专题18 数学文化问题（精练）-2019年中考数学高频考点突破全攻略（解析版）

一、选择题（10×3=30分）1.A“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图Z11－1，图Z11－2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其主视图和左视图完全相同时，它的主视图和俯视图分别可能是()图Z11－1图Z11－2A．a，bB．a，cC．c，bD．b，d[解析]当主视图和左视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，主视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且对角线为两条实线．故选A.2.（2018•吉林）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组为（）A． B．C． D．3.【2017·黔东南州】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用图Z11－14的三角形解释二项和(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．(a＋b)0……………①(a＋b)1……………①①(a＋b)2…………①②①(a＋b)3………①③③①(a＋b)4……①④⑥④①(a＋b)5…①⑤⑩⑩⑤①…………图Z11－14根据“杨辉三角”请计算(a＋b)20的展开式中第三项的系数为()A．2017B．2016C．191D．190【解析】观察可得(a＋b)n的展开式中第三项的系数为eq\f(n（n－1）,2)，因此，可得(a＋b)20的展开式中第三项的系数为190.学科@网4.【2017云南】正如我们小学学过的圆锥体积公式V＝eq\f(1,3)πr2h(π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高)一样，许多几何量的计算都要用到π.祖冲之是世界上第一个把π计算到小数点后7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确．在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少．现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内．即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习．下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9eq\r(3)π，则这个圆锥的高等于()A．5eq\r(3)πB．5eq\r(3)C．3eq\r(3)πD．3eq\r(3)5.（2018•邵阳）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（）A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．6.（2018•乐山•3分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸7.[2017·眉山]“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸．问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图Z11－10获得，则井深为()A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺[解析]如图，由题意，得BC∥DE，从而△ABF∽△ADE，因此eq\f(BF,DE)＝eq\f(AB,AD)，即eq\f(0.4,5)＝eq\f(5,5＋BD)，解得BD＝57.5，所以井深为57.5尺．8.（2018•十堰）我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（）A． B．C． D．=9.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国目前已知最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.eq\f(22,7)B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50)D.eq\f(355,113)[解析]由题意知eq\f(2,75)L2h≈eq\f(1,3)πr2h，∴eq\f(2,75)L2≈eq\f(1,3)πr2，而L≈2πr，代入得π≈eq\f(25,8).10.（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）【版权所有：21教育】A．5 B．4 C． D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，二、填空题（6×4=24分）.11.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图Z11－13所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x的值为________．【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)x＝12.6.解得x＝1.6.12.中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两。牛二，羊五，值金八两。问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金两、两，依题意，可列出方程为.【解析】本题考察列二元一次方程组，抓住题中的等量关系，较为容易列出方程组.【答案】

13.[2017·遵义]明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图Z11－11)，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有________两．(注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语)【解析】设这群人人数为x，根据题意得7x＋4＝9x－8，解得x＝6，银子的数量为46两．学科@网14.中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数．如图Z11－6，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为________．15.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为eq\f(n（n＋1）,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式．三角形数N(n，3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，……可以推测，N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．【解析】由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)－1))n2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,2)－2))n，于是N(n，24)＝11n2－10n，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1000.16.（2017•乐山）庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”．这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1=+++…++…．图2也是一种无限分割：在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，过点C作CC1⊥AB于点C1，再过点C1作C1C2⊥BC于点C2，又过点C2作C2C3⊥AB于点C3，如此无限继续下去，则可将利△ABC分割成△ACC1、△CC1C2、△C1C2C3、△C2C3C4、…、△Cn﹣2Cn﹣1Cn、…．假设AC=2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是QUOTE．【解答】解：如图2，∵AC=2，∠B=30°，CC1⊥AB，∴Rt△ACC1中，∠ACC1=30°，且BC=2，∴AC1=AC=1，CC1=AC1=，∴S△ACC1=•AC1•CC1=×1×=；∵C1C2⊥BC，∴∠CC1C2=∠ACC1=30°，∴CC2=CC1=，C1C2=CC2=，∴=•CC2•C1C2=××=×，同理可得，=×（）2，=×（）3，…∴=×（）n﹣1，【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、解答题（共46分）.17.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图Z11－5)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求cosθ的值．【解析】如图，∵大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，∴大正方形边长AD＝5，小正方形的边长EF＝1.设DE＝AF＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2＋DE2＝AD2，∴(x＋1)2＋x2＝52，解得x1＝－4(舍去)，x2＝3，即DE＝3，AE＝3＋1＝4，∴cosθ＝cos∠DAE＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(4,5).18.（2016·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）【考点】解直角三角形的应用．【解答】解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，19.【2017·宜昌】阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2－n2))，,b＝mn，,c＝\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m2＋n2)).))其中m>n>0，m，n是互质的奇数．应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【解析】：当n＝1时，a＝eq\f(1,2)(m2－1)①，b＝m②，c＝eq\f(1,2)(m2＋1)③，因为直角三角形有一边长为5，分情况如下：情况1：当a＝5时，即eq\f(1,2)(m2－1)＝5，解得m＝±eq\r(11)(舍去)；情况2：当b＝5时，即m＝5，再将它分别代入①③得a＝eq\f(1,2)×(52－1)＝12，c＝eq\f(1,2)×(52＋1)＝13；情况3：当c＝5时，即eq\f(1,2)(m2＋1)＝5，m＝±3，因m>0，所以m＝3，把m＝3分别代入①②得a＝eq\f(1,2)×(32－1)＝4，b＝3.综上所述，直角三角形的另两边长为12，13或3，4.20.（2018•江苏淮安•12分）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互