小学数学概念教学

第六章小学数学概念教学§6.1小学数学概念教学概述6.1.1小学数学概念（一）什么是数学概念数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。数学的研究对象是客观事物的数量关系和空间形式。在数学中，客观事物的颜色、材料、气味等方面的属性都被看作非本质属性而被舍弃，只保留它们在形状、大小、位置及数量关系等方面的共同属性。在数学科学中，数学概念的含义都要给出精确的规定，因而数学概念比一般概念更准确。小学数学中有很多概念，包括：数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及统计初步知识的有关概念等。这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。如只有明确牢固地掌握数的概念，才能理解运算概念，而运算概念的掌握，又能促进数的整除性概念的形成。（二）小学数学概念的表现形式在小学数学教材中的概念，根据小学生的接受能力，表现形式各不相同，其中描述式和定义式是最主要的两种表示方式。1．定义式定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。这些定义式的概念抓住了一类事物的本质特征，揭示的是一类事物的本质属性。这样的概念，是在对大量的探究材料的分析、综合、比较、分类中，使之从直观到表象、继而上升为理性的认识。如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知数的等式叫方程”等等。这样定义的概念，条件和结论十分明显，便于学生一下子抓住数学概念的本质。2．描述式用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。这种方法与定义式不同，描述式概念，一般借助于学生通过感知所建立的表象，选取有代表性的特例做参照物而建立。如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫自然数”；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。这样的概念将随着儿童知识的增多和认识的深化而日趋完善，在小学数学教材中一般用于以下两种情况。一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。例如，“直线”这一概念，教材是这样描述的：拿一条直线，把它拉紧，就成了一条直线。“平面”就用“课桌面”、“黑板面”、“湖面”来说明。另一种是对于一些较难理解的概念，如果用简练、概括的定义出现不易被小学生理解，就改用描述式。例如，对直圆柱和直圆锥的认识，由于小学生还缺乏运动的观点，不能像中学生那样用旋转体来定义，因此只能通过实物形象地描述了它们的特征，并没有以定义的形式揭示它们的本质属性。学生在观察、摆拼中，认识到圆柱体的特征是上下两个底面是相等的圆，侧面展开的形状是长方形。一般来说，在数学教材中，小学低年级的概念采用描述式较多，随着小学生思维能力的逐步发展，中年级逐步采用定义式，不过有些定义只是初步的，是有待发展的。在整个小学阶段，由于数学概念的抽象性与学生思维的形象性的矛盾，大部分概念没有下严格的定义；而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。因此，小学数学概念呈现出两大特点：一是数学概念的直观性；二是数学概念的阶段性。在进行数学概念教学时，我们必须注意充分领会教材的这两个特点。6.1.2小学数学概念教学的意义首先，数学概念是数学基础知识的重要组成部分。小学数学的基础知识包括：概念、定律、性质、法则、公式等，其中数学概念不仅是数学基础知识的重要组成部分，而且是学习其他数学知识的基础。学生掌握基础知识的过程，实际上就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。数学中的法则都是建立在一系列概念的基础上的。事实证明，如果学生有了正确、清晰、完整的数学概念，就有助于掌握基础知识，提高运算和解题技能。相反，如果一个学生概念不清，就无法掌握定律、法则和公式。例如，整数百以内的笔算加法法则为：“相同数位对齐，从个位加起，个位满十，就向十位进一。”要使学生理解掌握这个法则，必须事先使他们弄清“数位”、“个位”、“十位”、“个位以感性材料为基础引入新概念，是用概念形成的方式去进行教学的，因此教学中应选择那些能充分显示被引入概念的特征性质的事例，正确引导学生去进行观察和分析，这样才能使学生从事例中归纳和概括出共同的本质属性，形成概念。2、以新、旧概念之间的关系引入新概念。如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系、不相容关系等，那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行。例如，学习“乘法意义”时，可以从“加法意义”来引入。又如，学习“整除”概念时，可以从“除法”中的“除尽”来引入。又如，学习“质因数”可以从“因数”和“质数”这两个概念引入。再如，在学习质数、合数概念时，可用约数概念引入：“请同学们写出数1，2，6，7，8，12，11，15的所有约数。它们各有几个约数？你能给出一个分类标准，把这些数进行分类吗？你能找出多种分类方法吗？你找出的所有分类方法中，哪一种分类方法是最新的分类方法？”3、以“问题”的形式引入新概念。以“问题”的形式引入新概念，这也是概念教学中常用的方法。一般来说，用“问题”引入概念的途径有两条：①从现实生活中的问题引入数学概念；②从数学问题或理论本身的发展需要引入概念。例如，在学习“平均数”时，教师可以先向学生呈现一个“幼儿园小朋友争拿糖果”的生活情境，让学生思考，为什么有的小朋友很高兴，有的小朋友很不高兴？应该怎样做才能使大家都高兴？接下来应该怎么做？这个幼儿园的老师可能会怎么做？4、从概念的发生过程引入新概念。数学中有些概念是用发生式定义的，在进行这类概念的教学时，可以采用演示活动的直观教具或演示画图说明的方法去揭示事物的发生过程。例如，小数、分数等概念都可以这样引入。这种方法生动直观，体现了运动变化的观点和思想，同时，引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性。（二）数学概念的形成引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。为此，教学中可采用一些具有针对性的方法。1、对比与类比。对比概念，可以找出概念间的差异，类比概念，可以发现概念间的相同或相似之处。例如，学习“整除”概念时，可以与“除法”中的“除尽”概念进行对比，去比较发现两者的不同点。用对比或类比讲述新概念，一定要突出新、旧概念的差异，明确新概念的内涵，防止旧概念对学习新概念产生的负迁移作用的影响。2、恰当运用反例。概念教学中，除了从正面去揭示概念的内涵外，还应考虑运用适当的反例去突出概念的本质属性，尤其是让学生通过对比正例与反例的差异，对自己出现的错误进行反思，更利于强化学生对概念本质属性的理解。用反例去突出概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解。凡具有概念所反映的本质属性的对象必属于该概念的外延集，而反例的构造，就是让学生找出不属于概念外延集的对象，显然，这是概念教学中的一种重要手段。但必须注意，所选的反例应当恰当，防止过难、过偏，造成学生的注意力分散，而达不到突出概念本质属性的目的。3、合理运用变式。依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确理解。因此，在教学中应注意运用变式，从不同角度、不同方面去反映和刻画概念的本质属性。一般来说，变式包括图形变式、式子变式和字母变式等。例如，讲授“等腰三角形”概念，教师除了用常见的图形(图6-1(1))展示外，还应采用变式图形(图6-1(2)、(3)、(4))去强化这一概念，因为利用等腰三角形的性质去解题时，所遇见的图形往往是后面几种情形。图6图6—1（三）数学概念的巩固为了使学生牢固地掌握所学的概念，还必须有概念的巩固和应用过程。教学中应注意如下几个方面。1、注意及时复习概念的巩固是在对概念的理解和应用中去完成和实现的，同时还必须及时复习，巩固离不开必要的复习。复习的方式可以是对个别概念进行复述，也可以通过解决问题去复习概念，而更多地则是在概念体系中去复习概念。当概念教学到一定阶段时，特别是在章节末复习、期末复习和毕业总复习时，要重视对所学概念的整理和系统化，从纵向和横向找出各概念之间的关系，形成概念体系。2、重视应用在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象，形成概念，又要让学生由抽象到具体，运用概念，学生是否牢固地掌握了某个概念，不仅在于能否说出这个概念的名称和背诵概念的定义，而且还在于能否正确灵活地应用，通过应用可以加深理解，增强记忆，提高数学的应用意识。概念的应用可以从概念的内涵和外延两方面进行。（1）概念内涵的应用 ①复述概念的定义或根据定义填空。②根据定义判断是非或改错。③根据定义推理。④根据定义计算。例4（1）什么叫互质数？答：是互质数。（2）判断题：27和20是互质数（

）34与85是互质数（

）

有公约数1的两个数是互质数（

）

两个合数一定不是互质数（

）（3）钝角三角形的一个角是82o，另两个角的度数是互质数，这两个角可能是多少度？（4）如果P是质数，那么比P小的自然数都与P互质。这句话对吗？请说明理由？2．概念外延的应用（1）举例（2）辨认肯定例证或否定例证。并说明理由。（3）按指定的条件从概念的外延中选择事例。（4）将概念按不同标准分类。例5（1）列举你所见到过的圆柱形物体。（2）下列图形中的阴影部分，哪些是扇形？（图6－2）图6图6—2（3）分母是9的最简真分数有＿分子是9的假分数中，最小的一个是

（4）将自然数2－19按不同标准分成两类（至少提出3种不同的分法）概念的应用可分为简单应用和综合应用，在初步形成某一新概念后通过简单应用可以促进对新概念的理解，综合应用一般在学习了一系列概念后，把这些概念结合起来加以应用，这种练习可以培养学生综合运用知识的能力。(三)注意辨析随着学习的深入，学生掌握的概念不断增多，有些概念的文字表述相同，有些概念内涵相近，使得学生容易产生混淆，如质数与互质数，整除与除尽，体积与容积等等。因此在概念的巩固阶段，要注意组织学生运用对比的方法，弄清易混淆概念的区别和联系，以促使概念的精确分化。例6关于面积和周长，可组织学生从下列几个方面进行对见(1)什么叫做长方形的周长？什么叫做长方形的面积？（2）周长和面积常用的计量单位分别有哪些？（3）在图6—3中，A，B两个图形的周长相等吗？面积相等吗？图6—图6—4图6—3（4）图6—4中的每一小方格代表一平方厘米，这个图的面积是，周长是，剪一刀，然后将它拼成一个正方形，这个正方形的周长是，面积是。数学概念是用词或词组来表达的，但有些词语受日常用语的影响，会给学生造成认识和理解上的错觉和障碍。如几何知识中的高”、“底”、“腰”等概念，从字面上容易使学生产生“铅垂方向”与“下方”、“两侧”的错觉。而“倒数”则强化了分子与分母颠倒位置的直观认识，弱化了“两个数的乘积等于1”的本质属性，因此在教学时，要帮助学生分清一些词的日常意义和专门的数学意义，正确地理解表示概念的词语，从而准确地掌握概念。（二）小学数学概念教学中应注意的问题1、把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。概念本身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的确定性。由于客观事物的不断发展和变化，同时也由于人们认识的不断深化，因此，作为人们反映客观事物本质属性的概念，也是在不断发展和变化的。但是，在小学阶段的概念教学，考虑到小学生的接受能力，往往是分阶段进行的。如对“数”这个概念来说，在不同的阶段有不同的要求。开始只是认识1、2、3、……，以后逐渐认识了零，随着学生年龄的增大，又引进了分数(小数)，以后又逐渐引进正、负数，有理数和无理数，把数扩充到实数、复数的范围等。又如，对“0”的认识，开始时只知道它表示没有，然后知道又可以表示该数位上一个单位也没有，还知道“0”可以表示界限等。因此，数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成了教学中需要解决的一对矛盾。解决这一矛盾的关键是要切实把握概念教学的阶段性目标。为了加强概念教学，教师必须认真钻研教材，掌握小学数学概念的系统，摸清概念发展的脉络。概念是逐步发展的，而且诸概念之间是互相联系的。不同的概念具体要求会有所不同，即使同一概念在不同的学习阶段要求也有差别。有许多概念的含义是逐步发展的，一般先用描述方法给出，以后再下定义。例如，对分数意义理解的三次飞跃。第一次是在学习小数以前，就让学生初步认识了分数，“像上面讲的、、、、、等，都是分数。”通过大量感性直观的认识，结合具体事物描述什么样的是分数，初步理解分数是平均分得到的，理解谁是谁的几分之几。第二次飞跃是由具体到抽象，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份都可以用分数来表示。从具体事物中抽象出来。然后概括分数的定义，这只是描述性地给出了分数的概念。这是感性的飞跃。第三次飞跃是对单位“1”的理解与扩展，单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以是一个群体等，最后抽象出，分谁，谁就是单位“1”，这样单位“1”与自然数“1”的区别就更加明确了。这样三个层次不是一蹴而就的，要展现知识的发展过程，引导学生在知识的发生发展过程中去理解分数。再如长方体和立方体的认识在许多教材中是分成两个阶段进行教学的。在低年级，先出现长方体和立方体的初步认识，通过让学生观察一些实物及实物图，如装墨水瓶的纸盒、魔方等。积累一些有关长方体和立方体的感性认识，知道它们各是什么形状，知道这些形状的名称。然后，通过操作、观察，了解长方体和立方体各有几个面，每个面是什么形状，进一步加深对长方体和立方体的感性认识。再从实物中抽象出长方体和立方体的图形(并非透视图)。但这一阶段的教学要求只要学生知道长方体和立方体的名称，能够辨认和区分这些形状即可。仅仅停留在感性认识的层次上。第二阶段是在较高年级。教学时仍要从实例引入。教学长方体的认识时，先让学生收集长方体的物体，教师先说明什么是长方体的面、棱和顶点，让学生数一数面、棱和顶点各自的数目，量一量棱的长度，算一算各个面的大小，比较上下、左右、前后棱和面的关系和区别。然后归纳出长方体的特征。再从长方体的实例中抽象出长方体的几何图形。进而可以让学生对照实物，观察图形，弄清楚不改变观察方向，最多可以看到几个面和几条棱。哪些是看不见的，图中是怎样来表示的。还可以让学生想一想，看一看，逐步看懂长方体的几何图形，形成正确的表象。在把握阶段性目标时，应注意以下几点：(1)在每一个教学阶段，概念都应该是确定的，这样才不致于造成概念混乱的现象。有些概念不严格下定义，但也要依据学生的接受能力，或者用描述代替定义，或者用比较通俗易懂的语言揭示概念的本质特征。同时注意与将来的严格定义不矛盾。(2)当一个教学阶段完成以后，应根据具体情况，酌情指出概念是发展的，不断变化的。如：有一位学生在认识了长方体之后，认为课本中的任何一张纸的形状也是长方体的。说明该学生对长方体的概念有了更进一步的理解，教师应加以肯定。(3)当概念发展后，教师不但指出原来概念与发展后概念的联系与区别，以便学生掌握，而且还应引导学生对有关概念进行研究，注意其发展变化。如“倍”的概念，在整数范围内，通常所指的是，如果把甲量当作1份，而乙量有这样的几份，那么乙量就是甲量的几倍。在引入分数以后，“倍”的概念发展了，发展后的“倍”的概念，就包含了原来的“倍”的概念。如果把甲量当作l份，乙量也可以是甲量的几分之几。因此，在数学概念教学中，要搞清概念之间的顺序，了解概念之间的内在联系。数学概念随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展演变。学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅入深，逐步深化。教学时既要注意教学的阶段性，不能把后面的要求提到前面，超越学生的认识能力；又要注意教学的连续性，教前面的概念要留有余地，为后继教学打下埋伏。从而处理好掌握概念的阶段性与连续性的关系。2、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾尽管教材中大部分概念没有下严格的定义，而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。但对于小学生来说，数学概念还是抽象的。他们形成数学概念，一般都要求有相应的感性经验为基础，而且要经历一番把感性材料在脑子里来回往复，从模糊到逐渐分明，从许多有一定联系的材料中，通过自己操作、思维活动逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本质特征或属性，这是形成概念的基础。因此，在教学中，必须加强直观，以解决数学概念的抽象性与学生思维形象性之间的矛盾。（1）通过演示、操作进行具体与抽象的转化教学中，对于一些相对抽象的内容，尽可能地利用恰当的演示或操作使其转化为具体内容，然后在此基础上抽象出概念的本质属性。几何初步知识，无论是线、面、体的概念还是图形特征、性质的概念都非常抽象，因此，教学中更要加强演示、操作，通过让学生量一量、摸一摸、摆一摆、拼一拼来让学生体会这些概念，从而抽象出这些概念。例如“圆周率”这一概念非常抽象，有的教师在课前，布置每个学生用硬纸制做一个圆，半径自定。上课时，就让每个学生在课堂作业本上写出三个内容：(1)写出自己做的圆的直径；(2)滚动自己的圆，量出圆滚动一周的长度，写在练习本上；(3)计算圆的周长是直径的几倍。全班同学做完后，要求每个同学汇报自己计算的结果，并把结果整理成下表。圆直径(厘米)圆的周长(厘米)周长是直径的几倍A26.23.1B39.63.2C412.63.15D515.73.14然后引导学生分析发现：不管圆的大小，它的周长总是直径的3倍多一点。这时再揭示：这个倍数是个固定的数，数学上叫做圆周率。再让学生任意画一个圆，量出直径和周长加以验证。这样，引导学生把大量的感性材料，加以分析、综合、抽象、概括，抛弃事物的非本质属性(如圆的大小、测量时用的单位等)，抓住事物的本质特征(圆的周长总是直径的3倍多一点)，形成了概念。这样教师借助于直观教学，运用学生原有的一些基础知识，逐步抽象，环环紧扣，层次清楚。通过实物演示，使学生建立表象，从而解决了数学知识的抽象性与儿童思维的形象性的矛盾。（2）结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化教学中有许多数量关系都是从具体生活内容中抽象出来的，因此，在教学中应该充分利用学生的生活实际，运用恰当的方式进行具体与抽象的转化，即把抽象的内容转化为学生的具体生活知识，在此基础上又将其生活知识抽象为教学内容。例如乘法交换律的教学，往往让学生先解答这样的习题：一种钢笔，每盒10支，每支3元，买2盒钢笔要多少元?学生在实际解答中发现，这道题可以有两种解答思路，一种是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(3×10)×2＝60元；另一种是先求出“一共有多少支钢笔”，再求出“2盒多少元”，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教学也是让学生解答类似的问题，如：一件上衣50元，一条裤子30元，买这样的5套衣服需要多少元?这样借助于学生熟悉的生活情景，使抽象的问题变得具体化。同样常见数量关系中的单价、总价与数量之间的关系；路程、速度与时间的关系，工作量、工作效率与工作时间之间的关系等，都应结合学生的生活经验，通过具体的题目将其抽象出来，然后又利用这些关系来分析解决问题。这样的训练有利于使学生的思维逐渐向抽象思维过渡，逐步缓解知识的抽象性与学生思维的具体形象性的矛盾。但是，运用直观并不是目的，它只是引起学生积极思维的一种手段。因此概念教学不能只停留在感性认识上，在学生获得丰富的感性认识后，要对所观察的事物进行抽象概括，揭示概念的本质属性，使认识产生飞跃，从感性上升到理性，形成概念。3、遵循小学生学习概念的特点，组织合理有序的教学过程尽管小学生获取概念有概念形成和概念同化这两种基本形式，各类概念的形成又有各自的特点，但不管以何种方式获得概念，一般都会遵循从“引入一理解一巩固一深化”这样的概念形成路径。下面就概念教学中每个环节的教学策略及应注意的问题作一阐述。（1）概念的引入要注重提供丰富而典型的感性材料在概念引入的过程中，要注意使学生建立起清晰的表象。因为建立能突出事物共性的、清晰的典型表象是形成概念的重要基础，因此，在小学数学的概念教学中，无论以什么方式引入概念，都应考虑如何使小学生在头脑中建立起清晰的表象。概念教学一开始，应根据教学内容运用直观手段向学生提供丰富而典型的感性材料，如采用实物、模型、挂图，或进行演示，引导学生观察，并结合实验，让学生自己动手操作，以便让学生接触有关的对象，丰富自己的感性认识。如在一节教学分数的意义的课上，一位教师为了突破单位“l”这一教学难点，事先向学生提供了各种操作材料：一根绳子，4只苹果图，6只熊猫图，一张长方形纸，l米长的线段等，通过比较、归纳出：一个物体、一个计量单位、一个整体都可以用单位“1”表示，从而突破理解单位“1”这一难点，为理解分数的意义奠定了基础。但概念引入时所提供的材料要注意三点：一是所选材料要确切。例如角的认识，小学里讲的角是平面角，可以让学生观察黑板、书面等平面上的角。有的教师让学生观察教室相邻两堵墙所夹的角，那是两面角，对于小学教学要求来说，就不确切了。二是所选材料要突出所授知识的本质特征。例如直角三角形的本质特征是“有一个角是直角的三角形”，至于这个直角是三角形中的哪一个角，直角三角形的大小、形状，则是非本质的。因此教学时应出示不同的图形，使学生在不同的图形中辨认其不变的本质属性。（2）概念的理解要注重正反例证的辨析，突出概念的本质属性概念的理解是概念教学的中心环节，教师要采取一切手段帮助学生逐步理解概念的内涵和外延，以便让学生在理解的基础上掌握概念。促进对概念理解的途径有：1）剖析概念中关键词语的真实含义例如，分数定义中的单位“1”、“平均分”、“表示这样的一份或几份的数”，学生只有对这些关键词语的真实含义弄清楚了，才会对分数的概念有了深刻的理解。再如教学“整除”概念之后应帮助学生从以下三方面进行判断，一是判断是否具有“整除”关系的两个数都必须是自然数；二是这两个数相除所得的商是整数；三是没有余数。对定义的分析是帮助学生认识概念的又一次提高。三角形的高的定义:“从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条边叫做三角形的底。”这里的“一个顶点”、“垂线”、“垂足”都是一些关键词语。为了让学生理解三角形的高，除了让学生理解字面意思外，往往还需要学生通过实际操作，体会画“高”的全过程。指出画“高”的关键是画垂线，并注意限制条件：“过三角形的一个顶点(可以是任何一个顶点)，作到它对边的垂线，顶点和垂足之间的线段”。这样把实际操作的过程和所画的三角形高的图形与定义所叙述的内容对照，使学生准确地理解三角形的高的定义。这实际上是在数学概念建立后，帮助学生对本质属性进行剖析，既将本质属性再次从定义中分离出来，加以明确。2）辨析概念的肯定例证和否定例证学生能背诵概念并不等于真正理解概念，还要通过实例突出概念的主要特征，帮助他们加深对概念的理解。教师不仅要充分运用肯定例证来帮助学生理解概念的内涵，同时要及时运用否定例证来促进学生对概念的辨析。在概念揭示后往往要针对教学要求组织学生进行一些练习，如教完三角形按角分类后，可以出示：一个三角形不是直角三角形，并且有两个角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形。让学生进行判断，引起学生讨论来巩固三角形的分类，以深化对三角形这一概念的外延的进一步认识。再如，小数的性质揭示后，可以让学生判断0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000各数，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉?从而加深学生对小数性质的理解。3）变换本质属性的叙述或表达方式小学生理解和掌握概念的特点之一往往是：对某一概念的内涵不很清楚，也不全面，把非本质的特征作为本质的特征。例如，有的学生误认为，只有水平放置的长方形才叫长方形，如果斜着放就辨认不出来。为此，往往需要变换概念的叙述或表达方式，让学生从各个侧面来理解概念。旨在从变式中把握概念的本质属性，排除非本质属性的干扰。因为事物的本质属性可以运用不同的语言来表达，如果学生对各种不同的叙述和表达都能理解和掌握，就说明学生对概念的理解是透彻的，是灵活的，不是死记硬背的。4）对近似的概念及时加以对比辨析在小学数学中，有些概念其含义接近，但本质属性又有区别。如数与数字，数位与位数，奇数与质数，偶数与合数，化简比与求比值，时间与时刻，质数、质因数与互质数，周长与面积，等等。对这类概念，学生常常容易混淆，必须及时把它们加以比较，以避免互相干扰。如学习了“整除”，为了和以前学的“除尽”加以比较，可以设计这样的练习题：下列等式中，哪些是整除，哪些是除尽?(1)8÷2＝4(2)48÷8＝6(3)30÷7＝4……2(4)8÷5＝1.6(5)6÷0.2＝30(6)1.8÷3＝0.6引导学生通过分析、比较，从而得出：第(3)题是有余数的除法，当然不能说被除数被除数整除或除尽，其他各题当然能说被除数被除数除尽了。其中只有第(1)、(2)题，被除数、除数和商都是自然数，而且没有余数，这两题既可以说被除数被除数除尽，又能说被除数被除数整除。从上面的分析中，让学生明白：整除是除尽的一种特殊情况，除尽包括了整除和一切商是有限小数的情况。学习了比之后，可以用列表法设计比与除法、分数之间的联系的习题，从中明确“除法是一种运算，分数是一个数，比是一个关系式”的区别。（3）重视概念的运用，发挥概念的作用正确、灵活地运用概念，就是要求学生能够正确、灵活地运用概念组成判断，进行推理、计算、作图等，能运用概念分析和解决实际问题。理解概念的目的在于运用，运用的途径有：1)自举实例这是要求学生把已经初步获得的概念简单运用于实际，通过实例来说明概念，加深对概念的理解。有经验的教师，根据小学生对概念的认识通常带有具体性的特点，在学生通过分析、综合、抽象、概括出概念后，总是让他们自举例证，把概念具体化。从具体到抽象又回到具体，符合小学生的认识规律，使学生更准确把握概念的内涵和外延。例如在学生初步获得了真分数、假分数的概念后，就可以让学生分别举一些真分数和假分数的实例；知道了圆柱的特征后，让学生说说日常生活中有哪些物品的形状是圆柱形的。2)运用于计算、作图等例如，如学了乘法的运算定律后，就可以让学生简便计算下面各题。104×2548×25101×35×214×99+1425×32146+9×146(80+8)×258×(125+50)34×5×2在掌握分数的基本性质后，就要求学生能熟练地进行通分、约分，并说明通分、约分的依据。学习了小数的性质后，就可以让学生把小数按要求进行化简或改写；学习了等腰三角形，可设计一组操作题；画一个等腰三角形；画一个顶角60度的等腰三角形；画一个腰长为2厘米的等腰直角三角形。3)运用于生活实践数学概念来源于生活，就必然要回到生活实际中去。教师引导学生运用概念去解决数学问题，是培养学生思维，发展各种数学能力的过程。并且，也只有让学生把所学习到的数学概念，拿到生活实际中去运用，才会使学到的概念巩固下来，进而提高学生对数学概念的运用技能。为此，教师在教学中应当根据教材内容和学生实际，在掌握小学数学教材逻辑系统的基础上，有意识地深化和发展学生的数学概念。例如在学习圆的面积后，一位教师就设计了这样的问题：“我们已经学习了圆面积公式，谁能想办法算一算，学校操场上白杨树树干的横截面面积?”同学们就讨论开了，有的说，算圆面积一定要先知道半径，只有把树砍下来才能量出半径；有的不赞成这样做，认为树一砍下来就会死掉。这时教师进一步引导说：“那么能不能想出不砍树就能算出横截面面积的办法来呢?大家再讨论一下。”学生们渴望得到正确的答案，通过积极思考和争论，终于找到了好办法，即先量出树干的周长，再算出半径，然后应用面积公式算出大树横截面面积。课后许多学生还到操场上实际测量了树干的周长，算出了横截面面积。再如，在教学正比例应用题时，可以启发学生运用旗杆高度与影长的关系，巧妙地算出了旗杆的高度。这样通过创设有效的教学情景，教师适时点拨，不但启迪了学生的思维，而且培养了学生学以致用的兴趣和能力，也加深了对所学概念的理解。（4）注重概念之间的比较分类，深化概念小学数学知识的特点是系统性强，前后联系密切，但是由于小学生思维发展水平和接受能力的限制，有些知识的教学往往是分几节课或几个学期来完成，这样难免在不同程度上削弱知识间的联系。对一些有联系的概念或法则，在一定阶段应进行系统的整理，使学生在头脑中建立起知识的网络，形成良好的认知结构。尤其是中高年级，可以引导学生将概念进行分类，明确概念间的联系和区别，以形成概念系统。6.2.3概念教学片段举例（一）乘法的初步认识教学片段1．创设情景，出示课题师：老师带来了一些铅笔准备奖给学习认真的小朋友，如果每人2枝，奖给4位小朋友，一共要多少枝?怎样列式?(板书：2+2+2+2=8)如果奖给5位小朋友，一共要多少枝?(板书：2+2+2+2+2＝10)我们班46名同学学习都很认真，每位小朋友都奖励2枝，该怎么列式呢?教师一边板书2+2+2+2……，一边问：这样要写多少个“2”?能不能有一种比较简便的方法来表示呢?这就是今天要学习的乘法(板书课题)。2．直观感知，形成表象(1)教学乘号。(2)学生摆红花，写算式。师：在投影仪上先摆2朵，再摆2朵，最后再摆2朵。问：数一数，一共摆了几个2朵?(板书：3个2)可以用什么方法算?(板书：2+2+2＝6)这个连加算式中加数都是2，我们可以把它改写成乘法算式，写作：2×3=6，读做：2乘3；也可以写作：3×2＝6，读做：3乘2。(教师示范，再指名读、全班读)(3)学生摆小圆片，写算式。师：请小朋友自己摆一摆小圆片，再写出算式，行吗?要求第一行摆3个小圆片，第二行也摆3个小圆片，一共摆了几个小圆片?用加法算怎样列式?能改写成乘法算式吗?(根据学生回答板书：3+3＝63×2＝6或2×3＝6师：如果再摆两行，那一共又有几个3呢?算式该怎么列?(根据学生回答板书：3+3+3+3＝123×4＝12或4×3＝12(4)看图形，写算式。板书：4+4+4＝12，4×3＝12或3×4＝125+5+5＝15，5×3＝15或3×5＝153．分析比较，揭示本质(1)师：仔细观察黑板上的这些加法算式和乘法算式，你发现了什么?引导学生得出：这些加法算式的加数都相同，所以能改写成乘法算式。求几个相同加数的和，用乘法计算比较简便。(2)讨论下列算式哪些能改写成乘法算式，哪些不能?为什么?2+2+33+3+3+35+56+6+6+74．多种训练，巩固和深化新知(1)看图列式。*********************加法算式：乘法算式：(2)根据算式，用学具摆一摆。2×24×32×5(3)把前面“导入”中的三道加法算式改写成乘法算式。(4)自己写一个加法算式，然后改写成乘法算式。5．小结(略)评析：这节概念课遵循了概念形成的规律，依据感知——表象——概念——运用这么一条途径。概念的引入能紧紧抓住同数连加这一已有的知识基础，又辅以生动形象的直观教学手段，可谓双管齐下。一开始就让学生在现实情境中初步接触“相同加数”，从计算全班学生的奖品总数而激起学生学习“乘法”的欲望。接着让学生在操作实践的过程中，各种感官协同活动，在获得大量感性材料的基础上，形成清晰而丰富的表象，为学生初步认识“乘法”奠定了坚实的基础。新课展开以后能及时对加法算式和乘法算式这些感性材料引导学生进行分析比较，抽象概括出本质属性。“求几个相同加数和，用乘法计算比较简便”这一结论是抽象概括的结果。教师通过第一层次由学生摆出了3个2朵小红花，列出加法算式2十2+2＝6再引导学生看算式回答算式中的加数有什么特点?再让学生用正方形摆出4个3，用小圆片摆出5个4，分别列出加法算式，并观察每个算式中加数的特点。第二层次，教师由三道加法算式引出新的运算——乘法，说明3个2相加的和，4个3相加的和。5个4相加的和，可以用乘法计算。第三层次，通过加法和乘法算式的比较，得出用乘法计算比较简便。第四层次是抽象出乘法的意义。在这个由具体到抽象的过程中，学生的抽象、概括能力得到了培养。为巩固新知设计的辨析题中既有肯定例证，也有否定例证，抓住了教学的难点，突出了教学的重点，有利于学生真正理解乘法的意义，即乘法是求几个相同加数和的简便运算。最后写出求46个学生的铅笔总数的乘法算式，使学生已有的概念得到了及时扩展。整节课学生都主动地投入了整个教学过程。（二）面积单位及其进率教学片段1．感知1平方分米(1)学生观察：教师在黑板上贴的纸上画一条1分米长的线段，以这条线段为边长，画一个正方形。告诉学生，这个边长1分米的正方形的面积是l平方分米。接着教师用剪刀剪下这l平方分米的正方形纸，贴在黑板上。(2)学生操作：剪出一个l平方分米的正方形，用手摸一摸，闭上眼睛想一想1平方分米的样子及大小。2．感知1平方厘米(1)师：谁能第一个剪出1平方厘米的正方形?学生动手剪出了l平方厘米的正方形后，要求他们说说是怎样剪的。然后让学生用手摸一摸，闭上眼睛想一想l平方厘米的样子及大小。(2)把1平方分米的正方形纸和l平方厘米的正方形纸放在桌面上，看一看，比一比，闭上眼睛想一想它们的样子及大小。3．感知1平方米师：谁能告诉大家，怎样剪出1平方米的正方形纸?学生说完，教师就把事先剪好的1平方米的正方形纸贴在黑板上，让学生看一看，闭上眼睛想一想它的样子和大小。4．讨论：什么叫1平方分米、1平方厘米、l平方米?5．讨论：1平方分米、l平方厘米及l平方米的关系。(1)要求学生看着自己桌上的1平方分米和1平方厘米的正方形纸。想一想怎样才能测出1平方分米中有多少个l平方厘米?学生认为动手摆一摆、画一画就能测出来。开始学生把两张正方形纸的一个顶点对齐，然后沿着1平方厘米的正方形纸的边沿把它所占的平面位置画在了1平方分米的正方形纸上。再挪动1平方厘米的正方形纸，紧挨着画好的小正方形摆好，再沿边沿画出它所占的位置。再挪动正方形……这样画了一排，再画第二排，第二排没有画完，有的学生已经用尺子把l平方分米的正方形每边平均分成了10份，把对边上的两点连结，画出格线，数一数，算一算，得出1平方分米=100平方厘米。(2)提问：怎样知道1平方米中有多少个1平方分米?如果沿l平方米的正方形的边长摆1平方分米的小正方形，一排能摆几个?可以摆多少排?得出：1平方米＝100平方分米。(3)想一想，算一算，l平方米等于多少平方厘米呢?学生很快就得出：1平方米＝10000平方厘米。6．巩固运用(1)举例说说1平方厘米、l平方分米、1平方米的大小。(2)填上合适的单位名称。(略)评析：学生通过动手操作，可以增加对所学知识的感性认识，在操作中获得实物的表象，加深对所学知识的理解。这里的教学片段，教师正是出于这样的思考，让学生通过自己动手摆一摆，画一画，想一想，算一算，真正理解了1平方米、1平方分米、l平方厘米的意义及它们之间的进率，并且印象深刻，记忆持久。同时，也培养了学生的动手能力。自始至终学生获取知识的过程是主动积极的。（三）质数与合数教学片段1．导入师：同学们都有自己的学号，请把表示你学号的这个数的所有约数找出来。(指名反馈，教师根据29号、2号、26号、16号同学的发言，逐一板书这些数的约数。其余同学互相交流。)2．分类整理，揭示概念师：请同学们仔细观察这些数(手指黑板)，能不能把这些数分分类?同桌可以互相议一议。生甲：我把这些数分成两类，一类是奇数，一类是偶数。奇数有21、7、29，偶数有6、2、26和16。生乙：我是按约数的个数来分的，7、29、2只有两个约数分为一类，6、16、21、26有两个以上的约数分为一类。生丙：我把6、7、2分为一类，这些数都是一位数，21、16、29、26分为一类，这些数都是两位数。师：还有其他分法吗?(学生表示没有)这些分法都有道理。奇数、偶数我们以前已经认识了，今天我们着重来研究按约数个数来分的情况。像这样只有两个约数的数，叫做质数，也叫做素数；有两个以上约数的数叫做合数。3．讨论，建立概念师：再请同学们仔细观察一下：质数有什么特点?合数有什么特点?有困难的同学可以和周围的同学商量一下。生：质数的约数只有l和它本身两个，合数的约数除了1和它本身还有别的约数。师：有没有不同意见?谁再来说一说?看看书上是怎么说的。4．理解和巩固概念师：现在我们知道了什么是质数，什么是合数，那么除了黑板上的这些数，你还能举一些例子吗?写在本子上。生：19、23、27、31、59、61是质数，4、15、20、18、25、10、12、30是合数。师：还有吗?还有这么多同学想说，可是黑板只有这么大，怎么办?生：用省略号表示。(板书)师：这几位同学举出的这些数是不是质数?指板书我们来判断一下。生：19、23是质数，27不是质数。师：27为什么不是质数?生：因为27除了1和它本身以外，还有别的约数3和9，所以是合数。(教师调整板书)师：这些都是合数吗?(学生没有意见)谁能说说12为什么是合数?5．运用概念(1)教师从周围环境中选取素材，让学生进行判断练习，概括出判断方法(略)。(2)讨论“1”，得出1既不是质数，也不是合数，因为它只有一个约数。6．综合练习(1)找一找，黑板上的这些数中，哪些是奇数?哪些是偶数?你发现了什么?(一些数既是奇数又是合数，如9、21等；一些数既是偶数又是质数，如2)师：既是偶数又是质数的只有2，其他偶数有可能是质数吗?为什么?同桌互相检查一下，你找对了吗?(2)出示2～50的数，要求很快找出质数。反馈时要求介绍一下你有什么好方法。(3)把下面各数写成两个质数的和。6=()+()8＝()+()10＝()+()12＝()+()师：这里的6、8、10、12都是什么数?生：是合数，也都是偶数。师：能不能把这些数写成两个质数的和?学生在练习本上写。师：是不是所有不小于6的偶数都能写成两个质数的和?这是一种猜想，要证明它可不容易，这就是世界有名的难题“哥德巴赫猜想”，有兴趣的同学课后可以去查阅有关资料。评析：这是一节比较抽象的概念课，其最大的特点是教师能遵循学生概念学习的特点展开整个教学过程。上课一开始就紧紧抓住“约数”这一已有的基础知识，让学生找一找表示自己学号的数的约数，通过观察、分类，揭示质数、合数的概念。再通过进一步的观察、讨论，并用自己的语言来说一说什么是质数、合数，初步建立概念。在此基础上，请全体学生举例，进行判断，从而检验并巩固了所学的概念。综合练习的组织，在及时巩固运用新知识的同时，沟通了与旧知识的联系，让学生明确了奇数、偶数、质数、合数间的区别和联系，使概念系统化。除此之外，这节课还有以下三个特点：一是教师能真心诚意地把学生当做学习的主体，课堂的主人，发扬教学民主，让每个学生都积极参与教学过程，在自主探索中获取新知，体验成功。二是注意就地取材，充实教学内容，使抽象的教学内容变得生动,贴近学生生活。三是能以知识学习为载体，培养学生主动探索、独立思考的能力和敢于创新的精神，同时适当渗透数学思想方法。§7.1小学数学规则教学概述7.1.1小学数学规则的主要内容和特点（一）小学数学规则的主要内容小学数学规则的主要内容为法则、定律、公式等。在小学数学的规则学习中，按规则水平分，主要有一级运算规则（加减运算）的学习和二级运算规则（乘除运算）的学习，还有简单的三级运算规则（主要是二次或三次乘方运算）的学习；按涉及对象看，主要是整数和小数的四则运算规则的学习和简单的乘方运算规则的学习，也包含简单的分数四则运算规则的学习；从运算形式看，主要有口算、笔算和估算（有时也包括珠算）等学习；从学习目标看，主要有运算的规则理解与掌握以及运算技能和运算策略的初步形成。具体地看，在小学数学课程中，运算规则的学习主要有：（1）四则运算（包括整数和小数四则运算，简单的分数加减运算等）；（2）性质运用（包括分数、小数的互化，解答简易方程，分数、小数化简等）；（3）名数化聚；（4）四则运用（包括简单几何形体的面积、体积的求法，各种数学问题的解决等）。（二）小学数学规则的特点小学数学规则，既要体现数学学科的严密性、逻辑性的特点，又要符合儿童的年龄特点和认知规律，因而具有以下特点：1、淡化严格证明，强化合情推理按照数学科学的要求，数学规则的叙述必须严密、准确，都要经过严格的论证。但受儿童智力发展水平和接受能力的限制，许多小学数学规则并不进行严格的证明。为了让学生体验数学的严密性、逻辑性，使学生感到数学规则是有根有据的，小学数学规则学习一般采用合情推理，用不完全归纳法或类比法导出。往往是先给出具体事例或已有知识，让学生经过观察、实验、探索，发现事物之间的关系或发展的规律性，经过归纳、猜测、验证过程，然后用简练、准确的语言表达出来，形成规则。2、重要规则逐步深化为适应小学生认知能力及认知规律，小学数学中的重要规则，采用先渗透，再深化，逐步提高的分段编排方法。例如：加减法运算法则分成20以内的加减法，100以内的加减法，三位数、四位数的加减法三个阶段进行教学；加法、乘法的运算律采用先渗透，再使用，然后归纳成条文的编排方法。3、有些规则不给结语根据儿童的认知特点，有些规则不形成命题的形式，而是通过例题给出。这样的规则称为“隐规则”。“隐规则”也是小学数学知识的重要组成部分，要求学生通过习题练习使用，并达到一定的熟练程度。如减法、除法的运算性质，教材中未给出结语，但要求学生会利用它简化运算。7.1.2各种不同的运算规则（一）运算法则运算法则是关于运算方法和程序的规定，运算法则的理论依据称为算理。运算法则说的是怎样算，算理说的是为什么这样算。如两位数笔算加法运算法则：“相同数位对齐，从个位加起，个位相加满十就向十位进一。”规定了两位数竖式加法的写法、算法和计算的先后顺序。其中“相同数位对齐”、“个位相加满十向十位进一”的理论依据是“记数的位值原则”，不同位置上的数字计数单位不同。相同单位的数字才能相加。为什么要从个位加起，从十位加起可以吗？其实对于两位数不进位加法，从十位加起更简便。而对于两位数进位加法，若从十位加起，“进一”后需要十位上再加一，容易出现错误。为减少学生计算错误，才规定“从个位加起”。因此，“记数的位值原则”和“相同单位的数才能相加”是两位数加法的算理，而“从个位加起”只是一种人为规定。在运算法则教学中，要摒弃那种只讲“法则”，不讲算理的错误做法。只有让学生深入理解算理，才能灵活运用计算法则，提高计算速度。2.四则运算的类型及其要求四则运算有口算、笔算、估算、用计算器计算等四种类型。所谓口算，又称心算，就是指不借助工具直接通过思维求出结果的一种计算方法。口算具有计算速度快、在日常生活中运用广泛的特点。同时，口算也是笔算和珠算的基础。虽然口算也要口述或笔记答案，但运算活动主要依靠心智活动为主，因此，口算是发展儿童心智技能的主要途径之一。所谓笔算，简单地说，就是借助笔且运用列式的方法，按照一定的规则来求出结果的一种计算方法。笔算具有能进行较大数目的计算以及运算的准确率高的特点。所谓估算，实际上就是一种无需获得精确结果的口算，是个体依据条件和有关知识对事物的数量或运算结果作出的一种大致的判断。在科学技术变迁日益加快、信息大量涌入的社会，人们的工作节奏和生活节奏被大大地加快了，因此，估算能力越来越成为现代社会成员一种必不可少的基本素养。（二）运算性质运算性质反映运算的规律性，根据其所起作用可分为三类；第一类，改变参算的数的位置。如加法交换律，乘法对加法的分配律等。第三类，参算的数的改变引起的运算结果的变化。如被减数增加一个数，减数不变，差也增加相同的数。被除数同时扩大或缩小相同倍数，商不变等。运算性质的学习不仅可以用来验算，而且还可以用来进行简便运算，同时还可以用来进行估算。运算性质的教学对于学生形成“验算意识”、“巧算意识”、“估算意识”，对于形成“算法多样化”和运算技能，对于发展学生思维的灵活性、敏捷性，都有重要的作用和意义。更重要的是，运算性质学习过程的本身就是一个归纳、抽象与推理等的逻辑思维的过程。（三）计算方法计算方法是指利用四则运算求某种量，或者两种量换算的具体方法，通常被称为常规方法。计算方法是客观事物的数学关系的具体体现，是四则运算与现实世界相互联系的桥梁。学习和进行量的计算，可使学生体验数学与客观世界的紧密联系，培养学生的应用意识和能力。7.1.3儿童形成运算技能的基本特征小学数学运算规则教学的重要目标就是发展儿童的运算技能。（一）数学规则学习意义1、有利于形成学生的基本技能运算规则学习的基本目的就是形成运算技能，提高数据信息的处理能力。首先，计算作为一种工具性技能，是人们面对日常生活和生产所须臾不可离的，同时也是进一步学习数学或其他学科知识所必需的；其次，计算作为一种探究性能力，是人们面对复杂的生活问题和社会问题进行探索与解决所需要的，人的许多行为的选择、行为方案的提出，往往是要在对众多的数据信息进行某些分析后才能作出。因此，运算规则的学习和运算的训练，有助于发展学生这些基本的技能和能力。2、有利于发展学生的基本智能首先，运算是一种心智技能和动作技能协作、外部操作和内部思维同步、形象感知和抽象思维统和的一种心理活动过程，是一个知识提取、技能运用和问题解决的协同过程，因此，运算规则的学习和训练有助于发展学生的基本智能；其次，不同的计算形式对学生智能发展的侧面也有所不同。例如，口算有助于发展学生思维的敏捷性，笔算有助于发展学生思维与运动的协调性，估算则有助于发展学生思维堵塞的反省性等。（二）儿童数学规则学习的特点从认知角度看，运算技能主要属于程序性知识。技能学习（规则学习）大致要经历认知、联结和自动化这三个阶段，而儿童在这三个不同阶段的学习中，往往表现出一定的特征。1、生活经验是理解运算意义的基础儿童在学龄前已经有了某些运算（更多的是加减运算）的活动，并通过这种活动形成了自己的经验，这些经验是与儿童的生活情境紧密联系的，而这些与儿童生活紧密联系的经验正是他们理解并掌握运算意义的重要基础。首先，丰富的生活情境是理解运算意义的条件。儿童运算意义的理解，不是从以符号为表征的概念开始的，而是以自己的生活情境为基础的实践活动开始的。儿童知道了2加3等于5，并不代表他就理解了加法的意义，儿童是在丰富的生活情境之下，通过自己的实践活动来逐渐获得加法意义的理解的。其次，丰富的生活情境扩展着对运算意义的理解。丰富的生活情境，不仅可以帮助学生理解运算的意义，又能进一步扩展学生对运算意义的理解。例如，对于乘法意义的理解，儿童开始是通过对“相同加数”的“加法”来理解的。但是，在生活的情境中，乘法的意义要丰富得多。这种丰富的意义，不仅扩展了儿童对乘法意义的理解，而且也丰富了儿童新的数学意义。2、规则的运用有明显的阶段性儿童对运算规则的掌握与运用呈现出一定的阶段性，这种阶段性是与儿童的认知发展相一致的。首先表现在对规则理解和掌握的阶段性。儿童对运算的理解与掌握，因其能力特征的局限，有一个明显的发展过程。例如，儿童对“加法”的理解，最早是建立在自己“数数”活动的基础之上的。而这种“数数”活动在儿童不同的发展阶段也有不同的水平。其次表现在对规则运用的阶段性。儿童在运算规则的运用上，也明显表现出一定的阶段性。在低年级的儿童中，当他们已经初步掌握了一定的运算规则之后，在运算的过程中常常还要依靠一些“构造事实”的方法来获得帮助。但是，到了初步形成运算技能的阶段，儿童对“20以内”加减法的运算已经非常熟悉，再遇到像3+5这样的算题，一般就会采用“提取事实”的策略，而不再运用“数数”的方式。从一个低年级的儿童看，摆脱“构造事实”的方式而采用“提取事实”的策略，也是形成一定运算技能的一个标志。3、从实物表征运算到符号表征运算儿童在最初学习运算规则时，往往要依靠实物的表征，通过对大量的以实物为表征的“计数”运算活动，逐步概括出更为一般的运算规则。例如，学习“20以内”的进位加法时，学生可能会面对这样的情境：一个有10个格子的盒子，里面放有9个小球，盒子的外面还有3个小球，如果要求9+3的结果，可以先将1个小球放入盒子，正好“凑成”10个小球，而一个“10”，就可以在“十位”上用一个“1”来表示。学生就是通过这样的方法来加深对“十进位制位置制”记数法的体验，从而习得“进位加法”的运算规则的。但是，随着儿童学习的发展，他们开始逐步摆脱以实物来表征运算，而直接获得以符号表征的运算规则。例如，学习“100以内”的加减运算时，学生更多的是面对直接用符号表征的运算，这是通过“20以内”加减法的规则迁移来获得的。（三）儿童形成运算技能的基本表征不同的运算对小学生的要求也不相同。一般看来，运算要求分为三个层次：会、比较熟悉、熟练。会是指能够正确地进行计算；比较熟练是指通过训练，能够计算准确，有一定的速度；熟练是指不仅计算准确、迅速，而且能够选择恰当的算法，使计算合理、灵活。儿童是否形成了运算技能，可从其计算时表现出来的特征加以考察。1、“会”计算的特征对于某种运算，达到了不出声的言语阶段，多余的、不规则的思考和动作较少，并且能够及时校正。头脑中的思考比较连贯，眼看、心想、手写等各方面动作基本协调，计算结果基本准备。2、计算比较熟练的特征对于某种运算，虽然仍停留在不出声的言语阶段，但多余的、不规范的思考与动作几乎消失。头脑中的思考清晰、流畅，眼看、心想、手写等各方面的动作协调统一，能适当简化运算的某些中间环节，计算速度快，计算结果准确。如计算分数加法，可以将通分与同分母分数相加两个过程合二而一：3、运算“熟练”的特征对于某种运算，基本达到或完全达到无意识的内部言语阶段，多余的、不规范的思考和动作完全消失，能够根据算理及题目的特点，变通、灵活地使用运算法则，迅速选择恰当的计算方法，思考过程高度简缩，省略或合并中间环节，眼看、心想、手写等几个方面的动作高度协调，能把注意力同时分散到不同的目标，计算过程迅速，计算结果准确，计算方法合理、灵活。§7.2小学数学规则教学的过程与方法7.2.1数学规则学习的基本模式（一）数学规则之间的关系1、上位、下位关系如果规则B包含于规则A，就说规则A是规则B的上位规则，规则B是规则A的下位规则。如长方形面积公式与正方形面积公式，前者是后者的上位规则，后者是前者的下位规则；大数－小数＝差与大圆面积－小圆面积＝环形面积，前者是后者的上位规则。根据已知规则，学习它的下位规则，称为规则的下位学习。一般地，下位学习较易，上位学习较难。如在长方形面积公式基础上学习正方形面积公式较易，而学习平行四边形面积公式较难。２、并列关系如果几个规则形式结构一致，内容相互并联，就说它们是并列关系。如：整除的商不变性质、分数的基本性质、比的基本性质，三者是并列关系。通过并列关系之间的类比来学习新规则，叫规则的并列学习。并列学习有助于学生理解新规则。（二）数学规则学习的基本模式（二）数学规则学习的基本模式数学规则学习常用的学习模式有例证——规则和规则——例证两种。１、例证——规则先呈现与数学规则有关的若干例证，再引导学生观察、分析，逐步概括出一般结论，从而获得数学规则。例证——规则的学习模式与概念形成的学习类似，是数学规则的发现学习。例如，学习长方形面积公式时，教师先向学生提供24个1平方厘米的小正方形，让学生把这些小正方形摆成长方形，最多能摆多少个？并将结果填入表中。再让学生思考，为什么最多能摆出这四种？从而发现长方形面积公式。2、规则——例证所谓规则——例证教学模式，就是指教师先向学生呈现某个规则，然后通过若干的实例来说明规则的一种教学模式。这种教学模式往往比较适用于规则的下位学习。其条件就是学生必须掌握构建规则的必要概念。例如，在学习了长方形的面积计算规则（公式）后，学生可以利用已构建的数学概念（正方形的特征以及正方形与长方形之间的关系等），直接获得正方形的面积计算规则（公式），然后再通过多个例证来进行验证（如采用数“面积纸”的方格的方式）。需要指出的是，在小学数学的学习中，所采用的规则——例证模式学习，并不表示就是一种简单的接受学习，因为在教学中，通常不直接将规则呈现给学生，而通过对某一对象（或某一组对象）的本质特征的探究来引导学生去发现规则。因此，这样的学习仍然带有一定的发现与探究的成分。7.2.2小学数学规则教学的过程与方法小学数学规则的教学一般要经过规则的引入、规则的建立、规则的巩固与运用等三个阶段。（一）规则的引入与数学概念的教学一样，数学规则的教学也要创设情境，让学生在有利于学习的课堂氛围中主动参与数学规则的建构过程。一般而言，规则的引入可以分为两种形式。一种是直接向学生展示规则，教学的重点放在分析和建立规则以及规则的应用方面。另一种是向学生提出一些供研究、探讨的素材，并作必要的启示引导，让学生在一定的情境中独立进行思考，通过运算、观察、分析、类比、归纳等步骤，自己探索规律，建立猜想和形成规则。可采用如下一些方法去引入规则。(1)用观察、实验的方法引入规则。教师提供材料，组织学生进行实践操作，通过动作思维去发现规则。(2)用观察、归纳的方法引入规则。(3)由实际的需要引入规则。为了解决一些现实生活和生产实践中的问题，有时需要运用数学的方法，而这种数学方法往往会产生出很有用处的定理、法则。因此，由实际问题的需要，以问题的形式去探求规则，也是教学中常用的规则引入方式。（二）规则的建立数学规则的建立是一个在教师引导下，通过学生思维，主动建构数学规则的过程。要注意适应儿童的认知规律和接受能力，有利于学生理解、掌握概念，有利于促进学生智能发展，获得积极的情感体验。1、例证要有利于学生发现规则、发展智能例证的选择和呈现方式影响学生的学习积极性、思维深度和规则发现的难易程度。例如，在学习长方形面积计算方法时，教师给出几个长方形，让学生量出长方形的长和宽，用摆小正方形的方法测量它们的面积，再把结果填入表中，这就有利于学生通过观察，概括出规则来。2、由直观到抽象，由个别到一般在使用例证——规则学习模式时，为促进学生发现，一般先安排直观形象的演示或实验，让学生在观察的基础上，进行分析、综合、抽象和概括，进而发现数学规则。在使用规则——例证学习模式时，一般也不是以抽象的逻辑推理的方式进行，而是以具体的、个别的事例，支持学生思维。例如梯形面积计算规则学习，是在安排了学生剪拼梯形的实验活动基础上，让学生发现多种推导方法，去完成公式推导过程的。3、紧密结合例证，逐级抽象概括儿童的抽象概括能力一般较弱，通常可以采用多级抽象的方法，从例证中抽象概括数学法则。在例证呈现时，就要为抽象概括法则埋下伏笔；抽象概括时，要紧密结合例证，先抽象出个例的计算方法，再推广到一般的数学规则。例如，在学习两位数竖式加法时，通常可采用这样的程序：（1）计算34+24。摆小棒的方法，暗含着数位对齐。从“3捆与2捆相加”，“4根与5根相加”，暗含着“个位与个位相加”、“十位与十位相加”。紧接着，要结合摆小棒，引导学生思考：如何用一个算式表示刚才的相加过程？抽象出34+25的竖式写法。（2）计算34+28。先让学生用小棒摆一摆，让学生感知，4根加8根得12根，把10根捆成一捆，移到“捆的下方”，暗含着“满十进一”。紧接着，结合小棒的摆法，思考在算式中应如何表示“满十进一”？抽象出34+28的竖式写法。（3）计算46+24。想一想怎样列式？先算什么？后算什么？怎样算？（4）提问：笔算两位数加法，应注意什么问题？经过学生发言、补充、修改，得出：“相同数位对齐，从个位加起，个位相加满十，向十位进1”的两位数加法法则。4、突出算理，以理驭法学习数学规则，不仅要知道该怎样算，而且要知道为什么这样算，使学生明白算理，进一步理解数学规则。如有必要，可继续思考，在不违反算理的前提下，还可怎么计算？鼓励学生以自己喜欢的方式进行计算。（三）规则的巩固和运用新规则建立之后，要及时安排练习，巩固和运用新规则。要避免让学生机械运用程序规则，减少简单重复的、单纯的技能性训练，应注意以下问题。1、加强练习的目的性加强练习的目的性，是避免重复的机械训练的有效方法。让学生明了练习目的，感受到练习的意义，可提高学生的练习兴趣和练习效率。练习的形式通常有：（1）巩固练习。一般在新规则建立后，要组织适量的直接应用规则的基本练习，以帮助记忆新规则。（2）重点练习。许多新规则建立在旧规则之上，其中有些是旧规则的原有内容，新就新在一个点上，这一点即是新规则的重点。此外，容易与其他规则混淆的易混点，容易出现错误的易错点也是新规则的重点。围绕新规则的重点安排练习，可以达到以少胜多的训练价值。例如，在学习小数乘法法则中，积的小数点位置确定是全新点，也是易错点。为此，可设计如下练习：已知6824=1632，那么6.82.4=，0.680.24=。（3）纠错练习。即学生作业中的错误，要及时发现、及时纠正，有计划地组织纠错练习。（4）发展练习和综合练习。为发展学生数学思维能力，培养学生综合运用知识的能力，还应安排一些有意义、富有挑战性的发展练习和综合练习。2、创设有趣味的练习情境单纯的技能练习没有情节，枯燥乏味。为练习安排实际的生活背景、游戏情节、竞赛气氛、探索手段、采用多样化的练习方式，可以调动学生练习各级性，提高练习效率。3、练习设计要有坡度练习设计要由易到难，一般先安排一定数量的基本练习题，再安排改变呈现形式的变式题，需要认真思考的发展题，最后安排综合运用知识的综合题。还可适当安排发展学生思维的思考题。4、练习分量适当，时间分配合理没有一定分量的练习，学生很难形成应用规则的技能。练习分量过大，会增加学生负担，使学生失去兴趣。一次练习的时间不宜过长，一般把学生练习与教师讲述、师生互动相互穿插进行。5、练习要有一定弹性对于不同层次的学生，练习要求不同。布置练习作业时，要有面向全体学生的必作题，也要有些供学有余力的同学选做的选作题和思考题，使各层次的学生都获得发展。7.2.3小学数学规则教学中应注意的问题（一）重视算法的多样化由于儿童数学能力的水平差异，以及他们对数的认知模式的差异，在运算中的思维推理过程会有较大的差异，这就形成了不同儿童的算法的多样化。算法的多样化，不仅是由于这些客观原因所形成的一种客观的现象，同时，倡导算法的多样化，也是发展儿童运算思维的一条有效的途径。因此，倡导算法的多样化，就能促进儿童形成独立的、开放性的思维。例如，在学习一位数乘法时，面对教师呈现的问题情境：“一个小皮球要12元，4个这样的皮球要多少元？”学生遇到了这样一个算题：124。于是，教师鼓励学生自己去尝试解决这个算题。结果，不同的学生得出了许多不同的算法：（1）12+12+12+12=48（2）4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48（3）122+122=48（4）624=68=48（5）（6+6）4=64+64=48（6）1222=242=48（7）12450（8）104+24=40+8=48（9）104+4+4=48（10）10+10+10+10+2+2+2+2=48（11）410+42=40+8=48显然，这些算法都显示不同学生对算题的不同思考，相对于算法（1）、（2）来说，这些学生对算题的理解是建立在加法意义上的，因此，思考的策略也就较多地倾向“加”的运算；相对于算法（10）的学生来说，虽然他们对算题的理解也是建立在加法意义上的，但是能显示出对数之间关系（如数的组合等）的认识较为清晰；而对于使用算法（3）、（5）、（8）、（9）、（11）的学生来说，虽然他们对算式的理解主要也是建立在加法意义之上，但是，可以发现他们对数之间关系的认识似乎更加精细些，而且已经构建了初步的“转化思想”。当然，如果更具体地去分析，算法（8）与算法（9）也有明显的差异，前者基于乘法意义的理解更多些，而后者基于加法意义的理解更多些。同样的，算法（9）与算法（11）也有区别，虽然两者实际上都已经将124看作了412，摆脱了对具体情境的依赖，初步具有了等量变换的思想，但是，后者的思考似乎基于对乘法意义的理解更多些；对于使用算法（4）、（6）的学生来说，可能他们对数的关系认识更为清晰，而且思维中已经开始采用了类似“分解因数”策略，以“化归”的数学方法来解决“难题”；而对于使用算法（7）的学生来说，明显可以感受到他们对策略的思考大于对精确结果的思考，数的位置感是比较良好的，而且善于在实际情境中运用自己的运算技能。当然，教学中，目标不能仅仅停留在学生能给出多少种不同的算法，第一是要求学生按自己的理解给出自己认为最好的算法，而不能一味地“求异”，反而抛弃了自己真实的理解；第二是要求学生在给出自己的算法后，能有条有理地推理、有依据地作出解释和说明，尤其要能说出自己最初的思考过程，这样才能真正起到发展儿童思维的作用。同时，以下两个问题值得探讨：（1）在规则学习中除了需要给学生一种经济有效的算法之外，是否还需要鼓励这种算法的多样化？也就是说，如何处理算法的多样化与优化之间的问题。这一方面涉及是否能真正注意到儿童学习水平及其策略形成的差异性的问题，即儿童有着算法多样化的可能。另一方面还涉及是否能真正为学生构建一个独立思考和创造性思考的空间的问题，即算法多样化不是一种追求的形式，其价值在于激发学生的独立思考和思维的创造性。（2）在规则学习中鼓励算法多样化了，是否还需要给学生一种经济有效的算法？也就是说，如何处理算法的一般化与特殊化的问题。一方面，统一的标准化的算法是否是每一个学生都必须理解与掌握的定向技能目标？还是仅仅为学生提供一种思考上的方向？另一方面，统一的标准化的算法在何时呈现？以何种方法予以呈现？有一点是可以肯定的，在实际情境中，每