高一数学寒假讲义（新人教A专用）【预习】第06讲 平面向量的概念（教师卷）

第06讲平面向量的概念【学习目标】1、了解向量的实际背景和概念．2、清楚向量的几何表示．3、区分相等向量与共线向量．【考点目录】考点一：向量的基本概念考点二：向量的表示方法考点三：利用向量相等或共线进行证明考点四：向量知识在实际问题中的简单应用【基础知识】知识点一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．知识点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．知识点二：向量的表示法1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．知识点三：向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．知识点诠释：（1）向量的模．（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量．知识点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．知识点诠释：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．知识点四：向量的共线或平行方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．规定：与任一向量共线．知识点诠释：1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．【考点剖析】考点一：向量的基本概念例1．给出如下命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量与平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】①若，则，故错误；②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；故选：A例3．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】解：因为，则向量互为相反向量，所以，故①正确；因为向量不能比较大小，故②错误；若，则向量方向相同，故③正确；当时，向量的方向不能确定，故④错误.所以正确命题的个数是2个.故选：C.考点二：向量的表示方法例4．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，（1）与向量相等的向量；（2）与向量共线的向量；（3）与向量平行的向量.【解析】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.例5．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量．（1）试以B为起点画一个向量，使；（2）画一个以C为起点的向量，使||＝2，并说出的终点的轨迹是什么．【解析】（1）根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．考点三：利用向量相等或共线进行证明例6．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．求证：四边形ABCD是平行四边形．【解析】因为四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，且，．所以四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形．即证.例7．在平行四边形中，E，F分别是，的中点，如图所示.（1）写出与向量共线的向量；（2）求证:.【解析】（1）根据题意，与向量共线的向量为：，，.（2）∵ABCD是平行四边形，，，且E，F分别为边CD，AB的中点，∴BF＝ED，且BF∥ED，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝FD，且BE∥FD，∴．考点四：向量知识在实际问题中的简单应用例8．一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．（1）试作出向量；（2）求．【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，向量即为所求．（2）根据题意，向量与方向相反，故向量，又，∴在中，，故为平行四边形，∴，则（海里）．例9．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.【解析】（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即.（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为.由于，故方向约为北偏东53°.【真题演练】1．（2023·黑龙江·齐齐哈尔三立高级中学有限公司高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（

）A．质量 B．功 C．温度 D．力【答案】D【解析】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误，力既有大小又有方向，是向量，故D正确，故选：D．2．（2023·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．单位向量都相等 B．相等向量一定是共线向量C．若，则 D．任意向量的模都是正数【答案】B【解析】对于A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故A错误；对于B，相等向量一定是共线向量，故B正确；对于C，若，，而与不一定平行，故C错误；对于D，零向量的模长是，故D错误．故选：B.3．（2023·山东东营·高一期中）设点是正三角形的中心，则向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起点的向量 D．共线向量【答案】B【解析】如图：因为是正的中心，所以为外接圆的半径，所以向量，，是模相等的向量，但方向不同.故选：B.4．（2023·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若与同向，且，则>；④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．其中假命题的个数为（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；②正确．∵＝，∴||＝||且；又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形．反之，若四边形是平行四边形，则且与方向相同，因此＝；③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当时，与可以为任意向量，满足λ＝μ，但与不一定共线．故选：.5．（多选题）（2023·吉林·延边第一中学高一期中）下列说法正确的是（

）A．与是非零向量，则与同向是的必要不充分条件B．是互不重合的三点，若与共线，则三点在同一条直线上C．与是非零向量，若与同向，则与反向D．设为实数，若，则与共线【答案】ABC【解析】与同向，但不一定与相等，，若，则与同向，且有=，与同向是的必要不充分条件，A正确.与共线，则有=，故一定有三点在同一条直线上，B正确.与同向，则与反向，C正确.时，与不一定共线，D错误.故选：ABC6．（2023·全国·高一课时练习）下列各量中，是向量的是___________.（填序号）①密度；②体积；③重力；④质量.【答案】③【解析】向量指具有大小和方向的量.①②④仅有大小，没有方向；③既有大小又有方向.故答案为：③.7．（2023·全国·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：.【答案】(1)，，；(2)证明见解析.【分析】根据条件，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量；根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论.（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，所以四边形为平行四边形，所以.所以与向量共线的向量为：，，.（2）证明：在平行四边形中，，.因为，分别是，的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，，故.8．（2023·全国·高一课时练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量，使；(2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？【解析】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等．图如下所示：（2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．【过关检测】一、单选题1．（2023·陕西·渭南高级中学高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则存在唯一实数使得C．若，，则D．与非零向量共线的单位向量为【答案】D【解析】若，则或，所以选项A错误；若，此时不存在，选项B错误；若，由，，不一定得到，选项C不正确；由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.故选：D.2．（2023·陕西师大附中高一期中）下列命题正确的是（

）A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意向量共线【答案】D【解析】对于A：模为的向量叫做单位向量，但是单位向量不一定相等，因为方向不一定相同，故A错误；对于B：零向量的相反向量依然是零向量，零向量相等，故B错误；对于C：平行向量即共线向量，故C错误；对于D：模为的向量叫零向量，零向量和任意向量共线，故D正确；故选：D3．（2023·全国·高一课时练习）给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】对①：零向量的方向是任意的，故①错误；对②：零向量的长度为0，故②正确；对③：零向量的方向是任意的，故③正确；对④：单位向量的模都等于1，故④正确.故选：C.4．（2023·全国·高一课时练习）若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式：①；②﹔③；④.其中正确的是（

）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③【答案】B【解析】对于①，的大小不能确定；对于②，两个非零向量的方向不确定；对于④，向量的模是一个非负实数，只有③正确．故选：B．5．（2023·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD是等腰梯形，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，四边形ABCD是等腰梯形得，且，，所以选项A错误，选项B正确，又向量不能比较大小，所以选项C、D错误，故选：B.6．（2023·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（

）A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同D．若与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上【答案】A【解析】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确；两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误；两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误；与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误.故选：A7．（2023·全国·高一课时练习）下列结论中，正确的是（

）A．长的有向线段不可能表示单位向量B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移【答案】B【解析】一个单位长度取时，长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；根据单位向量的知识可知，B选项正确；方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，所以两向量为共线向量，故C错误；根据位移的定义可知，向量表示这个人从A点到B点的位移，所以D错误.故选：B8．（2023·陕西渭南·高一期末）设是单位向量，，，，则四边形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【解析】因为，，所以，即，，所以四边形是平行四边形，因为，即，所以四边形是菱形.故选：B二、多选题9．（2023·广西贺州·高一期末）以下选项中，能使成立的条件有（

）A． B．或C． D．与都是单位向量【答案】BC【解析】对于A、D：不妨取分别为x、y轴上的单位向量，满足“”，满足“与都是单位向量”，但是不成立.故A、D错误；对于B：由零向量与任何向量平行，可知或时，.故B正确；对于C：因为，所以.故C正确.故选：BC10．（2023·全国·高一课时练习）下面的命题正确的有（

）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若，满足且与同向，则D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”【答案】AD【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.11．（2023·黑龙江·大庆中学高一阶段练习）下列叙述中错误的是（

）A．若，则B．若，则与方的方向相同或相反C．若且，，则D．对任一向量，是一个单位向量【答案】ABD【解析】对于A，向量不能比较大小，A错误；对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，因为不为零向量，所以与是共线向量，故C正确；对于D，当时，无意义，故D错误.故选：ABD12．（2023·全国·高一单元测试）下列说法中正确的是（

）A．若为单位向量，则 B．若与共线，则或C．若，则 D．是与非零向量共线的单位向量【答案】CD【解析】对于A中，向量的方向不一定相同，所以A错误；对于B中，向量与的长度不一定相等，所以B错误；对于C中，由，根据零向量的定义，可得，所以C正确；对于D中，由，可得与向量同向，又由的模等于，所以是与非零向量共线的单位向量，所以D正确.故选：CD.三、填空题13．（2023·陕西渭南·高一期末）若为任一非零向量，为单位向量，给出下列说法：①；

②；③；

④；⑤若是与同向的单位向量，则.其中正确的说法有______个.【答案】1【解析】由题意知，，对①，当时，，不一定有，故①错误；对②，与方向不一定相同或相反，所以与不一定平行，故②错误；对③，非零向量的模必大于0，即，故③正确；对④，向量的模非负，故④错误；对⑤，与方向不一定相同，所以与方向不一定相同，故⑤错误.综上可知，只有③正确，正确的说法只有1个.故答案为：114．（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是__________（写序号）．①若与共线，则点A、B、C、D共线；②四边形为平行四边形，则；③若，则；④四边形中，，则四边形为正方形．【答案】③【解析】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边；②若四边形为平行四边形，则，不正确；③若，，则，正确；④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确；故答案为：③.15．（2023·全国·高一课时练习）已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则___________.【答案】【解析】由题设，圆O的半径为1，又，如下图示：在中，，，所以.故答案为：16．（2023·全国·高一课时练习）“”是“A，B，C，D四点共线”的________条件．【答案】必要不充分【解析】当时，直线AB与CD的位置关系有可能是平行或共线，当二者平行时A，B，C，D四个点分别位于两条平行线上而不是四点共线，则“”无法推出“A，B，C，D四点共线”；当A，B，C，D四点共线时，直线AB与CD的位置关系为重合，此时，，则“A，B，C，D四点共线”可以推出“”，因此“”是“A，B，C，D四点共线”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分.四、解答题17．（20