吉林省长白县联考2022年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是（）

2.在函数y=3中，自变量X的取值范围是（）

X-1

A.x>lB.xWl且存0C.xNO且xrlD.xRO且对1

3.已知一次函数丫=1«+3和丫=1<仅+5,假设kVO且k1>0,则这两个一次函数的图像的交点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4,对于反比例函数y=-g下列说法不正确的是（）

A.图象分布在第二、四象限

B.当x>0时，y随x的增大而增大

C.图象经过点（1,-2）

D.若点A（xi,yi）,B（X2,yz）都在图象上，且xiVxz,则yiVyz

5.如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是（）

A・包BOC9DR

6.如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（）

7.如图，在△ABC中，ZACB=90°,CDLAB于点D,则图中相似三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

8.如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字-1,0,1,2.若转动转盘两

次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正

数的概率为（）

A.-B.-C.-

864

9.一、单选题

如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分另I］是NBAC、NABC的平分线，ZBAC=50°,ZABC=60°,则

D.90°

10.一,的绝对值是（）

4

1

A.-4B.-C.4D.0.4

4

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

12

11.方程<=—的解为.

2x%+3

12.分式工与士的最简公分母是___.

3a-ba2b

13.如图，若点A的坐标为（1,6）,贝11sin/1=.

14.四边形A5C。中，向量入豆+豆3+前=.

15.计算：-22+（-.

4

16.计算：。石的值是.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计

划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件.

（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500,则甲种服装最多购进多少件？

（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0<a<20）元的价格进行优惠促销活动，乙

种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？

18.（8分）已知RtAABC,NA=90o,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.

3BF

（1）如图1,当AB=AC,且sinZBEF=-时，求一的值；

5CF

（2）如图2,当tanNABC=L时,过D作DH_LAE于H,求&^区4的值；

2

（3汝口图3,连AD交BC于G,当FG2=BFCG时,求矩形BCDE的面积

19.（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,点B（3,0）,与y轴交于点

C,线段BC与抛物线的对称轴交于点E、P为线段BC上的一点（不与点B、C重合），过点P作PF〃y轴交抛物线

于点F,连结DF.设点P的横坐标为m.

(1)求此抛物线所对应的函数表达式.

(2)求PF的长度，用含m的代数式表示.

(3)当四边形PEDF为平行四边形时，求m的值.

20.(8分)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做

这个三角形的“等底”.

(1)概念理解：

如图1,在A48C中，AC=6,BC=3,NACB=30。，试判断AA5c是否是“等高底”三角形，请说明理由.

(1)问题探究：

如图1,△A8C是“等高底”三角形，8c是"等底”，作AA5C关于所在直线的对称图形得到AABC,连结4*交

直线8c于点立若点8是AAA，C的重心，求一匕的值.

BC

(3)应用拓展：

如图3,已知A与A之间的距离为1.“等高底”AASC的“等底”在直线A上，点A在直线上，有一边的

长是3c的0倍.将AA5C绕点C按顺时针方向旋转45。得到所在直线交于点Z).求的值.

3(x-l)<2x

21.(8分)解不等式组：,X1+x

<1

132

22.(10分)如图1,已知NDAC=90。，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合),

连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E.

(1)如图1,猜想NQEP=°；

(2)如图2,3,若当NDAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想NQEP的度数，选取一种情况加以证明；

(3)如图3,若NDAC=135。，ZACP=15°,且AC=4,求BQ的长.

23.(12分)计算：78+(-1)-'+U-V2|-4sin45°.

24.如图，AB是。O的直径，AC是。O的切线，BC与0O相交于点D,点E在。O上，且DE=DA,AE与BC交于

点F.

(1)求证：FD=CD；

(2)若AE=8,tanZE=,求。O的半径.

3

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

观察所给的几何体，根据三视图的定义即可解答.

【详解】

左视图有2列，每列小正方形数目分别为2,1.

故选A.

【点睛】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

2、C

【解析】

根据分式和二次根式有意义的条件进行计算即可.

【详解】

由题意得：也2且x-2黄2.解得：定2且"2.

故x的取值范围是x>2且今2.

故选C.

【点睛】

本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键.

3、B

【解析】

依题意在同一坐标系内画出图像即可判断.

【详解】

根据题意可作两函数图像，由图像知交点在第二象限，故选B.

【点睛】

此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是根据题意作出相应的图像.

4、D

【解析】

根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

A.*=-2<0,...它的图象在第二、四象限，故本选项正确；

B.*=-2<0,当x>0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；

C.V-^=一2,.,.点（1,-2）在它的图象上，故本选项正确；

D.若点A（X1,Ji）,B（X2,J2）都在图象上，，若X1<O<X2,则以勺1,故本选项错误.

故选:D.

【点睛】

考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键.

5、B

【解析】

将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案：

6、B

【解析】

解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4,母线长为5,圆锥底面圆的直径为6,所以圆锥的底面圆的

面积=nx(-)2=9n,圆锥的侧面积=1x5x；rx6=157r,所以圆锥的全面积=9兀+157r=24?r.故选B.

22

点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面

圆的周长.也考查了三视图.

7、C

【解析】

VZACB=90°,CDJLAB,

.,.△ABC<^AACD,

△ACDsCBD,

△ABCsCBD,

所以有三对相似三角形.

故选C.

8、C

【解析】

列表得,

120-1

1(1,1)(1,2)(1,())(1,-1)

2(2,1)(2,2)(2,0)(2,-1)

0(0,1)(0,2)(0,0)(0,-1)

-1(-1,1)(-1,2)(-1,0)(-1,-1)

41

由表格可知，总共有16种结果，两个数都为正数的结果有4种，所以两个数都为正数的概率为1r1故选C.

考点：用列表法（或树形图法）求概率.

9、A

【解析】

分析：依据AD是BC边上的高，ZABC=60°,即可得到NBAD=30。，依据NBAC=50。，AE平分NBAC,即可得到

NDAE=5。，再根据AABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,可得NEAD+NACD=75。.

详解：：AD是BC边上的高，NABC=60。，

.,.ZBAD=30°,

VZBAC=50o,AE平分NBAC,

二NBAE=25°,

.•.ZDAE=30o-25°=5°,

VAABC中，ZC=180°-ZABC-ZBAC=70°,

:.ZEAD+ZACD=5°+70°=75°,

故选A.

点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180。.解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义

的运用.

10、B

【解析】

分析：根据绝对值的性质，一个负数的绝对值等于其相反数，可有相反数的意义求解.

详解：因为的相反数为L

44

所以的绝对值为

44

故选：B

点睛：此题主要考查了求一个数的绝对值，关键是明确绝对值的性质，一个正数的绝对值等于本身，0的绝对值是0,

一个负数的绝对值为其相反数.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、x=l

【解析】

两边同时乘2x(x+3),得到整式方程，解整式方程后进行检验即可.

【详解】

解：两边同时乘2x(x+3),得

x+3=4x,

解得x=l，

检验：当x=l时，2x(x+3)/),

所以x=l是原分式方程的根,

故答案为：x=l.

【点睛】

本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

12、3a2b

【解析】

利用取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幕的积作公分母求解即可.

【详解】

分式-7与'-的最简公分母是3a2从故答案为3a2b.

3a~ba~b

【点睛】

本题考查最简公分母，解题的关键是掌握求最简公分母的方法.

13、

【解析】

根据勾股定理，可得OA的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案.

【详解】

如图，由勾股定理，得：3/加+3=1.sinZl=—=故答案为且.

0A22

14、AD

【解析】

分析：

根据“向量运算”的三角形法则进行计算即可.

详解：

如下图所示，由向量运算的三角形法则可得:

AB+BC+CD

=AC+CD

uuur

=AD-

故答案为AD.

点睛：理解向量运算的三角形法则是正确解答本题的关键.

15、1

【解析】

解：原式=-4X(-4)=1.故答案为1.

16、-1

【解析】

解：V-64=-1.故答案为：一1.

三、解答题(共8题，共72分)

17,(1)甲种服装最多购进75件，(2)见解析.

【解析】

(1)设甲种服装购进x件，则乙种服装购进(100-x)件，然后根据购进这100件服装的费用不得超过7500元，列出

不等式解答即可；

(2)首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案.

【详解】

(1)设购进甲种服装x件，由题意可知：80x+60(100-x)<7500,解得在75

答：甲种服装最多购进75件，

(2)设总利润为W元，

W=(120-80-a)x+(90-60)(100-x)

即w=(10-a)x+1.

①当0<aV10时，10-a>0,W随x增大而增大，

...当x=75时，W有最大值，即此时购进甲种服装75件，乙种服装25件；

②当a=10时，所以按哪种方案进货都可以；

③当10Va<20时，10-a<0,W随x增大而减小.

当x=65时，W有最大值，即此时购进甲种服装65件，乙种服装35件.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用，以及一次函数的性质，正确利用x表示出利润是关键.

18、(1)-；(2)80；(3)100.

7

【解析】

3FK3BF1

⑴过A作AKL8C于K,根据sinNBEF==得出——=一,设产仁3即4仁5”,可求得B尸=a,故一=一；(2)过4作

5AK5CF7

于K,延长AK交EQ于G,则AG_LE£>,得A利用相似三角形的性质即可求出；(3)延长48、

ED交于K,延长AC.ED交于7,根据相似三角形的性质可求出BE=ED,故可求出矩形的面积.

【详解】

解：⑴过4作AKJ_BC于K,

33

VsinZBEF=-,sinZFAK=-,

55

.FK3

■•-----------=19

AK5

设FK=3aAK=5a,

：.AK=4a,

VAB=AC,ZBAC=90°,

：.BK=CK=4a,

：.BF=a,

又・.・CF=7〃,

BF1

:.——=-

CF7

⑵过A作AKLBC于K,延长AK交E&于G,则AG±ED,

■:ZAGE=ZDHE=90°,

:AEGAs4EHD,

EHED

~EG~~EA

:・EHEA=EGED,其中EG=BK,

VBC=10,tanZABC=p

2

cosNABC=~

V5

20

：.BA=BC-cosZABC=-^,

202。

BK=BA-cosZABC=^x^=8

，£G=8,

另一方面：ED=BC=1^

：.EH-EA=80

(3)延长AB.ED交于K,延长AC、ED交于T,

BFAFFG

'：BC//KT,——=——=——,

KEAEED

BFKEbeFGED

••一,向理：---=----

FGDECGDT

BFFG

'：FG2=BFCG.•一9

FGCG

KEED

：.ED2=KEDT

DEDT

„“KECD

又：AAKEB^^CDT,：.——=——，

BEDT

：.KEDT=BE2,：.BE2=ED2

：.BE=ED

'•S矩形SCDE=10X1O=100

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.

19、(1)y=-x2+2x+l；(2)-m2+lm.(1)2.

【解析】

(1)根据待定系数法，可得函数解析式;

(2)根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减

较的纵坐标，可得答案;

(1)根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减

较的纵坐标，可得DE的长，根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值.

【详解】

解：(1)..,点A(-1,0),点B(1,0)在抛物线y=-x2+bx+c上,

-l+/7+c=0b=2

，解得'

-9+3b+c=Qc=3

2

此抛物线所对应的函数表达式y=-x+2x+l;

(2)•..此抛物线所对应的函数表达式y=-x2+2x+l,

AC(0,1).

设BC所在的直线的函数解析式为y=kx+b,将B、C点的坐标代入函数解析式，得

3k+b=0k=—1

,解叫=3

b=3

即BC的函数解析式为y=-x+l.

由P在BC上，F在抛物线上，得

P(m,-m+1),F(m,-m2+2m+l).

PF=-m2+2m+l-(-m+1)=-m2+lm.

(1)如图

2

•.•此抛物线所对应的函数表达式y=-x+2X+l,

AD(1,4).

•.•线段BC与抛物线的对称轴交于点E,

当x=l时，y=-x+l=2,

AE(1,2),

/.DE=4-2=2.

由四边形PEDF为平行四边形，得

PF=DE,BP-m2+lm=2,

解得mi=l,m2=2.

当m=l时，线段PF与DE重合，m=l(不符合题意，舍).

当m=2时，四边形PEDF为平行四边形.

考点：二次函数综合题.

20、(1)△ABC是“等高底”三角形；(1)叵;(3)CD的值为2何，10,1.

23

【解析】

(1)过A作AO_L5C于。，则AAOC是直角三角形，ZADC=90°,根据30。所对的直角边等于斜边的一半可得:

A£>=-AC=3,根据“等高底”三角形的概念即可判断.

2

(1)点B是A/VVC的重心，得到=设=则AD=3C=2x,CD=3x,

根据勾股定理可得AC=叵,即可求出它们的比值.

(3)分两种情况进行讨论:①当AB=OBC时和②当AC=y[2BC时.

【详解】

(1)△A3C是“等高底”三角形；

理由：如图1,过A作AOJLBC于O,则AAOC是直角三角形，NAOC=90。，

AD=-AC^3,

2

：.AD=BC=3,

即^ABC是“等高底”三角形；

(1)如图1,,.,△ABC是“等高底”三角形，5c是“等底”,

AD=BC,

•••△ABC关于3c所在直线的对称图形是AA'BC,

二ZADC=90°,

•点8是△A4'C的重心，

...BC=2BD,

设BD=为则AD=BC=2x9CD=3%,

由勾股定理得AC=Jilr,

.ACV13xV13

••-----------------------.

BC2x2

(3)①当=时，

I.如图3,作AE_LBC于E,DFYACTF,

••,“等高底”A45C的“等底”为5C,人与/i之间的距离为1,AB=V2SC.

•••BC=AE=2,AB=25

：.BE=1,即EC=4,

二AC=2非,

•••△ABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到△A'B'C,

：.ZDCF=45°,

设。尸=CF=x,

VZi/ZZi,

:.ZACE=NDAF,

DFAE1…八

•----=----=—,即AF=2x,

AFCE2

二AC=3x=2底

.•.x=2技。。=缶=2而，

33

n.如图4,此时△ABC等腰直角三角形，

图4

V△ABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到△4'B'C,

•••AACD是等腰直角三角形，

:.CD=RC=2E

②当AC=J^BC时，

I.如图5,此时AABC是等腰直角三角形，

图5

•.•△ABC绕点C按顺时针方向旋转45。得到△89,

:.A'Cl/p

CD=AB=BC=2；

II.如图6,作AEL8C于E,则AE=BC,

图6

,AC=y[2BC=后AE,

二ZACE=45。，

.♦.△48C绕点C按顺时针方向旋转45。，得到△A'B'C时，点”在直线/i上，

AA'C//h,即直线A'C与/i无交点，

综上所述，C。的值为：厢,20,2.

【点睛】

属于新定义问题，考查对与等底高三角形概念的理解，勾股定理，等腰直角三角形的性质等，掌握等底高三角形的性

质是解题的关键.

21、-9<x<l.

【解析】

先求每一个不等式的解集，然后找出它们的公共部分，即可得出答案.

【详解】

解不等式1(x-1)<2x,得：x<l,

解不等式名-妻<1，得：x>-9,

则原不等式组的解集为-9<x<l.

【点睛】

此题考查了解一元一次不等式组，用到的知识点是解一元一次不等式组的步骤，关键是找出两个不等式解集的公共部

分.

22、(1)ZQEP=60°；(2)NQEP=60。，证明详见解析；(3)3。=2后一20

【解析】

(1)如图1,先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出NPCA=NQCB,进而可利用SAS证明△CQ8g△CR1,进

而得再在△PEM和△CQM中利用三角形的内角和定理即可求得N0EP=NQCP,从而完成猜想；

(2)以NZMC是锐角为例，如图2,仿(1)的证明思路利用SAS证明△ACPgaBC。，可得NAPC=NQ,进一步即

可证得结论；

(3)仿(2)可证明AACP名△3CQ,于是AP=8Q,再求出4尸的长即可，作C//J_AO于如图3,易证NAPC=30。,

△AS为等腰直角三角形，由AC=4可求得5、的长，于是A尸可得，问题即得解决.

【详解】

解：(l)NQE460。；

证明：连接尸。，如图1,由题意得：PC=CQ,且NPCQ=60。，

丫△ABC是等边三角形，/.ZACB=60°,；.NPCA=NQCB,

则在△CR1和ACQB中，

,PC=QC

<ZPCA=ZQCB,

AC^BC

：.△C。蛇△C7!4(SAS),

：.ZCQB=ZCPA,

又因为△PEM和小CQM中，ZEMP=ZCMQ,

二ZQEP=ZQCP=6Q°.

故答案为6()；

⑵NQEP=60。.以NDAC是锐角为例.

证明：如图2,•••△A5C是等边三角形，

：.AC=BC,NAC5=60。，

•.•线段CP绕点C顺时针旋转60。得到线段CQ,

：.CP=CQ,NPCQ=60°,

:.NACB+NBCP=NBCP+NPCQ,

即NACP=NBCQ,

在△4"和4BCQ中，

CA=CB

<ZACP=ZBCQ,

CP=CQ

：.△ACPg△BCQ(SAS),

：.ZAPC=ZQ,

VZ1=Z2,

NQEP=NPCQ=6Q°；

(3)连结C。，作C"J_A。于〃，如图3,

与(2)一样可证明△ACPgZiBC。，：,AP=BQ,

VZDAC=135°,ZACP=15°,

：.ZAPC=30°,