2023学年完整公开课版《组合》

1.1.2组合（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；

（2）使学生掌握组合数的计算公式、组合数与排列数之间的关系；

（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；本节课的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式。难点是解组合的应用题。本节课采用教材上的内容及编排顺序进行教学，突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用，并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。

为了突出重点、突破难点、实现教学目标，根据学生对事物的认识是从特殊到一般的认知规律，我将采取比较的教学方法。引导学生得到组合、组合数的概念，并理解排列与组合的区别与联系，使学生清楚地认识到，一个排列的问题的解决，可以化归为一个先组合，再全排列的问题，从而顺理成章地得到排列数与组合数之间的关系，并推导组合数公式，在这里体现转化的数学思想方法。在教学过程中，按照“实践－认识－再实践”认识过程，让学生通过“学习－练习－反馈－小结”的方式，使教学目标得以强化和落实。

问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙3从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,合成一组问题2从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

排列与组合的概念有什么共同点与不同点？组合定义:组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.共同点:

都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc

2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.abcd

b

cd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)(6个)

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:组合数:注意：

是一个数，应该把它与“组合”区别开来．

探究：

与有什么区别与联系？我们从具体问题分析

1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？组合数公式:排列与组合是有区别的，但它们又有联系．根据分步计数原理，得到：因此：

一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数．第2步，求每一个组合中个元素的全排列数．这里，且，这个公式叫做组合数公式．组合数公式:

从n个不同元中取出m个元素的排列数猜想：1.计算：公式应用:2.一个口袋内装有7个不同的白球和1个黑球．（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，共有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，没有黑球，共有多少种不同的取法？猜想:mnmnmnCCC11＋－＝＋组合数的两个性质:性质1mnnmnCC－＝性质2mnmnmnCCC11＋－＝＋注:1.

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．2.此性质的作用：恒等变形，简化运算．例1计算：(2)

例题分析(3)⑴

例2：一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:

(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?

(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?例3：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?

(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?变式1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的双方；（2)列出所有冠亚军的可能情况.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：变式练习2按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；课堂练习：2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为

。1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有

种。993、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（）.4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）.CD排列组合组合的概念组合数的概念组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果联系再见敬请指导1.1.3排列组合的应用(二)(一).排列组合混合问题先选后排策略例1.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有

种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有

种方法.根据分步计数原理装球的方法共有

.解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.例2.对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能.练习1:一个班有6名战士,其中正副班长各1人，现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有

种.1921、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法__________________________种.2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?练习2:例3.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用块隔板，插入n个元素排成一排的个空隙中，所有分法数为.m-1n-1二、分类组合,隔板处理例4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?解:采用“隔板法”得:

练：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个，有多少装法？例5.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF.若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF,该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。三、组合问题中的分组问题例6.6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．++(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配