沪科版八年级数学上册《第15章轴对称图形和等腰三角形》单元测试卷-带答案

第页沪科版八年级数学上册《第15章轴对称图形和等腰三角形》单元测试卷-带答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下面是青岛、济南、郑州、太原四个城市的地铁图标，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的值是（）A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm3．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为（）A．13cm B．17cm C．22cm D．17cm或22cm4．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C． D．5．如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点在边上的落点记为点．那么等于（）A． B． C． D．6．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为3，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞3 B．PQ≥3 C．PQ＜3 D．PQ≤37．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D为BC上一点，CD=AD=4，则BC的长为（）A．10 B．12 C．14 D．168．在中，，在上取一点，使得，则下列尺规作图选项正确的是（）A． B．C． D．9．已知等边△ABC中AD⊥BC，AD=12,若点P在线段AD上运动，当AP+BP的值最小时，AP的长为（）.A．4 B．8 C．10 D．12二、填空题10．若等腰△ABC的两条边长为6cm和2cm，则等腰三角形周长为cm．11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为．12．如图，在中，，，是线段的垂直平分线，连接，若，，则用含有a，b的代数式表示的周长是.13．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线1垂直平分交于点，交轴于点，点是直线1上且在第一象限一动点．若是等腰三角形，点的坐标是．三、解答题14．如图，是等边三角形，若，，，求的度数．15．如图，△ABC中AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、N，若∠EAN=34°，求∠BAC的度数.16．如图，在△ABC中，已知∠ABC=46°，∠ACB=80°，延长BC至D，使CD=CA，连接AD，求∠BAD的度数．17．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，且AC=BD，AB=CD.

（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）若∠AEB=70°，求∠EBC的度数.四、综合题18．如图，已知△ABC是锐角三角形（AB＞AC）．（1）请用无刻度直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，在线段MN上找一点O，使点O到边AB、BC的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BM＝10，BC＝12，求ON的长．19．如图，已知中，的平分线和边的垂直平分线相交于点D，过点D作交的延长线于点F，于点M求证（1）（2）20．已知：AD是△ABC的高，且BD＝CD．（1）如图1，求证：∠BAD＝∠CAD；（2）如图2，点E在AD上，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，A′B与AC相交于点F，若BE＝BC，求∠BFC的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF，过点C作CG⊥EF，交EF的延长线于点G，若BF＝10，EG＝6，求线段CF的长．21．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝2，以AD为一边向右作等边三角形ADE．（1）求△ABC的周长；（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．22．在中，若最大内角是最小内角的倍（为大于1的整数），则称为倍角三角形.例如：在中，，，，则称为6倍角三角形.（1）在中，，，则为倍角三角形；（2）若一个等腰三角形是4倍角三角形，求最小内角的度数；（3）如图，点在上，交于点，，，，.找出图中所有的倍角三角形，并写出它是几倍角三角形.

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。2．【答案】D【解析】【解答】解：如图，过点D作，交AB于点E∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∴∵且点D到AB的距离为3cm∴∵BC＝8cm∴故答案为：D.【分析】过点D作DE⊥AB，交AB于点E，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DC=DE，再根据线段的构成DB=BC-DC可求解.3．【答案】C【解析】【解答】等腰三角形的一边长为，另一边长为则第三边的长可能是：或4、4、9构不成三角形.4、9、9可以构成三角形.周长为：故答案为：C.

【分析】根据等腰三角形的三边的关系，可得出可能的三条边的边长，得出周长。4．【答案】D【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；B、是中心对称图形，故不符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，故符合题意.故答案为：D.【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.5．【答案】C【解析】【解答】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE．∵AC=AE+EC，AB+BD=AC，∴BD=EC，∴DE=EC．∴∠EDC=∠C=20°，∴∠AED=∠EDC+∠C=40°．∴∠B=∠AED=40°故答案为：C．【分析】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE，然后根据AC=AE+EC，AB+BD=AC，证得DE=EC，根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．6．【答案】B【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PD=PE=3，∵Q是OB上任一点，∴∴故答案为：B.【分析】由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角两边的距离相等；再由垂线段最短，得出结论.7．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB=AC，

∴∠C=∠B=30°，

∵CD=AD=4，

∴∠ADB=2∠C=60°，

∴∠DAB=90°，

∴BD=2AD=8，

∴BC=CD+BD=4+8=12。

故答案为：B。

【分析】首先得出△ABD是含30°锐角的直角三角形，进一步得出BD=8，进一步得出BC=CD+BD=12.8．【答案】B【解析】【解答】解：A、由图可得，

，

，A错误；

B、由图可得的垂直平分线交于点，

，

，

，B正确；

C、由图可得平分，C错误；

D、由图可得的垂直平分线交于点，

，

，

，D错误，故答案为：B.【分析】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.9．【答案】B【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，如下图所示∵等边△ABC中AD⊥BC，∴∠CAD=∠ABF=∠CBF=∠BAC=30°，∴PD=AP∴AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值∵在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短∴BF即为PD＋BP的最小值∴BF与AD的交点即为P点，如下图所示∵∠CAD=∠ABF=∠CBF=30°∴AP=BP，PD=BP=AP∵AD=12∴AP＋PD=12∴AP＋AP=12解得：AP=8故答案为：B.【分析】过点P作PD⊥AC于D，过点B作BF⊥AC于F，根据等边三角形的性质可得：∠CAD=∠ABF=∠CBF=∠BAC=30°，从而可得：PD=AP，故AP+BP的最小值即为PD＋BP的最小值，根据垂线段最短的性质即可判断BF即为PD＋BP的最小值，再根据30°所对的直角边是斜边的一半求AP即可.10．【答案】14【解析】【解答】解：假设这个等腰三角形的三边长为6cm、6cm、2cm，则这个等腰三角形的周长为6+6=2=14cm；

假设这个等腰三角形的三边长为6cm、2cm、2cm，∵2+2＜6，∴这样的等腰三角形不存在，

综上这个等腰三角形的周长为14cm.故答案为：14.【分析】分类讨论：假设这个等腰三角形的三边长为6cm、6cm、2cm或6cm、2cm、2cm，然后根据三角形三边关系判断能否围成三角形，进而对能围成三角形的情况下算出周长.11．【答案】【解析】【解答】∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处，∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，∴DC=2EF，AB=5，作AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ADCH为矩形，∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，在Rt△ABH中，AH==2，∴EF=．故答案为：．【分析】先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．12．【答案】【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=36°，∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC＝108°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠EAD=∠ECD=36°，∴∠AEC=108°=∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝108°－36°＝72°∵∠BEA＝180°－∠AEC＝180°－108°＝72°即∠BAE＝∠BEA∴BA＝BE∵，，∴BA＝BE＝AC＝a∴△ABC的周长＝AB＋BE＋EC＋AC＝3a＋b故答案为：3a+b.【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE，∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE＝∠BEA，进而可得BA＝BE＝AC，然后问题可求解.13．【答案】（1，1）或（1，）或（1，）或（1，）【解析】【解答】解：∵y＝﹣x+b交y轴于点A（0，2），

∴b＝2．

∴y＝﹣x+2；

当y＝0，则-x+2=0

解之：x＝2，

∴B（2，0）．

∴OB＝2；

直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，

∴E（1，0），点P的横坐标为1．

∴OE＝1．

当AO＝AP时，如图，过点P1作P1C⊥OA交y轴于点C，则P1C＝OE＝1，

A（0，2），

∴OA＝2．

∴AO=AP1＝AP2＝2．

∴，

∴OC＝OA+OC＝；

∴OD=AO-AD=

∴P1（1，）．

同理，P2（1，）．

当PA＝PO时，如图，

点P在AO的垂直平分线上，

∴点P的纵坐标为1，

∴P（1，1）．

当OA＝OP时，则OP＝2，如图，

，

∴P（1，）．

综上，若△AOP是等腰三角形，点P的坐标是（1，1）或（1，）或（1，）或（1，）.

故答案为：（1，1）或（1，）或（1，）或（1，）.

【分析】将点A的坐标代入函数解析式，可得到b的值，即可得到函数解析式；利用函数解析式可得到点B的坐标，可得到OB的长，直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，结合已知可得到点E的坐标及点P的横坐标，同时可求出OE的长；利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当AO＝AP时，过点P1作P1C⊥OA交y轴于点C，则P1C＝OE＝1，利用点A的坐标可求出OA的长，利用勾股定理求出AC，AD的长，根据OC＝OA+OC，OD=AO-AD，代入计算求出OD的长，可得到点P1，P2的坐标；当PA＝PO时，当PA＝PO时，利用点P在AO的垂直平分线上，可得到点P的纵坐标，可得到点P的坐标；当OA＝OP时，则OP＝2，利用勾股定理求出PE的长，可得到点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.14．【答案】解：∵是等边三角形，∴，，在与中，AB=DEBC=AEAC=AD，∴≌（SSS），∴，∴，∴．【解析】【分析】根据是等边三角形，得出，，利用SSS证明出≌，得出，得出，从而得出答案。15．【答案】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，∴AE=BE，AN=CN，∴∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，∵∠AEN=180°-2∠B，∠ANE=180°-2∠C，∵∠EAN=34°，∴∠AEN+∠ANE=180°-∠EAN=146°，∴180°-2∠B+180°-2∠C=146°，∴∠B+∠C=107°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=73°.【解析】【分析】利用垂直平分线的性质可证得AE=BE，AN=CN，利用等边对等角可得到∠BAE=∠B，∠CAN=∠C；再利用三角形的内角和定理可求出∠B+∠C的值，然后利用三角形的内角和定理可求粗∠BAC的度数。16．【答案】解：∵∠ACB=80°∴∠ACD=180°﹣∠ACB=180°﹣80°=100°又∵CD=CA∴∠CAD=∠D∵∠ACD+∠CAD+∠D=180°∴∠CAD=∠D=40°在△ABC内∴∠BAD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣46°﹣40°=94°．【解析】【分析】要求∠BAD的度数，只要求出∠C的度数就行了，根据三角形内角和为180°，求出∠BAD的度数，根据三角形内角和外角关系及等腰三角形性质，易求∠C的度数．17．【答案】解：（1）∵在△ABC和△DCB中，AC=DBAB=DCBC=CB，∴△ABC≌△DCB（SSS）.（2）由（1）得：∠ACB=∠DBC，∵∠AEB=70°，【解析】【分析】（1）根据SSSS即可推出△ABC和△DCB全等；

（2）由（1）推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可.18．【答案】（1）解：如图，直线MN，点O即为所求；（2）解：过点O作OH⊥AB于点H．∵BO平分∠ABC，ON⊥BC，OH⊥AB，∴ON=OH，∵MN垂直平分线段BC，∴BN=CN=6，∵BM=10，∴MN===8，∵S△BMN=S△BMO+S△BON，∴×6×8=×10×OH+×6×ON，∴ON=OH=3．【解析】【分析】（1）根据要求作出线段BC的垂直平分线和∠ABC的角平分线即可；

（2）先利用勾股定理求出MN的长，再结合S△BMN=S△BMO+S△BON，可得×6×8=×10×OH+×6×ON，最后求出ON=OH=3即可。19．【答案】（1）证明：连接，平分，，，又垂直平分，，在与中，，≌（HL），∴；（2）证明：在与中，，∴≌（HL），，∵，，∴，，=．【解析】【分析】（1）连接CD，BD，再利用“HL”证明≌，再利用全等三角形的性质可得CF=BM；

（2）先利用“HL”证明≌，再利用全等三角形的性质可得AF=AM，利用线段的和差及等量代换可得。20．【答案】（1）证明：如图1中，∵BD＝CD，AD⊥BC，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD．（2）解：如图2中，连接EC．∵BD⊥BC，BD＝CD，∴EB＝EC，又∵EB＝BC，∴BE＝EC＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°，∴∠BED＝30°，由翻折的性质可知：∠ABE＝∠A′BE＝∠ABF，∴∠ABF＝2∠ABE，由（1）可知∠FAB＝2∠BAE，∴∠BFC＝∠FAB+∠FBA＝2（∠BAE+∠ABE）＝2∠BED＝60°（3）解：如图3中，连接EC，作EH⊥AB于H，EN⊥AC于N，EM⊥BA′于M．∵∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠A′BE，∴EH＝EN＝EM，∴∠AFE＝∠EFB，∵∠BFC＝60°，∴∠AFE＝∠BFE＝60°，在Rt△EFM中，∵∠FEM＝90°﹣60°＝30°，∴EF＝2FM，设FM＝m，则EF＝2m，∴FG＝EG﹣EF＝6﹣2m，易知：FN＝EF＝m，CF＝2FG＝12﹣4m，∵∠EMB＝∠ENC＝90°，EB＝EC，EM＝EN，∴Rt△EMB≌Rt△ENC（HL），∴BM＝CN，∴BF﹣FM＝CF+FN，∴10﹣m＝12﹣4m+m，∴m＝1，∴CF＝12﹣4＝8【解析】【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质证明AB＝AC，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；（2）如图2中，连接EC．首先证明△EBC是等边三角形，推出∠BED＝30°，再由∠BFC＝∠FAB+∠FBA＝2（∠BAE+∠ABE）＝2∠BED＝60°解决问题；（3）如图3中，连接EC，作EH⊥AB于H，EN⊥AC于N，EM⊥BA′于M．首先证明∠AFE＝∠BFE＝60°，在Rt△EFM中，∠FEM＝90°﹣60°＝30°，推出EF＝2FM，设FM＝m，则EF＝2m，推出FG＝EG﹣EF＝6﹣2m，FN＝EF＝m，CF＝2FG＝12﹣4m，再证明Rt△EMB≌Rt△ENC（HL），推出BM＝CN，由此构建方程即可解决问题；21．【答案】（1）解：∵在等边△ABC中，AD⊥BC，BD＝2，∴BD＝CD＝2，∴BC＝BD+CD＝4，∴等边△ABC的周长为：AB+BC+CA＝3BC＝12（2）解：AC、DE的位置关系：AC⊥DE．∵△ABC和△ADE是等边三角