教师招聘考试学科笔试讲义（数学）

目 录第一节 式与方程 1第二节 函数 7第三节 统计与概率 28第四节 向量 46第五节 立体几何 53第六节 不等式和复数 69第七节 平面解析几何 80第八节 数列 93第九节 集合与简易逻辑 102第十节 推理与证明 109第十一节 算法与框图 115第十二节 数学史 125PAGEPAGE13PAGEPAGE100（一）数（二）代数式

👉一节式与方程自然数自然数整数负整数有理数真分数实数分数假分数正无理数复数无理数负无理数纯虚数虚数非纯虚数多项式多项式整式有理式单项式代数式分式无理式（根式）1】在代数式个。

1m，0，13a，22 x

，x

，

中属于整式的有（ ）A.3 B.4 C.5 D.6【例2】若分式2x4的值为0，则x的值为（ ）．x1A2 B1 C．1 D2或1xx2

有意义的x的取值范围是（ ）x2

x2

x2

A.6

0，则ab（ b2B.6 b2

D.55yx4C.2x4

2x2x42x22x2x42

的值恒为2，则x的取值范围（ ）x2D.x2x41【例6

x21

x2。x x1 （三）方程（组）方程的次和元：方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高axb0（其中a0，a，b是常数）。（组）1的方程叫二元一次方程。二元一axbyc0（a0b0，a，b，c为常数）。一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起，方程可以超过两个，0的二元方程）。2x6如3xy1

也是二元一次方程组。二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一ax2bxc0(a0a为二次项系数，b为c为常数项。①直接开平方法：适用于解形如(xa)2b(b0)的一元二次方程。ax2bxc0(a0的一元二次方程。运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1。）。d.化成(xm)2n的形式。e.若n0，选用直接开平方法得出方程的解。ax2bxc0a0b24ac，是方程的两根，则：bb24ac20方程ax2bxcbb24ac22a0ax2bxc0(a0xxb。1 2 2a0ax2bxc0(a0没有实数根。运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：b.确定a、b、c的值。计算b24ac的值。若b24ac0，则代入公式求方程的根。若b24ac0，则方程无解。④因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解成多项式的一元二次方程。（韦达定理）①定理x2xc0（a0）12那么，就有ax2bxcaxx1xx2比较等式两边对应项的系数，得xxb ①，acacx1x2a ②。②逆定理12m12n1x2x2xn0。分式方程分式方程的解在求解完成后必须验证是否为增根（增根不是方程的解，需要舍去）。①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程。②解这个整式方程的解。0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，舍去。④写出原方程的根。【例1若a b c bcacab 4的根的情况是（ A.有两个不等的无理数根 有两个相等的无理数根C.有两个不等的有理数根 有两个相等的有理数根2】分式方程2x1

1

0的解为（ ）。x2

x3

x5

x6

2 x24

x 1x245x27x20。【例5】设Qxx3xq且满足方程p 。a是Qx0的根；写出以33为根的一元二次方程。

q题海x22x30，原方程应变形为A．(x1)22C．(x1)24x的分式方程m3

B．(x1)24D．(x1)221的解是非负数则m的取值范围（ x11xA．m＞2 B．m≥2a2a2且m≠3 a2a2a3．如果a22a10，那么代数式a4a

的值是（ ）。A．﹣3 B．﹣1C．1 D．3的值等于（ ）。

4 4 m nA．1 B．0C．﹣1 D．14已知mn是方程x23x﹣20的两个实数根则m24mn2mn的值（ A．1 B．3C．﹣5 D．﹣9若关于x的一元二次方程ax2bx30满足4a2b3，则该方程一定有的根是（ ）。A.1 B.2 C.-1 D.-2若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 。8．分解因式：2x212x32 。如果方程kx22x10有实数根，则实数k的取值范围是 。x1x23axa20的一个根，求代数式3a29a1的值。11yy4)12y。12xxm2x20m。若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值。👉二节函数一、知识要点（一）函数的概念映射映射的概念fA中的任BABf）AB的映射。记作：f（对应关系）：A（原象）→B（象）。映射的性质①任意性②有序性③存在性④唯一性⑤封闭性。注意：一对一，多对一是映射；但一对多显然不是映射。函数的三要素：定义域、对应关系和值域。fA中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合AByf(x)xA。其中，x叫做自变量，x的取值范围Axy值叫做函数值，函数值的集合f(x)xA叫做函数的值域。（1）函数的单调性①函数的单调性定义fxIID上的任意两个x1，x2x1x2f(x1)f(x2)f(x)D上是增函x1x2f(x1)f(x2fxD上是减函数。②单调区间f(xDyf(x)在这一区间具有（严格的）Dyf(x)的单调区间。复合函数的单调性判断法则：“同增异减”。③函数的最值设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足，对于任意的xI都有f(x)Mx0If(x0)MMxI都有f(x)M，x0If(x0)MM为最小值。（2）函数的奇偶性①函数的奇偶性定义一般地，如果对于函数fxxf(x)f(x)，那么函数fxy轴对称；fxxf(x)f(x)，那么函数fx就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称。②奇、偶函数的性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性是相同的，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是相反的。数的和、积是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。③利用定义判断函数奇偶性的步骤非奇非偶函数。fxf（-x）的关系。)xfxf（x）是奇函数；注意：f(0)0f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件。但奇函数f(x)x0处有意义，f(00。函数的周期性①周期函数yf(x)Tx取定义域内的任何值时，f(xT)f(xyf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。②最小正周期如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期。③重要结论f(x)f(xa)f(x)f(x)的周期为a；f(xa

1f(x)

(a0T2a；f(xa)f(xa)，则T2a；函数图象的对称性yf(x)xf(x)2bf(2ax)，则yf(x)的图象关于点(b)成中心对称；yf(x)xfx)f(2ax)yf(x)xa成轴对称；yf(x)f(x)bf(2ax)的图象关于点(b)对称；yf(x)f(x)f(2axxa对称。1yarcsin1的定义域为（ ）22x【例2】设映射f:xx3x1，则在f下，象1的原象所成的集合 。3fx是定义在Rfx1fx1f23，则f322的值等于多少（ ）。B.1 C.2 3a4fxogax2xx上为增函数a的取值范围应是a（ ）。Aa1 B.a0a1C.0a125f(x3x

(1)x，则f(x)3

D.1a12函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数函数，且在R上是减函数 函数，且在R上是减函数6fxRx0fxx31；当1x1时，fxfx；当x1时，fx1fx1。则f6为多少（ ）2 2 2A.2

C.0 D.27fxRgxfx，若agg2，bg28，cg，则a，b，c的大小关系为（ ）abc指数函数定义

cba

bac

bcayax(a0a1)x是自变量，函数的R。图象和性质函数名称指数函数定义yax(a0a1)叫做指数函数图象a10a1y yaxy1(0,1)O xyax yyax (0,1)(0,1)ya定义域R值域()过定点图象过定点()x0y1。奇偶性非奇非偶单调性R上是增函数R上是减函数函数值的变化情况ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a变化对图象的影响aa越大图象越低。公式

anaan个

a(nN*)a01(a0)ap

1(a0，pN*)apm anm

nam(a0，m、nN*，n1)1

n namarasars(a0，r、sQ)arsas(asQ)⑧brarbr(abrQ)对数函数定义若axN(a0，且a1)，则x叫做以aNxlogaNa叫N叫做真数。对数函数的图象和性质函数名称对数函数定义ylogax(a0a1叫做对数函数。图象a10a1y x1 ylogxa(0,1) (1,0) yax定义域()值域R过定点图象过定点0)x1y0。奇偶性非奇非偶单调性在()上是增函数在()上是减函数logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(x1)x1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越低；在第四象限内，a越大图象越高。公式①loga(MN)logaMlogaN；②log

aN

aMlogaN；③logaMnnlogaM(nR)；④gam

m

M(m、nR且m0)；log

1）；b⑥logab

logab1；logbalogablogbclogcdlogad。幂函数（1）定义yx(Rx是常数。（2）幂函数的图象及性质①幂函数的图象②幂函数的性质函数yxyx2yx31yx2yx1定义域RRR值域RRyyR且y0奇偶性奇偶奇非奇、非偶奇单调性增x，增x0，减增增，减x0，减【例1】已知点a1在幂函数fxa1xb的图象上，则函数fx是（ ， 2A.奇函数 B.偶函数C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数【例2】已知a>1，0xy1，则下列关系式正确的是（ ）。A.axaylogxalogya

B.xayaD.logaxlogay【例3】已知alog32.5，blog92.2，clog92.5，则（ ）cb

cab

bac

abc【例4】若ab1，0c1，则（ acbcC.alogbcblogac

abcbacc5fxax（a0a1的定义域和值域都是0ab等于 。【例611。若幂函数fx为奇函数。且在 ，， 22 上递减，则等于 。（三）三角函数任意角的三角函数任意角P(y)inyxty。三角x函数的符号如下：三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin++--cos+--+tan+-+-sinsin2cos21，cos

tan。三角函数的图象与性质①三角函数的图象和性质函数性质ysincosytan定义域RRk，kZ 2 期内）值域R对称性对称轴：Z)2对称中心：0(kZ)对称轴：xk(kZ)对称中心：0(kZ)2 对称中心：0(kZ)2 周期性22单调性单调增区间2k2k2 ， 2单调减区间2k32k2 ， 2(kZ)单调增区间2k2k单调减区间2k，+2k(kZ)单调增区间kk 2 ， 2 (kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数②“五点作图法”x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：x2 2 x+02x322yAsin(x+)0A0A0三角恒等变换①诱导公式角2k(kZ)22正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan——口诀奇变偶不变，符号看象限②两角的和差公式sin()sincoscossinsinsintantan1tantansinsintantan1tantan)③二倍角公式sin22sincoscos2cos2sin22cos2112sin2tan22tan1tan2①正弦定理a

b

c

2RR是三角形外接圆的半径。正弦定理的变形：a：b：csinA：sinB：sinC；a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sinA

anB2R

bnCc。2R 2R②余弦定理a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC。余弦定理变形为：b2c2a2

a2c2b2

a2b2c2，cosB ，cosC2bc

2ac

2abSABC

1ah1absinC1acsinB1bcsinA2 2 2 2【例1】若tan3，则cos22sin2（ ）46425

4825D.1625【例2】若sin1，则cos2（ 389

79

79

89【例3】若cos3，则sin2（ 4 5 725

15

15

725【例4已知曲线C:ycosx，C:ysin2x2则下面结论正确的（ 1 2 3 把2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平个单位长度，得到曲线C。6 2把C12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平个单位长度，得到曲线C。12 2把C 11上的各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C。6 2把C 11上的各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C。12 2【例5】函数fxcosx的部分图象如图所示，则fx的单调递减区间为（ ）A.k1，k3，kZ B.2k1，2k3，kZ 4 4 4 4 C.k1，k3，kZ

D.2k1，2k3，kZ 4 4 4 4 6】若tan1，则tan= 4 6 【例7】已知sincos1，cossin0，则sin 8fx

x x2sincos

2sin2x。fx的最小正周期；

2 2 2fx在区间上的最小值。【例9】已知角的顶点与原点Ox轴的非负半轴重合，它的终边过点P34。5 5 （1）求sin的值；（2）若角满足sin5，求cos的值。1310ABCDADC90A452求cosADB；2

AB2BD5。

BC。11】在△ABCA，B，Ca，b，c.已知bsinAacos(B

).6B的大小；a=2，c=3b和sin(2AB的值.（四）分段函数分段函数①绝对值函数：x，

x0x0x，x0②符号函数：ysgnx0，x0③狄利克雷函数：D(x0x为无理数（五）函数的零点y=

f(x)f(x)=0xy=

f(x)的零点．yf(x)f(x)0yf(x)x轴交点的横坐标．即方程f(x)0有实数根yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．yf(x)在区间ab上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)fb)0yf(x)在区间ab内有零点，即存在cab，使得f(c)0cf(x)0的根．（1）f(x)在[ab]上连续；（2）f(a)f(b)0；（3）在(ab)内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不是必要条件．判别式△=b2-4ac△>0△=0△<0函数（a<0）的图像yx1ox2xyo xyo x方程ax2+bx+c=0（a<0）的根两个不相等的实根12x1=x2=-b2a没有实根函数（a<0）的零点12-b2a没有零点不等式ax2+bx+c>0（a<0）的解集{x|x1<x<x2}ÆÆ不等式ax2+bx+c<0（a<0）的解集<或{x|x? b}2aRykox1x2 xax2+bx+c=0根的分布（ykox1x2 xyyyox1x2kxkox1x2 x在(1k2)一根k1<x1<k2<x2<k312Î(1k2)布f(k)<0îï△>0b>k2aïï2aïb<kïï件图像x1<k<x2k<x1<x2x1<x2<k布yyyyyk2k1ox1x2k2xk1ox1x2k3xox1k1k2 x1 22a-b?(kk)f(k1)f(k2)<0或△=0且îïf(k3)>0íïf(k2)<0ï22aï1ïïk<- <kïí bïf(k2)>0ï件图像yf(x)x0

limxx0

f(x)f(x0)0xx 存在，则称函数0fx0处可导，并称该极限为函数fx0f(x0)。lim

f(xf(x0)limylim

f(x0xf(x0)f(xxx0

x0 x 0在，则称函数fx0不可导。f(xxx的切线斜率kxxklim

f(x)f(x0)。0 0

x0kf(x)，所以曲线yf(x)yy0f(x)(xx0。

在点(x0，y0)

的切线方程是f(x)0xf(x)0x轴正向的f(x)0x轴平行。基本初等函数的导数公式(c)0（c为常数）。(x)x1（为任意实数），x1

11。12xxx212xxx2(ax)axlna（a0a1），(ex)ex。④(loga

1

（a0，a1），(lnx)1x⑤(sinx)cosx，(cosx)sinx；求导法则若函数u(x)v(x)在点x0可导，则函数f(x)u(x)v(x)在点x0也可导，且f(x0)u(x0v(x0。若函数u(x)v(x)在点x0可导，则函数f(x0u(x0v(x0u(x0v(x0。

f(x)u(xv(x)在点x0也可导，且0若函数vxx0c为常数，则(cv(x))xxcv(x0)。0若函数u(x)v(xxv(x)0f(x)u(x)x

也可导，且0 0f(x)u(x0)v(x0u(x0)v(x0)。

v(x) 00v2x00切线方程fxx0fx0yfx（x0，fx0）fx0k。00yfx在点（x0fx0）yfx0fx0xx0。00yfx在点（xfx）yfx

1 xx。0 0极值与最值

fx0若函数f

在点x0

的某邻域U(x0)内对一切xU(x0)有

f(x0)≥f(x)（或），f

f

在a，b上连

在a，b上一定有最大、最小值。若函数f

的最大（最小）x0在区间a，bx0必定是f

的极大（极小）值点。fxx0x0fx00。极值与区间端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。ex【例1】已知函数fx nx

gx2个零点，则a的取值范围是（ .0

B.

C.

.2】已知函数fx4x33tx26t2xt1，其中tR．当t1yf(x在点(0,f(0处的切线方程；当t0f(x的单调区间；x【例3】已知函数f(x)2x1，h(x) 。x3 2Fx8fxx2hx2（x）的单调区间与极值；3 3设aRx的方程lg[

f(x1)2

]2lgh(ax)2lgh(4x)；4f(x)a2lnxx2axa0。f(x的单调区间；求所有实数a，使e1e为自然对数的底数。题海

f(xe2x[1e恒成立。1幂函数fxm24m4xm26m8在上为增函数则m的值（ ）A.1或3 B.1 C.3 D.2设x，y，z为正数，且2x3y5z则（ ）2x3y5zC.3y5z2x已知alog2

B.5z2x3yD.3y2x5z，bln2， 1，bln2， 13，则，b，的大小关系为（ 2

bac

cabysin2x的图象向右平移个单位长度，所对应的图象对应函数 5 10（ ）354，上单调递增 4在区间3，上单调递减4 53在区间4，上单调递增 2上单调递增2 在ABC中，cosC5，BC1，AC5，则AB（ ）2 5230294 B. C.23029

5D.25在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。若ABC为锐角三角形，且满足sinB12cosC2sinAcosCcosAsinC，则下列不等式成立的是（ ）

A2B

B2Af(xsin2x,求的值。

3sinxsin(xπ0的最小正周期为。2f（x）在区间[0,2π]上的值域。3

3k1k2 。f(x)x2 2(kZ)f为偶函数，且在（0，＋∞f的解析式；f在（0，＋∞）k9fx＝-x23x1x[m，m＋1。f；≥1的最大值。10．已知tan4cos5。3 5求cos2的值；求tan的值。2已知△ABC的周长为2AB的长；

1sinA＋sinB＝

2sinC。若△ABC1sinCC的度数。6ωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期为π.的值；f（x）的单调递增区间.13a＞0f(x)1a，x∈（0，＋∞）．设0x2y＝fxfl．的方程；lx轴的交点是（x2，0）0x2

1 a1.a在CABC的对边分别为abc2nAnBnAnB。ab2c求cosC的最小值。fxx3ax2bxc.

（１）y

fx.在点0,f0处的切线方程；（2）设ab4，若函数fxc的取值范围；

👉三节统计与概率（一）排列、组合与二项式定理两个计数原理的含义①分类计数原理（也称加法原理）办法中有m2n类办法中有mnNm1m2m3mn种不同的方法。②分步计数原理（也称乘法原理）n种不同的方法，…在第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2m3mn种不同的方法。注意：分类是独立的、一次性的；分步是连续的、多次的。两个计数原理的区别分类计数原理中方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成整个事件。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法是完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。排列n（这里的被取元素各不相同nm个元素的一个排列。n(n1)(n2) m1)n(n1)(n2) m1)n!(nm)!n③排列数公式：

nm个相乘n

(m,

nN*,mn），如！5 (53)④全排列：n个不同元素全部取出的排列。n1nAnn!01。n组合n（这里的被取元素各不相同nm个元素的一个组合。nnn个mCm表示。n③组合数公式m Am 1) (nm1) n! *Cnn

AmmA3 3 A3如C55A33④组合性质

21 (nm)!m!543321。CmCnm，规定C0Cn1。n n n nabn的展开式(ab)nC0anb0C1an1bCranrbrCna0bn。n n n nn1项；系数：依次为组合数C0C1C2CrCnn n n n n每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列、b的升幂排列展开。二项展开式的通项r1abnr1r1

Cranrbr0rn，rZ。n二项式系数的性质n①在二项展开式中与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大。nn1项，它的二项式系数2

nC2最大；Cn当nn1n11项，它们的二项式系数n1Cn2

2 2n1最大。Cn2③系数和：C0C1Cn2nn n nC0C2C4C1C32n1n n n n n附：一般来说axbyn（a，b为常数）时均可直接a1或b1AkAk1AkAk1（AkAA AA为Tk1的系数或系数的绝对值）的办法来求解。（二）统计基本统计量

k k x1xxLx。n 1 2 nnx1f1x2f2xk出现fk次（这里f1f2fkn），这n个数的平均数可以表示为x1(xfxfxf)，这样求得的平均数叫加权平均数，其中n 11 22 kkf1，f2

fk叫做权。③众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。⑤方差、标准差xxx x122x Lx2nx2n

xn是样本数据的第n项，nx是平均数。方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差。抽样①总体和个体总体：所有考查对象的全体。个体：总体中的每一个考察对象。样本：从总体中所抽取的⼀部分个体叫做总体的⼀个样本。总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常⽤样本平均数估计总体平均数。样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。②简单随机抽样叫做简单随机抽样。最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法。③分层抽样分层调查的定义：将总体按其属性特征分成若干类型，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫做分层抽样。④系统抽样n的样本。ａ.N个个体编号；确定分段间隔kN（n是样本容量）是整数时，取kN；n ni（i≤k）；k2i+k，再加k3i+2k，依次进行下去，直到获取整个样本。统计图表统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等。（1）条形统计图条形的宽度必须保持一致，然后把这些条形排列起来，这样的统计图叫做条形统计图。它可以表示出每个项目的具体数量，如图所示：特点：易于比较数据之间的差别。扇形统计图概念：利用圆和扇形来表示整体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。扇形统计图主要是反映具体问题中的部分与整体的数量关系。扇形100%1，如图所示：特点易于显示每组数据相对于总数的大小。折线统计图概念：折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后用线段顺次把各点连接起来。它既可以表示出项目的具体数量，又能清楚地反映事物变化的情况。特点：易于显示数据的变化趋势，如图所示：茎叶统计图概念：植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。特点：①用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示。②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。频率分布直方图概念：在统计数据时，按照频率分布表，在平面直角坐标系中，横轴标出每个组的频率端点，纵轴表示 组距方图，如图所示，直方图中各矩形之间没有空隙。步骤：①求极差②决定组距与组数③将数据分组④列频率分布表⑤画频率分布直方图（三）概率随机事件和确定事件随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件；确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件；SS的必然事件；SS的不可能事件；确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母ABC，…表示。频率与概率SnAnAnA频率。

AAfn

AnAA出现的n对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个P(A)AA的概率。概率的基本性质0PA)1；P(E)1P(E)0；（1）古典概型试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；每一个试验结果出现的可能性相等。n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1；如果某个事件Am个，那么nAPAm。nAPA事件A包含的可能结果数。试验中所有可能结果数（２）几何概型①几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。②几何概型中，事件A的概率公式：PA 构成事件A的区域长度（面积或体积） 。）互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件。ABPAB)PAP(B)；ABPA)1P(B。注意。对立一定互斥，互斥不一定对立。４．条件概率①条件概率的定义对于任何两个事件AB，在已知事件AB发生的概率叫做条P(BAP(BAPAB(PA0。P(A)②条件概率的性质0P(BA)1；５．独立事件A、B

ABA、B是相互独立事件。独立事件的性质如下：ABP(BAP(BP(ABP(BA)P(AP(A)P(B；ABABAB也相互独立；PAB)PA)P(B)AB相互独立。6．nk次的概率在n次独立重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，事件发生的概率是P，则在n次独立重复试验中恰好成功k次的概率为nPkCkpk1pnk。n第一步，确定事件的性质等可能事件，互斥事件，独立事件，

即所给问题归结为四类事件中某种。和事件，第二步，判断事件概率的运算积事件，即判断至少有一个发生，还是同时发生，确定运用加法或乘法原理。等可能事件:PA

m;n互斥事件:PABPAPB;独立事件:PABPAPB;nn次独立重复试验:PkCkpk1pnk;n条件概率:PB|A离散型随机变量

PABP(A)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。离散型随机变量的分布列X可能取的不同值为1x2inX取每一个值i2，3…，n）PXxipiX的分布列为：

i=1，Xx1xXx1x2xixnPp2ppn随机变量X的分布列具有的性质：①0pi1，i=1，2，3…，n；p1p2LpiLpn=1。二项分布①二项分布（n重伯努利实验）AA—实验。

将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立实验为n重伯努利②二项分布的性质nn次独立重复试验中，事件AkCkpk1p)nk(k，n)nnpX:超几何分布

Bn，p。NM（M>N）n（nN）件产品，CkCnkCnXnPXk)MNM，（k为非负整CnNXN，M，n的超几何分布，简记为X~Hn，M，N。（3）离散型随机变量的均值与方差若离散随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn①均值（期望）X的均值（数学期望）EX=x1p1x2p2LxipiLxnpn，它反映了随机变量取值的平均水平。37PAGEPAGE38PAGEPAGE101重要公式：E(c)=c(c为常数)；E(cX)=cE(X)；E(X±Y)=E(X)±E(Y)；EaXbaEXb。n nEXiE(Xi)i1 i1X，YEXY)E(X)E(Y)。②方差XpxE(X)2p

E(X)2pxE(X)2X的方差。11 2

nn XDXEXEX2XEX的平均偏离程度。重要公式：nDX xE(X)2p=EXE(X)2k D(c0(c为常数）D(cX)c2D(x)DaXba2DX。正态分布正态分布的定义及其性质①定义：若连续型随机变量 X 的概率密度为f(x)

(x 21 21

-xX~。

F(x) f(x)dx

1 (x)2 2x e 2x

dx为分布函数。 ②正态曲线的性质：xx轴不相交；x=PXPX；1

PXPX0.5;x=处达到峰值2；曲线与x轴之间形成的区域的面积为1；当一定时，曲线的形状由决定，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。（3）标准正态分布

N(μσ2中的

μ0,σ1N(01)。标准正态分布的概率密度表示为(x)

1 x2e2,

x。2πX~N0,1Xxx2π叫做正态分布函数。(x)x为右边界、密度曲线为上边界、x轴为下边界图形的“面积”。p(x)xO x(x)1(x)=5。X~N(,2)

F(xxP(aXb(ba) 均匀分布

1 ，axbXf(x)ba

X在区间(a,b)上X~。

，其他0baF(x)xba1

xaaxbxb

1f(x)0

e

，x0

X服从参数为的指数分布。【例14同学各自在周六周天两天中任选一天参加公益活动则周六周天都有学参加公益活动的概率为（ ）.18

38

58

78【例2】设复数zx1yi（x，yR），若z1，则yx的概率为（ ）A.31

B.11

C.11

D.114 2 4 2 2 2 3】一批产品的二等率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，又放回的抽取100件，X表示抽到的二等品件数，则DX（ ）4p，各成员的支付方式相互X10DX2.4，PX4PX6，则p（ ）A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3【例5】从甲、乙等8名同学中挑选3名参加某项公益活动，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则不同的挑选方法有多少种（ ）。A.30 B.36 C.56 D.112不同的选法共有（ ）【例7】某人在打靶时射击8枪，命中4枪，若命中的4枪有且只有3枪是连续命中的那么该人射击的8枪中“命中“不命中报告结果不同的结果（ A.720种 B.480种8(x2为（

x2A.15 B.20 C.40 D.80【例9】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要20件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验。设每件产品不合格p（0p1），且各件产品是不是不合格品相互独立。20fpfpp0。202件不合格品，以（1）p0作p2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要25元赔偿费用。①若不对该箱余下的产品做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，EX；②以检验费用与赔偿费用的和的期望值作为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验。体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作55求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1B1的概率；

XXEX。题海3名女生，现从中任选2名学生参加活动，则恰好选中2名女生的概率为（ ）【例2】某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达坐班车且到达发车站的时刻是随机的则他等车不超过10分钟的概率（ 13

12

23

34黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A.14C.12

B.π8D.π4则抽到2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）5

49

59

7950.75，连的概率是（）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【例6】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为06且各次投篮是否投中相互独立则该同学通过测试的概率（ A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312【例7】x2xy5的展开式中，x5y2的系数为（ ）A.10 B.20 C.30 D.60x【例8】已知 x

5aax

3的项的系数为30，则a（ ）33A. B. C.6 D.633【例9】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构ABCBCABAC△

ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）p1p2p3p2p3p1p2p37人，进行睡眠时间的调查。74人睡眠不足，373人做进一步的身体检查：X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求A发生的概率。个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同。从任意中选取3个。1XX的分布列与数学期望。500由测量结果得如下频率分布直方图：500xs2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；ZN，2，其中x2s2。P187.8Z212.2；②某用户从该企业购买了100X表示这100件产品中质量指标值位于区间2X。附： 。若Z N，2，则PZ0.6826，分布直方图如图所示X中μ近似为样本平均数X，σs2，利用该正态分布，求P（79.5＜X＜104.5）；20棵这种櫻桃树苗，记ξ20棵树苗株高位于区间（79.5，的棵数，利用（1）Eξ（结果保留整数）若株高位于区间（79.5，104.5）的树苗视为“优良”，并以（2）Eξ为“优良”棵数．从这20棵树苗中任取3棵，记η为“优良”的棵数，求η的分布列和数学期望．-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9545．对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（分钟）25303540频数（次）20304010求的分布列与数学期望；刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．👉四节向量一、知识要点（一）平面向量基本概念数量：只有大小，没有方向的量。0的向量。1个单位的向量。（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。零向量与任一向量平行。相等向量：长度相等且方向相同的向量。不共线的向量，除此之外，向量的加法还可利用“三角形法则”。三角形法则的特点：首尾相连。平行四边形法则的特点：共起点。（2）向量的减法：利用“三角形法则”，设ABa，ACb，那么ab

AC ，向量减法的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：减向量与被减向量的起点必须相同，当起点不相同时，可以将向量平移使它们共起点。数量积对于两个向量a和b，它们的模a，b与它们的夹角的余弦的乘积称为a和b的数abababcosabx1x2y1y2。x2y2ax，yx2y2设ax1，y1bx2，y2则

aaaax2y2。ax1，y1=x1，y1A1B2

x

即一个向量的坐标等于表示ABAB x2 1x y222 1yabbaaaabba；abcabcababab；aaaabababcacbc。两边平方，两边同乘一个实数，两边同时取对数，两边同乘一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去同一个向量，切记两向量不能相除（或相约）。向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使ab。一对实数对12ae1e2。注意：①我们把不共线向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底；②基底是不唯一的，关键是不共线；a在给出基底e1e2的条件下进行分解；ababRx1y2x2y10。abb0ab0x1x2y1y20。直线l1：

（二）空间向量OijkO为xyz轴，统称为坐标轴。它们构成了一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系。注意：①通常三个数轴应具有相同的长度单位；xyz轴放置在铅垂线上；③数轴的正向通常符合右手定则。x2y2z2设向量rx，x2y2z2Ax1，y1，z1Bx2，y2，z2ABx

；

z；数量积①数量积的定义

2 1 2 1 2 1对于两个向量a和b，它们的模a，b与它们的夹角的余弦的乘积称为a和b的数abababcos。②数量积的运算律abba；abcabcababab；aaaabababcacbc。③数量积的坐标表示z1z2x2y2z2x2y2z21 1 1 2 2 2设a，b，则当a0，b0时，有cos 。向量积①向量积的定义与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。方向：a与b的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。ababsin，表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）。②向量积的性质aa0；对于两个非零向量ab，如果ab0，则ab；反之也成立。③向量积的运算律abba；abcacbc；c.ababab为常数。③向量积的坐标表示i j kab=x1x2

y1 y2

1z2y2i211zj1y22kbb

，bx2，y2，z2

，则a

，即axyzxyz111。1 1 1 2 2 混合积

x2 y2 z2已知三个向量a，b，c，先作两向量a和b的向量积ab把所得到的向量与第三个向量c再作数量积，即abcabc的混合积，记作aabbcc。则a，b，cabcxc

ya zay

xa

xa

xa ya zaxb yb zb。cyb zbc

xb

xb

xc yc zcz【例1】点O在ABC内部，满足OA2OB3OC0，则AOC的面积与BOC面积之比为（ ）。zA.2:1 B.3:2 C.3:1 D.5:3【例2】在ABC中，若BP2PC，APxAByAC，则xy=（ ）【例3】在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（ ）AB1AB1AC4 4AB1AB1AC4 4

B.1ABAB3ACAB3AB3AC4 4【例4】已向量am，b2，且abb，则m（ ）86

6 D.85ABCx2y21ABBCP的坐标PAPBPCPAPBPC

的最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9【例6已向量ab满足a1b且ab（R则（ ）7】abABCAC所在直线与abABAC为旋转轴旋转，有下列结论：AB与a60AB与b成30角；AB与a60AB与b60角；AB与a45；④直线AB与a所成角的最小值为60。其中正确的是（ ）题海1xyR，向量abyc4acbcab（ ）5510A. B.10 C.2 D.5510【例2】已知ee2ae2e

bkee，若1 2

1 2 1 2ab0，则k（ ）32，圆心角为90的直角扇形OABQAB上任意一点，P在扇形内（含边界），且OPtOA1tOB（0t1），则OPOQ的最大值为（ ）4ABCO上的三点，若

AC，ABAC25ab2ab8（mnRmn的值为（ ）【例6】已知向量a，b满足a1，ab1，则a2ab（ ）A.4 B.3 C.2 D.0【例7ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PAPB

P的最小值为（ ）32

43

1【例8】设a，b是向量，则“ab”是“abab”的（ ）充分而不必要条件 必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【例9】已知非零向量m，n满足4m3n，cos数t的值为（ ）

m，n1ntmn，则实3A.4 C.94

D.94【例10】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．A1B1C1；ABB1所成的角的正弦值。【例1知向量ab满足a1b且ab（R则（ ）12】a，bABCAC所在直线与abABAC为旋转轴旋转，有下列结论：AB与a60AB与b成30角；AB与a60AB与b60角；AB与a45；④直线AB与a所成角的最小值为60。其中正确的是（ ）👉五节立体几何一、空间几何体的三视图、表面积与体积（一）空间几何体的三视图多面体结构特征棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点的连线球半圆或圆直径所在的直线几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图。①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图。（二）空间几何体的表面积与体积圆柱圆锥圆台图式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r)l圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：

S圆台侧＝(r

S圆锥侧＝rl求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积。求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系。的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基表积。规则几何体若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法。不规则几何体若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解。三视图形式若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解。图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ）。【例２】已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）。B.2C.3 D.4某几何体的三视图如图所示其中俯视图为一个直角角形，一个锐角为30°，则该几何体的表面积为（ ）。33A.24＋12 B.24＋53333C.12＋15 D.12＋12332的半圆，俯视图是直径为2的圆，则该几何体的表面积为（ ）。A.3π B.4πC.5π D.12π【例５某几何体的三视图如图所（单位则该几何体的体（单位是（ ）。 A. ＋1 B. ＋32 23 3C. ＋1 D. ＋32 2二、直线与平面（一）直线与直线的位置关系异面直线（1）判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线（不在任何一个平面内的两条直线）0， 2平移法：在异面直线中的一条直线上选择一个特殊点，做另一条直线的平行线。（二）直线与平面之间的位置关系如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（“线线平行，线面平行”）。如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行（“线面平行，线线平行”）。如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面（“线线垂直，线面垂直”）。垂直于同一平面的两条直线平行。线面角斜线与平面所成的一个直角三角形的锐角，它的三边分别为平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通过斜线上某个特殊点做出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（证明及三余弦定理）逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线和斜线的射影也垂直。是两个平面，m，nm⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.m⊥n.α∥β，m⊂αm∥β.的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有（ ）A.②③④ B.①③⑤C.①②③ D.②④⑤（ ）α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，nmnα，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，nmn是（ ）。A.若m∥α，n∥α，则m∥n α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n【例４】若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）。A.l1⊥l4 B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定【例５】设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是（ ）。B.m⊥l1，m⊥l2C.m⊥l1，n⊥l2 同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的中一定能推出m⊥β的是（ ）。A.α⊥β且m⊂α B.α⊥β且m∥α且n⊥β 且n∥β（三）平面与平面之间的位置关系空间两个平面的位置关系：相交、平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（“线面平行，面面平行”）。平行于同一平面的两个平面平行。如果两个平面平行，同时和第三个平面相交，那么它们交线平行（“线面平行，面面平行”）。二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面（“面面垂直，线面垂直”）。叫作这两个平面的公垂线段，两个平行平面公垂线段的长度叫作两个平行平面的距离。：（1）垂直关系的转化（2）在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．（4）异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫作两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫作这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线公垂线段的长度叫作这两条异面直线的距离。任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线公垂线段的长是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条。（四）空间距离一点到它在平面内的正射影的距离，叫作这个点到这个平面的距离。一条直线上任一点到与它平行平面的距离，叫作这条直线到这个平面的距离。（公垂线）和两个平行平面同时垂直的直线叫作两个平面的公垂线，公垂线夹在两个平面间的部分DABC中，已知△BCD是正三角形，ABBCD，ABBCaEBCFACAF3FC．DDABC的体积；DEF；3 M（３）MDBNAC上，且CN8CA，求证：MN//平面DEF． B AE2P-ABCD中，PCABCDAB∥DCDCNAC（１）求证：DC平面PAC； C F（３）EABPBFPA平面CEF?说明理由.三、利用空间向量求空间角（一）利用空间向量求空间角ababababφa，b所成的角）。nene图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有s１nnenel垂直的直线，则二面角的大θ＝D〉。22角的大小22思路点播：计算二面角大小的常用方法法向量法夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小方向向量法个向量的夹角的大小就是二面角的大小与空间角有关的综合问题与空间角有关的综合问题主要包括两类：探究是否存在某点，满足线面角或二面角成某一角度（如直二面角、所成二60°等结论作为一个新的条件，结合题目已知的条件，一步一步逆推，并充分利用角度或空间距离的求解方法，列等式（通常含有一个未知数），求解未知数：若有解，即可得到定．方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，ECC1的中则异面直线BC1与AE所成的角的余弦值为 ．n＝（4，1，1）la＝则l与α所成角的正弦值为 。3ABCD中，OBD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2。BCD；ABCD所成角的余弦值。PD的中点。PAB；PBC所成角的正弦值。其内部）在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点．设P是，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；EAGC的大小。＝CD＝22，BC＝42，PA＝2.AB⊥PC；MMACD45°，如果存BMMAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由。四、空间向量及其运算和空间位置关系（一）空间向量及其运算（1）空间向量的有关概念空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量相等向量方向相同且模相同的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一平面的向量（2）空间向量中的有关定理量定理对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝b量定理若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝xayb量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xaybzc向量表示坐标表示积a·b共线a＝λb（b≠0）a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直模|a|a2a2a21 2 3夹角〈a，b〉（a≠0，b≠0）cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 a2＋a2＋a2·b2＋b2＋b21 2 3 1 2 3求夹角a·b设向量a，bθ，则cosθ＝|a||b|，进而可求两异面直线所成的角距离）算问题题aba·b＝0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题（二）利用空间向量证明平行与垂直问题直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行（或重合）的非零向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量lα的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理，如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外。2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2l的方向向量为nα的法向量为ml∥αl⊥αn∥m⇔n＝λmα，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥β题海某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）。A.60 B.30C.20 D.10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）。15πA.2 B.8π17πC.2 D.9πH，CH（）。2A. B.2223C.2 D.2232如图是一张矩形白纸ABCD，AB=10，AD=102

，E，FAD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A、C在平面BFDE同侧，下列命题正确的是（ ）。ABECDF时，ACBFDE；ABECDF时，AE∥CD；A、CP时，PG⊥PD；④当A、C重合于点P时，三棱锥P-DEF的外接球的表面积为150π.A.③④ B.①④C.①③ D.②③CD四棱锥PABCD中， CDAB//CD,AB2CD2BC2AD4,DAB600,AEBEPAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD。求证：EC//平面PAD； A E BPABCD的体积；PC（端点PC除外）上一点MDEAM，若存在，指出点M的位置，若不存在，请明理由。如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将△PAD，△PBC沿PA，PBC与点DO2P-OAB中，E为PB中点．（1）求证：PO⊥AB；BPPOA所成角的正弦值；的大小．2已知三棱锥P-ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为 正方形，△ABE和△BCF均为正三角形．在三棱锥P-ABC中：2证明：平面PAC⊥平面ABC；的余弦值；（３MCCP

1,2 33

NBPBMAN，BN的取值范围.BPB(图2)B(图2)EAC B C(图1)F👉六节不等式和复数一、知识要点）不等式（1）不等式用不等号“<、>、≠、、”连接两个代数式表示不等关系的式子，叫做不等式。（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解不等式。abba；ab，bcac；abacbc；ab，c0acbc。ab，cdacbd；ab0anbn(nN，n1)；naab0 nb(nN，n1naa，bR，则a2b22aba=b时，等号成立。aba>0，b>0abab2

a=b时，等号成立。aba，b的算术平均数，称2x，y都为正数，则有：

aba，b的几x+y=s（即和为定值），x=yxys2；4p若xy=p（即积为定值），当且仅当x=y时，和x+y取得最小值2 ；p3abca，b，cRabc3abc3

a=b=c时，等号成立。abcdR，则a2b2c2d2acbd2acdab0ab①做差法ab0aba，bR；ab0aba1a②作商法 abaR，bRa1abb①fxgxfx2gx2；②fxgxfxgx或fxgx；③fxgxgxfxgx。①fx0fxgx0；gx gx0②fx0fxgx0gx2的不等式叫做一元二次不等式。一元二次不等式的解法（x1，x2x1x2）判别式b24ac000二次函数yx2xca）的图象O一元二次方程ax2bxc0的根bb24acx1,2 2axb2a无实根x2xc0a）的解集{x|xb}2aRax2bxc0(a0的解集) {x|xxx}1 2（线性规划）（组）的概念在平面直角坐标系中，二元一次不等式

AxByC0（0）表示直线AxByC0AxByC0（0）表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。AxByC0同一侧的所有点，把它们的坐标（x，y）Ax＋By＋C所得符号都相同。Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，将点(x0，y0)代入Ax0By0C中，判断Ax0By0CAx0By0C>0则可行域在包含点(x0，y0)的一侧，若Ax0By0C>0，则可行域在不包含点(x0，y0的一侧。最值解求最优解：观察图形，找出直线在可行域上的最值位置，给出答案。均值定理ab内容abab

ab2ab若a0，b0，则ab2 ab

，ab2a0,b0；2 2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．2xy都为正数，则有xys

则当

s2取得最大值 ．4p⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2 ．p【例1】设alog0.20.3，blog20.3则（ ）A.abab0C.ab0ab

B.abab0D.ab0ab【例2】若ab0，且ab1，则下列不等式成立的是（ ）a1bb 2a

log2

ab

b2a

log2

aba1bb 2

abb2a

aba1bb 2a4，xay2，则（ ）对任意实数aA对任意实数aA当且仅当a0Aa3A22x3y30【例4】设x，y满足约束条件2x3y30，则z2xy的最小值是（ ）A.15

B.9

0

C.1

9x2y50【例5】若x，y满足约束条件x2y30，则zxy的最大值为（ ） x506a，bR，且a3b602a（二）复数复数概念定义

18b的最小值为（ ）a+b１（a，bR）a为实部，b为虚部，１为虚数单位，且规定i21。 有理数bbi 无理数虚数（b0

非纯虚数（a0）z1a1b1iz2a2b2iz1z2a1a2且b1b2。若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数叫做共轭复数。即z=a+babizabi。zz对应复平面上的点关于实轴对称。a2b2设z=a+b１（其中a，bR），则复数z的模za2b2复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y实轴上的点都表示实数；除