几何与代数课件

幾何空間中的向量

向量及其線性運算向量的基本概念向量的線性運算向量的共線與共面小結與思考題1.2向量及其線性運算一、向量的基本概念向量(Vector):既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模(norm)：向量的大小.單位向量：或或或數量(Scalar):既有大小沒有方向的量.自由向量：不考慮起點位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標系中任一點

與原點構成的向量.[1]加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）

二、向量的線性運算向量的加法符合下列運算規律：（1）交換律：（2）結合律：[2]減法（3）零向量性質：（4）負向量性質：[3]數乘數與向量的乘積符合下列運算規律：（2）結合律：（3）分配律：（1）1的數乘：

三、向量的共線與共面定義1-8

如果若干個向量平行於同一個平面，則稱它們共面（complanar）。注：零向量可以認為與任何線或共面。證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得按照向量與數的乘積的規定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是一個與原向量同方向的單位向量.例1-7

化簡解例1-8

試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結論得證.

向量的基本概念向量的線性運算向量的共線與共面

四、小結思考題已知平行四邊形ABCD的對角線試用表示平行四邊形四邊上對應的向量.思考題解答練習題練習題答案幾何空間中的向量第三節空間坐標系仿射坐標系空間直角坐標系向量運算的座標表示向量在軸上的投影1.3空間坐標系一、仿射坐標系證明：略（也可仿照上一節推論1-2）注：1.三個不共面的向量就足以表示空間中的所有其他向量。

2.對於選定的三個不共面的向量，沒有要求它們一定互相垂直。定義1-9注：取定仿射坐標系後，幾何空間的向量與3元有序組是一一對應的。定義1-10注：在仿射坐標系下，點的座標依賴於座標原點O的位置，而向量的座標與原點O的位置無關。2)3個坐標軸Ox，Oy，Oz決定了3個座標平面xOy，

yOz，zOx，稱為座標平面；座標平面將空間分成8個部分，稱為8個卦限(octant)

卦限座標IⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx＋－－＋＋－－＋y＋＋－－＋＋－－z＋＋＋＋－－－－點的座標的符號規定關於坐標系的方向，通常採用右手仿射坐標系，簡稱右手系(right-handedsystem).右手系拇指食指中指拇指食指中指左手系橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標系

三個坐標軸的正方向符合右手系.二、空間直角坐標系Ⅶ面面面空間直角坐標系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間的點有序數組特殊點的表示:坐標軸上的點座標面上的點空間上兩點間距離公式空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為解：原結論成立.解設P點座標為所求點為空間兩向量的夾角的概念：類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規定它們的夾角可在0與之間任意取值.三、向量的座標表示式四、向量在軸上的投影證於是空間一點在軸上的投影空間一向量在軸上的投影關於向量的投影定理（1）證定理1的說明：投影為正；投影為負；投影為零；(4)

相等向量在同一軸上投影相等；關於向量的投影定理（2）（可推廣到有限多個）向量在坐標軸上的分向量表示由例1知

向量在

軸上的投影

向量在

軸上的投影

向量在

軸上的投影按基本單位向量的座標分解式：在三個坐標軸上的分向量：向量的座標：向量的座標運算式：特殊地：向量的加減法、向量與數的乘法運算的座標運算式解設為直線上的點，由題意知：解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或解幾何空間中的向量第四節向量的積向量的數量積向量積混合積小結與思考題1.4向量的數量積、向量積與混合積一、向量的數量積啟示實例兩向量作這樣的運算,結果是一個數量.定義數量積也稱為“點積”、“內積”.結論兩向量的數量積等於其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積.關於數量積的說明：證證數量積符合下列運算規律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數：若、為數：設數量積的座標運算式兩向量夾角余弦的座標表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為解證實例二、兩向量的向量積定義關於向量積的說明：//向量積也稱為“叉積”、“外積”.向量積符合下列運算規律：（1）（2）分配律：（3）若為數：證////設向量積的座標運算式向量積還可用三階行列式表示//由上式可推出補充例如，解解三角形ABC的面積為解定義設混合積的座標運算式三、向量的混合積（1）向量混合積的幾何意義：關於混合積的說明：解例6解式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致.向量的數量積向量的向量積向量的混合積（結果是一個數量）（結果是一個向量）（結果是一個數量）（注意共線、共面的條件）四、小結思考題思考題解答練習題練習題答案幾何空間中的向量第五節平面的方程平面方程兩平面的位置關係兩平面的夾角小結1.5平面的方程一、平面方程

如果一非零向量垂直於一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．法線向量的特徵：垂直於平面內的任一向量．已知設平面上的任一點為必有1.點法式方程平面的點法式方程

平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形．其中法向量已知點解取所求平面方程為化簡得取法向量化簡得所求平面方程為解2.一般式方程由平面的點法式方程平面的一般方程法向量平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過座標原點；平面通過軸；平面平行於軸；平面平行於座標面；類似地可討論情形.類似地可討論情形.設平面為由平面過原點知所求平面方程為解設平面為將三點座標代入得解將代入所設方程得平面的截距式方程設平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解化簡得令代入體積式所求平面方程為3.三點式方程設空間3個不共線的點4.截距式方程定理二、兩平面的位置關係定義（通常取銳角）兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角.三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有兩平面夾角余弦公式兩平面位置特徵：//例6

研究以下各組裏兩平面的位置關係：解兩平面相交，夾角兩平面平行兩平面平行但不重合．兩平面平行兩平面重合.解點到平面距離公式平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角.點到平面的距離公式.點法式方程.一般方程.截距式方程.（注意兩平面的位置特徵）小結思考題思考題解答練習題練習題答案幾何空間中的向量

直線方程兩直線的位置關係直線與平面的位置關係線線夾角與線面夾角點線距離與線面距離第六節空間直線及其方程空間直線及其方程一、直線方程1.一般式方程定義空間直線可看成兩平面的交線．空間直線的一般方程方向向量的定義：

如果一非零向量平行於一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量．//2.空間直線的對稱式方程與參數方程直線的對稱式方程令直線的一組方向數方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.直線的參數方程例1

用對稱式方程及參數方程表示直線解在直線上任取一點取解得點座標因所求直線與兩平面的法向量都垂直取對稱式方程參數方程解所以交點為取所求直線方程二、兩直線的位置關係//直線直線例如，定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）兩直線的夾角公式二兩直線的夾角解設所求直線的方向向量為根據題意知取所求直線的方程解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點N,令代入平面方程得,交點取所求直線的方向向量為所求直線方程為定義直線和它在平面上的投影直線的夾角