带电粒子在有界磁场中运动讲义

带电粒子在磁场中的运动问题分析一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心确实定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点〔一般是射入和射出磁场两点〕，先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。2．半径确实定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径〔或圆心角〕，并注意以下两个重要的几何特点：eq\o\ac(○,1)粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角〔弦切角〕θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。3．粒子在磁场中运动时间确实定假设要计算转过任一段圆弧所用的时间，那么必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°，计算出圆心角α的大小，并由表达式t=α4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线〔半径、速度及延长线〕。a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；〔θ、L和R见图标〕b、带电粒子的侧移由R2=L2+c、带电粒子在磁场中经历的时间由t=mθ②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线〔半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线〕。a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由tanθ2=rb、带电粒子在磁场中经历的时间由t=mθqB二、带电粒子在有界磁场中运动类型的分析1．给定直线边界磁场中的运动【例1】

一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率V垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中(如图1).磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里.(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.OBSVθP图1(2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P,证明:直线OPOBSVθP图1图２２练习１：如图２所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。假设粒子射出磁场时的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质量之比q/m。图２２2．带电粒子在双直线边界磁场中的运动【例2】如图３所示，矩形匀强磁场区域的长为L，宽为L/2。磁感应强度为B，质量为m，电荷量为e的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v的取值范围？练习２长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图４所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是：A．使粒子的速度V<BqL/4m；B．使粒子的速度V>5BqL/4C．使粒子的速度V>BqL/m；D．使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4图５【例3】.如图〔５〕所示，一正离子,电量为q,以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿越磁场时速度方向与其原来入射方向的夹角是30°，求〔１〕该离子的质量是多少？穿越磁场的时间又是多少？〔２〕假设要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度V最小值是多大？图５3.带电粒子在给定的圆形磁场中运动【例4】.在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内,存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,如图６所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场,它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出.〔1〕请判断该粒子带何种电荷,并求出其比荷.〔2〕假设磁场的方向和所在空间范围不变,而磁感应强度的大小变为B′,该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角,求磁感应强度B′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t是多少？图６图６【例5】如图７所示，一个质量为m、电量为q的正离子，从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞屡次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。OOAv0B图７O【例6】如图８，圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如下图，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间。OMMNO,LAO图８P４、带电粒子在环状磁场中的运动图９【例7】、核聚变反响需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内〔否那么不可能发生核反响〕，通常采用磁约束的方法〔托卡马克装置〕。如图９所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，假设被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×C/图９试计算〔1〕粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。〔2〕所有粒子不能穿越磁场的最大速度。5、带电粒子在有“圆孔〞的磁场中运动abcdSo图10【例8】如图10所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为ｍ、带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点SabcdSo图106、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动BBELdO图11【例9】如图11所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为mBBELdO图11求：〔1〕中间磁场区域的宽度d。〔2〕带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.OOO3O1O2图11.1600带电粒子在有界磁场中运动的临界问题一、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法1、对称法带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，那么其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等，利用这一结论可以轻松画出粒子的轨迹。【例1】如图1所示，在y小于0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B，一带正电的粒子以速度从O点射入磁场，入射速度方向为xy平面内，与x轴正向的夹角为，假设粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该粒子电量与质量之比。2、动态圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射粒子时，粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的动态圆，用这一规律可确定粒子的运动轨迹。【例2】如下图，S为电子源，它在纸面360度范围内发射速度大小为，质量为m，电量为q的电子〔q<0〕，MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mvo练习1如图14所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。以下图中阴影局部表示带电粒子可能经过的区域，其中R=mvAA．

B．C．Ｄ．3、放缩法带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，探索出临界点的轨迹，使问题得解。【例3】如图5所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为，电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。4、临界法图１【例4】如图１所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0．60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3×106m/s，α粒子的电荷与质量之比q/m=5．0×107C/kg图１【例5】如右图所示，在边界为AA‘、DD'狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，磁场区域宽为d,电子枪S发射质量为m,电量为e的电子。当电子枪水平发射时，在DD'右侧发现了电子。当电子枪在竖直平面内运动到某一位置时，刚好在左侧发现了电子。试画出电子在磁场中运动的轨迹并计算该电子在边界AA'的射入点和射出点间的距离。〔电子入射速率均为v0〕【例6】在xOy平面内有许多电子〔质量为m、电量为e〕，从坐标O不断以相同速率vo沿不同方向射入第一象限，如图8所示。现加一个垂直于xOy平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x轴正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。图8

图9

图10

图11【例题7】如图半径r＝10cm的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切；磁场B＝0．33T垂直于纸面向内，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子；α粒子质量为m=6.6×10-27kg，电量q=3.2×10-19c，那么α粒子通过磁场空间的最大偏转角θ及在磁场中运动的最长时间t各多少？带电粒子在复合场中运动的应用一、速度选择器原理速度选择器是近代物理学研究中常用的一种实验工具，其功能是为了选择某种速度的带电粒子1．结构：如下图〔1〕平行金属板M、N，将M接电源正极，N板接电源负极，M、N间形成匀强电场，设场强为E；〔2〕在两板之间的空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，设磁感应强度为B；〔3〕在极板两端加垂直极板的档板，档板中心开孔S1、S2，孔S1、S2水平正对。2．原理工作原理：设一束质量、电性、带电量、速度均不同的粒子束〔重力不计〕，从S1孔垂直磁场和电场方向进入两板间，当带电粒子进入电场和磁场共存空间时，同时受到电场力和洛伦兹力作用假设即：当粒子的速度时，粒子匀速运动，不发生偏转，可以从S2孔飞出。由此可见，尽管有一束速度不同的粒子从S1孔进入，但能从S2孔飞出的粒子只有一种速度，而与粒子的质量、电性、电量无关3．几个问题〔1〕粒子受力特点——电场力F与洛仑兹力f方向相反〔2〕粒子匀速通过速度选择器的条件——带电粒子从小孔S1水平射入，匀速通过叠加场，并从小孔S2水平射出，电场力与洛仑兹力平衡，即;即;〔3〕使粒子匀速通过选择器的两种途径:当一定时——调节E和B的大小;当E和B一定时——调节加速电压U的大小;根据匀速运动的条件和功能关系，有，所以，加速电压应为。〔4〕如何保证F和f的方向始终相反——将、E、B三者中任意两个量的方向同时改变，但不能同时改变三个或者其中任意一个的方向，否那么将破坏速度选择器的功能。〔5〕如果粒子从S2孔进入时，粒子受电场力和洛伦兹力的方向相同，所以无论粒子多大的速度，所有粒子都将发生偏转〔6〕两个重要的功能关系——当粒子进入速度选择器时速度，粒子将因侧移而不能通过选择器。如图，设在电场方向侧移后粒子速度为v，当时:粒子向f方向侧移，F做负功——粒子动能减少，电势能增加，有当时:粒子向F方向侧移，F做正功——粒子动能增加，电势能减少，有;二．质谱仪质谱仪主要用于分析同位素，测定其质量，荷质比和含量比，如下图为一种常用的质谱仪1．质谱仪的结构原理〔1〕离子发生器O〔O中发射出电量q、质量m的粒子，粒子从A中小孔S飘出时速度大小不计；〕〔2〕静电加速器C：静电加速器两极板M和N的中心分别开有小孔S1、S2，粒子从S1进入后，经电压为U的电场加速后，从S2孔以速度v飞出；〔3〕速度选择器D：由正交的匀强电场E0和匀强磁场B0构成，调整E0和B0的大小可以选择度为v0＝E0/B0的粒子通过速度选择器，从S3孔射出；〔4〕偏转磁场B：粒子从速度选择器小孔S3射出后，从偏转磁场边界挡板上的小孔S4进入，做半径为r的匀速圆周运动；〔5〕感光片F：粒子在偏转磁场中做半圆运动后，打在感光胶片的P点被记录，可以测得PS4间的距离L。装置中S、S1、S2、S3、S4五个小孔在同一条直线上2．问题讨论：设粒子的质量为m、带电量为q〔重力不计〕，粒子经电场加速由动能定理有：①；粒子在偏转磁场中作圆周运动有：②；联立①②解得：另一种表达形式同位素荷质比和质量的测定:粒子通过加速电场，通过速度选择器，根据匀速运动的条件:。假设测出粒子在偏转磁场的轨道直径为L，那么，所以同位素的荷质比和质量分别为。三．磁流体发电机磁流体发电就是利用等离子体来发电。1．等离子体的产生：在高温条件下〔例如2000K〕气体发生电离，电离后的气体中含有离子、电子和局部未电离的中性粒子，因为正负电荷的密度几乎相等，从整体看呈电中性，这种高度电离的气体就称为等离子体，也有人称它为“物质的第四态〞。2．工作原理:磁流体发电机结构原理如图〔1〕所示，其平面图如图〔2〕所示。M、N为平行板电极，极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，让等离子体平行于极板从左向右高速射入极板间，由于洛伦兹力的作用，正离子将向M板偏转，负离子将向N板偏转，于是在M板上积累正电荷，在N板上积累负电荷。这样在两极板间就产生电势差，形成了电场，场强方向从M指向N，以后进入极板间的带电粒子除受到洛伦兹力之外，还受到电场力的作用，只要，带电粒子就继续偏转，极板上就继续积累电荷，使极板间的场强增加，直到带电粒子所受的电场力与洛伦兹力大小相等为止。此后带电粒子进入极板间不再偏转，极板上也就不再积累电荷而形成稳定的电势差3．电动势的计算:设两极板间距为d，根据两极电势差到达最大值的条件，即，那么磁流体发电机的电动势。四．盘旋加速器1932年美国物理学家劳伦斯创造的盘旋加速器，是磁场和电场对运动电荷的作用规律在科学技术中的应用典例，也是高中物理教材中的一个难点，其中有几个问题值得我们进一步探讨盘旋加速器是用来加速带电粒子使之获得高能量的装置。1．盘旋加速器的结构：盘旋加速器的核心局部是两个D形金属扁盒〔如下图〕，在两盒之间留有一条窄缝，在窄缝中心附近放有粒子源O。D形盒装在真空容器中，整个装置放在巨大的电磁铁的两极之间，匀强磁场方向垂直于D形盒的底面。把两个D形盒分别接到高频电源的两极上。2．盘旋加速器的工作原理：如下图，从粒子源O放射出的带电粒子，经两D形盒间的电场加速后，垂直磁场方向进入某一D形盒内，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，经磁场偏转半个周期后又回到窄缝。此时窄缝间的电场方向恰好改变，带电粒子在窄缝中再一次被加速，以更大的速度进入另一D形盒做匀速圆周运动……，这样，带电粒子不断被加速，直至它在D形盒内沿螺线轨道运动逐渐趋于盒的边缘，当粒子到达预期