上海市上海外国语大学附属外国语学校2023-2024学年高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

上海市上海外国语大学附属外国语学校2023-2024学年高一数学第一学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某人围一个面积为32m2的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高3m，新墙的造价为1000元/m2，则当A.9 B.8C.16 D.642．若一元二次不等式的解集为，则的值为（）A. B.0C. D.23．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（）.A. B.C. D.4．某班有50名学生，编号从1到50，现在从中抽取5人进行体能测试，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为3，则第四个样本编号是A.13 B.23C.33 D.435．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为A. B.C. D.6．设，，，则下列大小关系表达正确的是（）A. B.C. D.7．函数的最小正周期是（）A.π B.2πC.3π D.4π8．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（）A.浮萍每月的增长率为2B.浮萍每月增加的面积都相等C.第4个月时，浮萍面积超过D.若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则9．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（）A. B.C. D.10．，表示不超过的最大整数，十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则（）A.0 B.1C.7 D.8二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．将函数的图象先向下平移1个单位长度，在作关于直线对称的图象，得到函数，则__________.12．空间直角坐标系中，点A（﹣1，0，1）到原点O的距离为_____13．函数的定义域是__________，值域是__________.14．求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为_____15．设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λμ0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量①若2，则、线性相关；②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）16．求值：2+=____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知OPQ是半径为1，圆心角为2θ（θ为定值）的扇形，A是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形内的内接矩形，记∠AOP＝（0＜＜θ）（1）用表示矩形ABCD的面积S；（2）若θ＝，求当取何值时，矩形面积S最大？并求出这个最大面积18．已知函数.（1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）求在区间[,2]上的值域.19．已知为角终边上的一点（1）求的值（2）求的值20．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（）的最小正周期为π，且（1）求ω和φ的值；（2）函数f（x）的图象纵坐标不变的情况下向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，①求函数g（x）的单调增区间；②求函数g（x）在的最大值21．冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分，加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会、冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用.某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本（万元）.当年产量低于60千件时，；当年产量不低于60千件时，.每千件产品售价为60万元，且生产的产品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】由题设总造价为y=3000(x+64x)，应用基本不等式求最小值，并求出等号成立时的【详解】由题设，总造价y=1000×3×(x+2×32当且仅当x=8时等号成立，即x=8时总造价最低.故选：B.2、C【解析】由不等式与方程的关系转化为，从而解得【详解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}，∴，解得，k＝﹣1，m＝﹣1，故m+k＝﹣2，故选：C3、B【解析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：制作这样一面扇面需要的布料为.故选：B.【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.4、C【解析】根据系统抽样的定义，求出抽取间隔，即可得到结论.【详解】由题意，名抽取名学生，则抽取间隔为，则抽取编号为，则第四组抽取的学生编号为.故选：【点睛】本题考查系统抽样，等间距抽取，属于简单题.5、C【解析】由题设有，所以，选C.6、D【解析】利用中间量来比较三者的大小关系【详解】由题.所以.故选：D7、A【解析】化简得出，即可求出最小正周期.【详解】，最小正周期.故选：A.8、B【解析】先利用特殊点求出函数解析式为，再利用指数函数的性质即可判断出正误【详解】解：图象可知，函数过点，，函数解析式为，浮萍每月的增长率为，故选项A正确，函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，当时，，故选项C正确，对于D选项，，，，，又，，故选项D正确，故选：B9、D【解析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可.【详解】由题意，设，由图象知：，所以，所以，因为点在图象上，所以，则，解得，所以函数，即，故选：D10、D【解析】根据函数的新定义求解即可.【详解】由题意可知4－(－4)＝8.故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、5【解析】利用平移变换和反函数的定义得到的解析式，进而得解.【详解】函数的图象先向下平移1个单位长度得到作关于直线对称的图象，即的反函数，则，，即，故答案为：5【点睛】关键点点睛：本题考查图像的平移变换和反函数的应用，利用反函数的性质求出的解析式是解题的关键，属于基础题.12、【解析】由空间两点的距离公式计算可得所求值.【详解】点到原点的距离为,故答案为：.【点睛】本题考查空间两点的距离公式的运用，考查运算能力，是一道基础题.13、①.②.【解析】解不等式可得出原函数的定义域，利用二次函数的基本性质可得出原函数的值域.详解】对于函数，有，即，解得，且.因此，函数的定义域为，值域为.故答案为：；.14、或【解析】当直线没有斜率时，直线的方程为x=2,满足题意，所以此时直线的方程为x=2.当直线存在斜率时，设直线的方程为所以故直线的方程为或.故填或.15、①④【解析】利用和线性相关等价于和是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确【详解】解：若、线性相关，假设λ≠0，则，故和是共线向量反之，若和是共线向量，则，即λμ0，故和线性相关故和线性相关等价于和是共线向量①若2，则20，故和线性相关，故①正确②若和为非零向量，⊥，则和不是共线向量，不能推出和线性相关，故②不正确③若和线性相关，则和线性相关，不能推出若和线性相关，例如当时，和可以是任意的两个向量．故③不正确④向量和线性相关的充要条件是和是共线向量，故④正确故答案为①④【点睛】本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确和线性相关等价于和是共线向量，是解题的关键16、-3【解析】利用对数、指数的性质和运算法则求解【详解】解：（）lg（1）lg1[（）3]2+（）02+1＝﹣3故答案为﹣3【点睛】本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数的性质、运算法则的合理运用三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）S＝（0＜＜θ）；（2）当α＝时，S取得最大值为2﹣【解析】（1）由题意可求得∠ADO，△COD为等腰三角形，在△OAD中利用正弦定理求出AD，从而可用表示矩形ABCD的面积S；（2）由（1）可得，然后由的范围结合正弦函数的性质可求出其最大值【详解】解：（1）由题意可得AD∥OE∥CB，∴∠POE＝∠PDA＝θ，∴∠ODC＝＝∠DCO，∠BOA＝2θ﹣2，△COD为等腰三角形故AB＝2sin（θ﹣），再由∠ADO＝＝π﹣θ，△OAD中，利用正弦定理可得，化简可得AD=故矩形ABCD的面积S＝f（）＝AB•AD＝（0＜＜θ）（2）θ＝，由（1）可得S＝f（）＝＝＝再由0＜＜可得＜2＋＜，故当2＋＝，即当＝时，S＝f（）取得最大值为2﹣18、（1）（2）函数在上为减函数（3）【解析】（1）直接令真数大于0即可得解；（2）由和，结合同增异减即可得解；（3）直接利用（2）的单调性可直接得值域.【小问1详解】由，得，解得.所以定义域为；小问2详解】由在上为增函数，且为减函数，所以在上为减函数；【小问3详解】由（2）知函数单调递减，因为，，所以在区间上的值域为.19、（1）；（2）【解析】分析：（1）直接利用三角函数的坐标定义求的值.(2)先求的值，再求的值.详解：（1）由题得（2）∵在第一象限，∴∴点睛：（1）本题主要考查三角函数坐标定义和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)点p(x,y)是角终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，则sin=cos=tan=.20、(1)；（2）①增区间为;②最大值为3.【解析】（1）直接利用函数的周期和函数的值求出函数的关系式（2）利用函数的平移变换求出函数g（x）的关系式，进一步求出函数的单调区间（3）利用函数的定义域求出函数的值域【详解】（1）的最小正周期为，所以，即=2，又因为，则，所以.（2）由（1）可知，则，①由得，函数增区间为.②因为，所以.当，即时，函数取得最大值，最大值为.【点睛】本题考查正弦型函数