）,将△48沿CO所在直线翻折，使

点A恰好落在抛物线上的点E处.

（1）求抛物线解析式；

（2）连接BE,求aBCE的面积；

（3）抛物线上是否存在一点P,使/PEA=/BAE?若存在，求出P点坐标；若不存在,

请说明理由.

备用图

18.（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系X。），中，一次函数），=-L+3的图象与x轴交

2

于点A,与），轴交于点8,点C的坐标为（-2,0）,抛物线经过A,B,C三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线4。与y轴负半轴交于点。，且求证：OB=OD：

（3）在（2）的条件下，若直线4。与抛物线的对称轴/交于点E,连接BE,在第一象

限内的抛物线上是否存在一点P,使四边形BE4P的面积最大？若存在，请求出点P的

19.（2020•西宁）如图1,一次函数的图象与两坐标轴分别交于A,B两点，且B点坐标为

（0,4）,以点A为顶点的抛物线解析式为y=-（x+2）2.

（1）求一次函数的解析式；

（2）如图2,将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C,与y轴交点记

为D,当点C的横坐标为-1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；

（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P,使以点3,D,尸为顶点的三角形与

△A08相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

一十六.菱形的性质（共1小题）

20.（2022•西宁）如图，四边形ABCD是菱形，AELBC于点E,AFLCD于点?

（1）求证：AABE^AADF；

（2）若AE=4,CF=2,求菱形的边长.

一十七.矩形的判定与性质（共1小题）

21.（2021•西宁）如图，四边形A8CD是菱形，对角线AC,BO相交于点O,IXBOg2

CEB.

（I）求证：四边形OBEC是矩形；

（2）若/ABC=120°,AB=6,求矩形OBEC的周长.

一十八.正方形的性质（共1小题）

22.（2020•西宁）如图，E是正方形ABCO对角线BD上一点，连接AE,CE,并延长CE

交AD于点F.

（1）求证：ZVIBE四△CBE；

（2）若/AEC=140°,求/QFE的度数.

一十九.切线的判定与性质（共1小题）

23.（2021•西宁）如图，△ABC内接于O。，AB=AC,4。是O。的直径，交BC于点E,

过点。作。尸〃BC,交AB的延长线于点凡连接BD

(1)求证：。尸是OO的切线；

(2)已知AC=12,AF=15,求。F的长.

24.(2022•西宁)如图，在RtZXABC中，/C=90°,点。在AB上，以8。为直径的。。

与AC相切于点E,交BC于点凡连接OF,OE交于点M.

(1)求证：四边形EMFC是矩形；

(2)若AE=匹,。。的半径为2,求FM的长.

二十一.相似三角形的判定与性质(共1小题)

25.(2020•西宁)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。0交AC于点。，交BC

于点E,延长AE至点尸，使EF=AE,连接尸B,FCDE.

(1)求证：四边形ABFC是菱形；

(2)若CD=1,BE=2,求。。的半径.

B

二十二.解直角三角形的应用（共1小题）

26.（2020•西宁）如图1,通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式

大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡.某数学“综合

与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量,

测得如下数据：NA=30°,ZB=45°,斜拉主跨度AB=260米.

（1）过点C作CCAB,垂足为£>,求CO的长（通取1.7）；

（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造

价是多少元？

图1图2

二十三.列表法与树状图法（共3小题）

27.（2022•西宁）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、涅中堆绣、贵南藏绣、河涅刺

绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录.

（1）省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是

（填“全面调查”或“抽样调查”）；

（2）为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游

戏.如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4

个扇形，并在每个扇形区域分别标上A,B,C,代表土族盘绣、B代表涅中堆绣、

C代表贵南藏绣、。代表河涅刺绣）.游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指

针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某

一区域内为止）.请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两名同学获得同一种绣品的概率,

并列出所有等可能的结果.

A

BD

28.（2021•西宁）某校在“庆祝建党100周年”系列活动中举行了主题为“学史明理，学史

增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛.设竞赛成绩为x分，若规定：当x>90

时为优秀，75WxV90时为良好，60Wx<75时为一般，现随机抽取30位同学的竞赛成

绩如表:

9888907210078959210099

849275100859093937092

788991839398888590100

（1）本次抽样调查的样本容量是,样本数据中成绩为“优秀”的频率是

（2）在本次调查中，A,B,C,。四位同学的竞赛成绩均为100分，其中A,B在九年

级，C在八年级，。在七年级，若要从中随机抽取两位同学参加联盟校的党史知识竞赛,

请用画树状图或列表的方法求出抽到的两位同学都在九年级的概率，并写出所有等可能

结果.

29.（2020•西宁）随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样.某校数

学兴趣小组为了解某社区20〜60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微

信、BQQ.C钉钉、。其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问

卷调查（每人必选且只能选择其中一项）.根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请

你根据图中信息解答下列问题：

（1）参与问卷调查的总人数是

（2）补全条形统计图；

（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A,B,C三种APP中的一种，求他俩选择

同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果.

青海省西宁市三年(2020-2022)中考数学真题分类汇编-解答题

参考答案与试题解析

实数的运算(共2小题)

1.(2022•西宁)计算：(-2)3+A/12+(―)

3

【解答】解：原式=-8+2我+3

=243-5.

2.(2020•西宁)计算:3-2X|-9|+(-n)°.

【解答】解：原式=2X9+1

9

=2.

二.完全平方公式(共1小题)

3.(2020•西宁)化简：3(?+2)-(x-I)2.

【解答】解：原式=37+6-(？-2x+l)

=3?+6-J?+2X-1

=2$+2x+5.

三.因式分解的应用(共1小题)

4.(2022•西宁)八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

将2a-3ab-4+6b因式分解.

【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解法一：原式=(2a-3ab)-(4-6b)

=a(2-36)-2(2-38)

=(2-3b)(a-2)

解法二：原式=(2a-4)-Sab-6b)

=2(a-2)-3bCa-2)

=(a-2)(2-3b)

【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组,

再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组

分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.(温馨提示：因式

分解一定要分解到不能再分解为止)

【类比】（1）请用分组分解法将/-J+x+q因式分解；

【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2因式分解；

【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理.如图,

“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形.若

直角三角形的两条直角边长分别是“和6（">〃），斜边长是3,小正方形的面积是1.

根据以上信息，先将/-2/什2/层-2a序+乂因式分解，再求值.

【解答】解：(1)原式=(7-/>+(x+q)

=(冗+。)(X-。)+(x+a)

=(x+。)(X-。+1)；

(2)原式=Cax-hx)+(a2-2ah+h2)

=x(a-b)+(a-b)2

=(。-b)(x+。-/?)；

(3)原式=(J+2/序+M)-(2ah3+2a3h)

=(j+庐)2-2ab(廿+廿)

=(c/+廿)(a2+/?2-2ab)

=(/+必)(“-b)2,

・・•直角三角形的两条直角边长分别是〃和〃(a>8),斜边长是3,小正方形的面积是1,

222

Aa+Z>=3=9,(Q-6)2=1,

工原式=9.

四.分式的化简求值(共1小题)

2_1L

5.(2020•西宁)先化简，再求值：(r；)+V=，其中a=&+1.

a+aa+2a+l

2

【解答】解：原式=(旦/■-」—)+(a+1)(a-1)

a2+aa2+a(a+1)2

=a、+a-a•(a+1)'

a(a+1)(a+1)(a-1)

=a2.(a+1)，

a(a+1)(a+1)(a-1)

a-1

当〃=&+1时，原式=+1=A'12.

A/2+I-I2

五.负整数指数塞（共1小题）

6.（2021•西宁）计算：（_2）2+e厂1_|卜

【解答】解：原式=4+2-3

=6-3

=3.

六.二次根式的混合运算（共1小题）

7.（2021•西宁）计算：（遥+3）（V5-3）-（A/3-1）2

【解答】解：原式=5-9-（3-2A/3+1）

=-4-4+2A/3

=-8+2V3.

七.解一元二次方程-因式分解法（共1小题）

8.（2021•西宁）解方程：x（%-2）=x-2.

【解答】解：x（x-2）-（x-2）=0,

（x-2）（x-1）=0,

x-2=0或冗-1=0,

所以Xl=2,X2=l.

八.解分式方程（共2小题）

9.（2022•西宁）解方程：-_旦_=0.

x2a+.xx2-x

【解答】解：方程两边同乘以X（x+1）（X-1）得：

4（x-1）-3（x+1）=0.

去括号得：

4x-4-3x-3=0,

移项，合并同类项得：

x=7.

检验：当x=7时，x(x+1)(x-1)W0,

:*x=7是原方程的根.

：.x=7.

10.（2021•西宁）解方程：2tL—-=1.

xV-1x2-11

【解答】解：方程两边同乘Q+l）（x-1）,得

（x+1）2-4=（x+1）（X-1）,

整理得2%-2=0,

解得x=l.

检验：当x=l时，（x+1）（x-1）=0,

所以x=l是增根，应舍去.

二原方程无解.

九.解一元一次不等式组（共1小题）

’2x-24x

11.（2020•西宁）解不等式组]、1,并把解集在数轴上表示出来.

x+2>-yx-l

’2x-24x①

【解答】解：、1-，

x+2>$-l②

解不等式①，得xW2,

解不等式②，得x>-2,

二不等式组的解集是-2<xW2.

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：

-7-6-5-4-3-2-10123456".

一十.一元一次不等式组的整数解（共1小题）

12.（2022•西宁）解不等式组：[x-3（「2）>4,并写出该不等式组的最大整数解.

12x+l<x-l

【解答】解:[x-3（,2）1①,

[2x+l<x-l②

解不等式①得：xWl,

解不等式②得：x<-2,

不等式组的解集是x<-2,

该不等式组的最大整数解为-3.

一十一.一次函数的应用（共1小题）

13.（2021•西宁）城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片五四”期间，西宁市

某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生

日”.现需租用A,B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量（不包括司机）和

租金信息如表：

型号载客量租金单价

（人/辆）（元/辆）

A16900

B221200

若设租用4型客车x辆，租车总费用为y元.

（1）请写出y与x的函数关系式（不要求写自变量取值范围）；

（2）据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？

（3）在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省

钱的租车方案.

【解答】解：（1）y=900x+1200（10-x）=-300^+12000,

；.y=-300x+12000：

（2）根据题意，得-300x+12000W11800,

解得：x^l,

3

应为正整数，

.♦.X21

；.A型客车至少需租1辆;

（3）根据题意，得16x+22（10-x）>200,

解得xW蛇，

3

结合（2）的条件，

33

应为正整数，

.♦.X取1,2,3,

二租车方案有3种，

方案一：A型客车租1辆，8型客车租9辆;

方案二：A型客车租2辆，B型客车租8辆;

方案三：A型客车租3辆，B型客车租7辆;

Vy=-300x+12000,YO,

随x的增大而减小，

.•.当x=3时，函数值y最小，

二最省钱的租车方案是A型客车租3辆，8型客车租7辆.

一十二.待定系数法求反比例函数解析式(共1小题)

14.(2022•西宁)如图，正比例函数y=4x与反比例函数>=区(x>0)的图象交于点A(a,

x

4),点B在反比例函数图象上，连接AB,过点B作BCLx轴于点C(2,0).

(1)求反比例函数解析式；

(2)点。在第一象限，且以4,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出

【解答】解：(1)•••正比例函数y=4x与反比例函数y=K(x>0)的图象交于点A(a,

X

4),

.•.4=4m

・・・A(1,4),

...k=4X1=4.

...反比例函数的表达式为：尸全

X

(2)当x=2时，y=A=2,

2

：.B(2,2).

：.BC=2,

・・・。在第一象限，以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形,

：.AD//BC,AD=BC=2,

的坐标为(1,2)或(1,6).

一十三.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)

15.(2021•西宁)如图，正比例函数y=L与反比例函数y=K(%>0)的图象交于点A,

2x

轴于点8,延长AB至点C,连接0C.若cosNB0C=2,0C=3.

3

(1)求08的长和反比例函数的解析式；

(2)将AAOB绕点。旋转90°,请直接写出旋转后点A的对应点A'的坐标.

【解答】.解：(I)••SBLr轴于点8,

：.NOBC=96°,

在Rtz^OBC中，OC=3,COS/BOC=2,

3

•.•-0--B-_2f

OC3

：.OB=2,

・・.点A的横坐标为2,

又・・,点A在正比例函数y=/的图象上，

-*-y=4-X2=L

2

・・・A(2,1),

把A(2,1)代入丫=乂得1=区，

x2

:・k=2,

...反比例函数的解析式是y=2(x>0)；

X

(2)若将△AOB绕原点。顺时针旋转90°,则旋转后点A的对应点A'(1,-2),

若将△AOB绕原点。逆时针旋转90°,则旋转后点A的对应点4'（-1,2）,

一十四.反比例函数综合题（共1小题）

16.（2020•西宁）如图，一次函数y=-x+l的图象与两坐标轴分别交于A,8两点，与反

比例函数的图象交于点C（-2,m）.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在y轴正半轴上，且与点B,C构成以BC为腰的等腰三角形，请直接写出

所有符合条件的P点坐标.

【解答】解：（1）•.•点C（-2,加）在一次函数y=-x+1的图象上,

把C点坐标代入y=-x+1,得m=-（-2）+1=3,

.•♦点C的坐标是（-2,3）,

设反比例函数的解析式为y支（k#0），

X

把点C的坐标（-2,3）代入yju得，3』，

x-2

解得k=-6,

，反比例函数的解析式为y=3;

X

(2)在直线y=-x+1中，令x=0,则y=l,

：.B(0,1),

由(1)知，C(-2,3),

•*-BC=V(3-1)2+(-2)2=2加，

当3c=8P时，8尸=2弧，

：.OP=l42+\,

：.P(0,2&+1),

当BC=PC时，点C在BP的垂直平分线，

：.P(0,5),

即满足条件的点p的坐标为(0,5)或(0,2V2+D.

一十五.二次函数综合题(共3小题)

17.(2022•西宁)如图，抛物线丫=0?+&+3与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点8,点

C在直线AB上，过点C作C£)J_x轴于点。(I,0),将△ACD沿CO所在直线翻折，使

点A恰好落在抛物线上的点E处.

(1)求抛物线解析式；

(2)连接BE,求△BCE的面积；

(3)抛物线上是否存在一点P,使=若存在，求出产点坐标；若不存在,

请说明理由.

【解答】解：(1)•••将△ACO沿CO所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处,

点A的坐标为(3,0),点。的坐标为(1,0),

.,.点E的坐标为(-1,0).

将A(3,0),E(-1,0)代入y=o?+bx+3,

得"9a+3b+3=0,解得：卜=7,

Ia_b+3=0Ib=2

.•.抛物线的解析式为丫=-/+2x+3.

(2)当x=0时，y=-IX(0)2+2*0+3=3,

.•.点B的坐标为(0,3).

设直线A8的解析式为（相/0）,

将A（3,0）,B（0,3）代入了=见+小

得：「mmO,解得：,=-1,

In=3In=3

直线AB的解析式为y=-x+3.

•.•点C在直线A8上，。。_1犬轴于点。（1,0）,当x=l时，y=-IX1+3=2,

点C的坐标为（1,2）.

•••点A的坐标为（3,0）,点B的坐标为（0,3）,点C的坐标为（1,2）,点E的坐标

为（-1,0）,

：.AE=4,08=3,C£>=2,

ASABCE=SAABE-SAAC£=AAE«OB-LE・C£>TX4X3-工X4X2=2,

2222

...△8CE的面积为2.

（3）存在，理由如下：

；点A的坐标为（3,0）,点3的坐标为（0,3）,

：.OA=OB=3.

在Rt^AOB中，NAOB=90°,OA=OB,

：.ZBAE=45°.

；点P在抛物线上，

设点P的坐标为（机，-m2+2m+3）.

①当点P在x轴上方时记为为，过点Pi作轴于点M,

在RtZYEMPi中，NP|E4=45°,ZPiME=90",

：.EM=P\M,即m-（-1）=-m2+2m+3,

解得：，川=-1（不合题意，舍去），mi—2,

.•.点P1的坐标为（2,3）；

②当点尸在x轴下方时记为Pz，过点P2作PiNYx轴于点N,

在Rt/\ENP2中,NP2EN=45°,ZPiNE=90°,

2

：.EN=P2N,SPtn-（-1）=-（-w+2zn+3）,

解得：加1=-1（不合题意，舍去），，〃2=4,

二点尸2的坐标为（4,-5）.

综上所述，抛物线上存在一点P,使NPE4=NBAE,点P的坐标为（2,3）或（4,-5）.

18.（2021•西宁）如图，在平面直角坐标系xO），中，一次函数），=-1+3的图象与x轴交

2

于点A,与y轴交于点8,点C的坐标为（-2,0）,抛物线经过A,B,C三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线A。与y轴负半轴交于点。，且/BAO=ND4。，求证：OB=OD；

（3）在（2）的条件下，若直线AO与抛物线的对称轴/交于点E,连接BE,在第一象

限内的抛物线上是否存在一点P,使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的

坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由.

解得x=6,

令1=0,则y=3,

AA(6,0),B(0,3),

设抛物线的解析式为y=/+以+c,

把A,B,。三点坐标代入解析式，得:

36a+6b+c=0

<c=3，

4a_2b+c=0

,1

a-口

解得:b=i，

c=3

...抛物线的解析式为丫=士+x+3；

4

(2)证明：：在平面直角坐标系xOy中,

：.Z8OA=ZDOA=90°,

在△BOA和△OOA中，

，ZB0A=ZD0A

<0A=0A，

ZBA0=ZDA0

：./\BOA^/^DOA(ASA),

：.OB=OD,

(3)存在，理由如下：

如图，过点E作目WJ_y轴于点M,

,.，y=^C2+X+3——(x-2)2+4,

44

.•.抛物线的对称轴是直线x=2,

点的横坐标是2,即EM=2,

,:B(0,3),

：.OB=OD=3,

：.BD=6,

'：A(6,0),

：.OA=6,

♦♦S/\ABE=S&ABD~SADBE=—6X6——X6X2=12，

22

设点P的坐标为(r,二尸+/+3),

4

连接外，PB,过点P作PNJ_x轴于点M，交直线AB于点M过点B作BH2，PN于点

“2,

：.N(t,-A/+3),

2

PN=」P+t+3-(--t+3)=’尸+31，

4242

♦.•AHI+BH2=OA=6,SAABP=SANBP+SMNP=LPN・BH2dpN.AH\=LPN・OA,

222

•,-S&ABP——X6(，金+2f)=&(r-3)2+红，

24244

VO,抛物线开口向下，函数有最大值，

4

当t=3时，△8B4面积的最大值是2L此时四边形BEAP的面积最大，

4

四边形BEAP的面积最大值为21+12=匹，

44

...当P点坐标是(3,」互)时，四边形2EAP面积的最大值是匹.

19.(2020•西宁)如图1,一次函数的图象与两坐标轴分别交于A,B两点，且B点坐标为

(0,4),以点A为顶点的抛物线解析式为y=-(x+2)2.

(1)求一次函数的解析式；

(2)如图2,将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C,与y轴交点记

为。，当点C的横坐标为-1时，求抛物线的解析式及。点的坐标；

(3)在(2)的条件下，线段AB上是否存在点P,使以点8,D,P为顶点的三角形与

△A08相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

【解答】解：(1)•••抛物线解析式为y=-G+2)2,

.♦.点A的坐标为(-2,0),

设一次函数解析式为(Ar0),

把A(-2,0),B(0,4)代入丫=履+'

得卜2k+b=0,

Ib=4

解得，k=2,

Ib=4

一次函数解析式为y=2x+4；

(2)•.•点C在直线y=2x+4上，且点C的横坐标为-1,

：.y=2X(-I)+4=2,

.•.点C坐标为(-1,2),

设平移后的抛物线解析式为y="(x-/z)~+k(“WO),

'.'a--1,顶点坐标为C(-1,2),

...抛物线的解析式是丫=-(X+1)2+2,

•••抛物线与y轴的交点为。，

令X—0»得y—1,

.•.点。坐标为(0,1);

(3)存在，

①过点D作P\D//OA交AB于点Pi,

图2

:.XBDP\SXB0A,

AP\点的纵坐标为1,代入一次函数y=2x+4,

得x=3,

2

.♦.Pi的坐标为(R,1)；

2

②过点D作PiDYAB于点P2,

：.ZBP2D^ZAOB=9QQ,

又•:NDBP2=ZABO(公共角)，

.♦.△BP20s△BOA,

•.•--O--B--Z2--A-B--,

P2BBD

♦.•直线y=2_r+4与无轴的交点A(-2,0),B(0,4),

又：。(0,1),

：.0A=2,08=4,BD=3,

AB=722+42=2>/5>

.42V5

••=

P2B3

♦FB*

过P2作P2MLy轴于点M,

设尸2(m2a+4),

贝ijP2M=|a|=-a,BM=4-(2a+4)=-2a,

222>

在RtZ\8P2M中P2M+BM=P2B

•，,（-a）2+（-2a）2=（身醇）2，

解得+旦（舍去），

55

-6

••

b

--8

・・2a+4=三,

b

，P2的坐标为（3,一）,

55

综上所述：点P的坐标为：1）或（也，B）.

255

一十六.菱形的性质（共1小题）

20.（2022•西宁）如图，四边形ABC。是菱形，AELBC于点E,AFLCQ于点F.

（1）求证：ZiABE名△AOF；

（2）若AE=4,CF=2,求菱形的边长.

【解答】(1)证明：•••四边形488是菱形,

：.AB=BC^CD=AD,NB=ND,

"：AELBC,AF±CD,

：.ZAEB=ZAFD,

在△A8E和△AOF中，

，ZAEB=ZAFD

<ZB=ZD-

AB=AD

A^ABE^/XADF(A4S)；

（2）解：设菱形的边长为x,

"：AB=CD^x,CF=2,

二。尸=x-2,

AABE^/\ADF,

：.BE=DF=x-2,

在RtaABE中，根据勾股定理得,

AE1+BE1=AB2,

即42+(%-2)2=/,

解得x=5,

菱形的边长是5.

一十七.矩形的判定与性质(共1小题)

21.(2021•西宁)如图，四边形ABCZ)是菱形，对角线AC,BO相交于点。，

CEB.

(1)求证：四边形OBEC是矩形；

(2)若NA8C=120°,43=6,求矩形OBEC的周长.

【解答】(1)证明：•.'△BOC丝△CEB,

：.OB=EC,OC=EB,

四边形OBEC是平行四边形，

•.•四边形ABCD是菱形，

：.AC±BD,

ZBOC=90°,

平行四边形O8EC是矩形；

(2)解：；四边形ABCO是菱形，AB=6,ZABC=U0°,

：.AC±BD,BC=AB=6,ADBC=^AABC=6Q°,

2

...NBOC=90°,

AZOCB=30°,

：.OB=^BC=3,

2

；•℃=VBC2-0B2=762-32=3a,

矩形OBEC的周长=2(3a+3)=6百+6.

一十八.正方形的性质(共1小题)

22.(2020•西宁)如图，E是正方形A8C£＞对角线BO上一点，连接AE,CE,并延长CE

交AO于点F.

(1)求证：AABE会4CBE；

(2)若NAEC=140。，求NQFE的度数.

【解答】(1)证明：I•四边形ABC力是正方形，

：.AB=CB,/ABC=NAOC=90°,ZABE=ZCBE=ZADB=j-X90°=45°，

在△ABE和△CBE中，

'AB=CB

<ZABE=ZCBE,

BE=BE(公共边)

:.AABE出/\CBE(SAS)；

(2)VAABE^ACBE,

NAEB=NCEB,

又；N4EC=140°,

AZCEB=70°,

VZD£C+ZCEB=180°,

/.ZDEC=180°-ZCEB=110°,

NDFE+NADB=/DEC,

：.ZDFE=ZDEC-ZADB=110°-45°=65°.

一十九.切线的判定与性质(共1小题)

23.(2021•西宁)如图，AABC内接于。。，AB=ACfA。是。。的直径，交BC于点、E,

过点。作交A8的延长线于点F,连接8D.

(1)求证：OF是。。的切线；

(2)已知AC=12,Ab=15,求。尸的长.

【解答】(1)证明：・・・AO是。。的直径,

・・・NABO=90°,

即NA8C+NC8O=90°,

*：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

VNADB=NC,

：.ZABC=NAO8,

■:BC//DF,

:・NCBD=/FDB,

：.ZADB+ZFDB=9Q°,

即NAO尸=90°,

：.AD±DF,

又「。。是G)o的半径，

尸是。。的切线；

(2)解：VAB=AC=12,AF=15,

：.BF=AF-AB=3,

•：NF=/F,NFBD=NFDA=9C,

：./\FBD^/\FDAf

：.BFxDF=DF：AF,

：.DF2=BFXAF=3X15=45,

：.DF=^[^=3娓.

二十.圆的综合题(共1小题)

24.(2022•西宁)如图，在Rt/VLBC中，/C=90°，点。在AB上，以8。为直径的00

与AC相切于点E,交BC于点F,连接。F,OE交于点

(1)求证：四边形EMFC是矩形；

(2)若AE=7叼，。。的半径为2,求的长.

AZBFD=90°,

/.ZCFD=90°.

•；。0与AC相切于点E,

J.OEVAC,

；./OEC=/OEA=90°.

又：/C=90°,

AZC=ZCFD=ZOEC=90°,

.•.ZEMF=90°,

四边形EMFC是矩形.

(2)解：在RtZ\AEO中，ZA£O=90°,AE=^,OE=2,

OA=VAE2-K)E2=V(V5)2+22=3,

：.AB=OA+OB=3+2=5.

•.,/AEO=/C=90°,

：.OE//BC,

△AEOszMCB,

."C=5祈,

3_

：.CE=AC-AE=^^---J5=2^U-.

33

又；四边形EMFC是矩形,

：.FM=CE=.

3

二十一.相似三角形的判定与性质（共1小题）

25.（2020•西宁）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交AC于点。，交BC

于点E,延长AE至点凡使所=AE,连接尸8,FC和

（1）求证：四边形ABFC是菱形；

（2）若CO=1,BE=2,求的半径.

【解答】（D证明：为。。的直径，

...NAEB=90°（直径所对的圆周角是直角），

J.AF^BC.

•.,在△ABC中AB=AC：.CE=BE（等腰三角形三线合一），

"：AE=EF