江西省南康区重点达标名校2022年中考数学五模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.已知Xi,X2是关于X的方程x?+bx-3=0的两根，且满足X1+X2-3XIX2=5,那么b的值为（〉

A.4B.-4C.3D.-3

2.下列计算正确的是（）

A.（a2）3=a6B.a2»a3=a6C.a3+a4=a7D.（ab）3=ab3

3.如图所示，数轴上两点A,B分别表示实数a,b,则下列四个数中最大的一个数是（）

-101

4.某车间20名工人日加工零件数如表所示:

日加工零件

45678

数

人数26543

这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（）

A.5、6、5B.5、5、6C.6、5、6D.5、6、6

5.如图，已知N4O5=70。，OC平分NAOS,DC//OB,则NC为（）

A.20°B.35°C.45°D.70°

6.如图，二次函数y=ax?+bx+c（a#0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（-1,0）.下列结论：①abVO,

@b2>4a,③0<a+b+c<2,®0<b<L⑤当x>-1时，y>0,其中正确结论的个数是

C.3个D.2个

7.在平面直角坐标系中，将点P（-4,2）绕原点O顺时针旋转90。，则其对应点Q的坐标为（)

A.(2,4)B.(2,-4)C.(-2,4)D.(-2,-4)

8.舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表

示为（）

A.4.995X10UB.49.95x10'°

C.0.4995x10"D.4.995X1O10

9.为喜迎党的十九大召开，乐陵某中学剪纸社团进行了剪纸大赛，下列作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是

()

4a先2・九4

10.为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（）

A.80B.被抽取的80名初三学生

C.被抽取的80名初三学生的体重I）.该校初三学生的体重

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，中，NACB=90。，ZB=3O。，AC=2,将△A6C绕点C逆时针旋转至VA'B'C,使得点A'

恰好落在AB上，4必，与3。交于点。，则△A'C。的面积为.

B'

12.从一副54张的扑克牌中随机抽取一张，它是K的概率为

13.某中学数学教研组有25名教师，将他们分成三组，在38~45（岁）组内有8名教师，那么这个小组的频率是。

14.已知点A,B的坐标分别为（-2,3）、（1,-2）,将线段AB平移，得到线段A，B。其中点A与点A，对应，点

B与点B，对应，若点A，的坐标为（2,-3）,则点B，的坐标为.

15.在平面直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为2.写出一个符合条件的点P的坐标

16.二次根式中字母x的取值范围是.

17.对角线互相平分且相等的四边形是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于

点F,连接CF,

）A二，B

（1）求证：AF=DC；

（2）若ABJ_AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

19.（5分）观察下列各个等式的规律：

第一个等式：-=1,第二个等式：'-T=2,第三个等式：~=3...

222

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：直接写出第四个等式；猜想第〃个等式（用〃的代数式表示），并证明你

猜想的等式是正确的.

20.（8分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元.在该产品的试

销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销

售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低

于2800元.商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？设商家一次购买这种产品x件，开发公司所

获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围该公司的销售人员发现：当商

家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为

使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）

21.（10分）（1）观察猜想

如图①点B、A、C在同一条直线上，DB_LBC,ECJ_BC且NDAE=90。，AD=AE,贝（IBC、BD、CE之间的数量关系

为;

(2)问题解决

如图②，在RtAABC中，ZABC=90°,CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰RtADAC,连结BD,求BD的长;

(3)拓展延伸

22.(10分)已知：如图所示，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(3,0)

(1)求抛物线的表达式；

(2)设点P在该抛物线上滑动，且满足条件SAPAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标.

23.(12分)化简：(x+7)(x—6)—(x—2)(x+1)

24.(14分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量》(件)与

销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示.

y（件）

(1)求)'与X之间的函数关系式；

(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低

于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、A

【解析】

根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解.

【详解】

Vxi,X2是关于X的方程x?+bx-3=0的两根，

.*.X1+X2=-b,X1X2=-3,

/.Xi+X2-3XIX2=-b+9=5,

解得b=4.

故选A.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)，

韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a,0)有两个实数根X"X2,那么xi+x?=xix2=_.

2、A

【解析】

分析：根据幕的乘方、同底数幕的乘法、积的乘方公式即可得出答案.

详解：A、幕的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式计算正确；B、同底数幕的乘法，底数不变，指数相加，原式=标，

故错误；C、不是同类项，无法进行加法计算；D、积的乘方等于乘方的积，原式=/。3,计算错误；故选A.

点睛：本题主要考查的是塞的乘方、同底数幕的乘法、积的乘方计算法则，属于基础题型.理解各种计算法则是解题

的关键.

3、D

【解析】

•负数小于正数，在(0,I)上的实数的倒数比实数本身大.

/•一VaVbV—)

ab

故选D.

4、D

【解析】

5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；

把这些数从小到大排列，中位数是第10,11个数的平均数，则中位数是(6+6)+2=6；

平均数是：(4x24-5x6+6x5+7x4+8x3)+20=6；

故答案选D.

5、B

【解析】

解：:OC平分NAOB,ZAOC=ZBOC=-ZAOB=35°,,:CD"OB,:.NBOC=NC=35°,故选B.

2

6、B

【解析】

解：,二次函数y=ax3+bx+c(a#3)过点(3,3)和(-3,3),

.*.c=3,a-b+c=3.

①•.•抛物线的对称轴在y轴右侧，

b

..x=-----,x>3.

2a

，a与b异号.

/.ab<3,正确.

②•••抛物线与x轴有两个不同的交点，

Ab3-4ac>3.

Vc=3,

/.bJ-4a>3,即b3>4a.正确.

④•••抛物线开口向下，.••aV3.

Vab<3,.*.b>3.

Va-b+c=3,c=3,/.a=b-3./.b-3<3,即bV3..\3<b<3,正确.

@Va-b+c=3,.*.a+c=b.

,*.a+b+c=3b>3.

Vb<3,c=3,a<3,

:.a+b+c=a+b+3<a+3+3=a+3<3+3=3.

/.3<a+b+c<3,正确.

⑤抛物线y=ax3+bx+c与x轴的一个交点为(-3,3),设另一个交点为(x3,3),则X3>3,

由图可知，当-3VxVx3时，y>3；当x>X3时，y<3.

.•.当x>-3时，y>3的结论错误.

综上所述，正确的结论有①②③④.故选B.

7、A

【解析】

首先求出NMPO=NQON,利用AAS证明△PMO丝ZkONQ,即可得到PM=ON,OM=QN,进而求出Q点坐标.

【详解】

VZMPO+ZPOM=90°,ZQON+ZPOM=90°,

...NMPO=NQON,

在4「肘10和4ONQ中，

ZPMO=NONQ

•：{ZMPO=ZNOQ,

PO=OQ

AAPMO^AONQ,

.,.PM=ON,OM=QN,

点坐标为(-4,2),

；.Q点坐标为(2,4),

故选A.

【点睛】

此题主要考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握旋转后对应线段相等.

8、D

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中10a|VlO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值21时，n是非负数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【详解】

将499.5亿用科学记数法表示为：4.995x1.

故选D.

【点睛】

此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中is|a|V10,n为整数，表示时关键

要正确确定a的值以及n的值.

9、C

【解析】

根据轴对称和中心对称的定义去判断即可得出正确答案.

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查的是轴对称和中心对称的知识点，解题关键在于对知识点的理解和把握.

10、C

【解析】

总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则

是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象.从而找出

总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量.

【详解】

样本是被抽取的80名初三学生的体重，

故选C.

【点睛】

此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象.总

体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、也

2

【解析】

首先证明△CAA，是等边三角形，再证明△ADC是直角三角形，在RtAADC中利用含30度的直角三角形三边的关

系求出CD、A，D即可解决问题.

【详解】

在RSACB中，ZACB=90°,ZB=30°,

,ZA=60°,

VAABC绕点C逆时针旋转至△A'B'C,使得点A，恰好落在AB上，

.,.CA=CA=2,NCA'B'=NA=60°,

...△CAA，为等边三角形，

二NACA，=60。，

二ZBCA^ZACB-ZACA,=90°-60°=30°,

ZA,DC=180°-ZCA,B,-ZBCA,=90°,

在RtAADC中，,:ZArCD=30°,

.♦.A，D=；CA，=1,CD=V3AfD=V3»

•••S；cD=gcD-A'D=gx6xT=^.

故答案为：昱

2

【点睛】

本题考查了含30度的直角三角形三边的关系，等边三角形的判定和性质以及旋转的性质，掌握旋转的性质“对应点到

旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等”是解题的关键.

2

12、—

27

【解析】

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.

【详解】

一副扑克牌共有54张，其中只有4张K,

42

二从一副扑克牌中随机抽出一张牌，得到K的概率是京=药，

故答案为：卷2.

27

【点睛】

此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么

事件A的概率P（A）=—.

n

13、0.1

【解析】

频数

根据频率的求法：频率=,即可求解.

数据总和

【详解】

解：根据题意，38-45岁组内的教师有8名,

即频数为8,而总数为25；

Q

故这个小组的频率是为—=0.1;

25

故答案为0.1.

【点睛】

频数

本题考查频率、频数的关系，属于基础题，关键是掌握频率的求法：频率=

数据总和

14、（5,-8）

【解析】

各对应点之间的关系是横坐标加4,纵坐标减6,那么让点B的横坐标加4,纵坐标减6即为点B，的坐标.

【详解】

由A（-2,3）的对应点A，的坐标为（2,-13）,

坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加4,纵坐标减6,

•••点B，的横坐标为1+4=5；纵坐标为26=-8；

即所求点B，的坐标为（5,-8）.

故答案为（5,-8）

【点睛】

此题主要考查了坐标与图形的变化-平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律.

15、（2,1）,（2,-1）,（-2,1）,（-2,-1）（写出一个即可）

【解析】

【分析】根据点到X轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离即点的横坐标的绝对值，进行求解即可.

【详解】设P(x,y),

根据题意，得

|x|=2,|y|=l,

即x=±2,y=±l,

则点P的坐标有(2,D,(2,-1),(-2,1),(2,-1),

故答案为：(2,1),(2,-1),(-2,1),(2,-1)(写出一个即可).

【点睛】本题考查了点的坐标和点到坐标轴的距离之间的关系.熟知点到x轴的距离即点的纵坐标的绝对值，点到y

轴的距离即点的横坐标的绝对值是解题的关键.

16、x<l

【解析】

二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解.

【详解】

根据题意得：1-xK),

解得x<l.

故答案为：x<l

【点睛】

主要考查了二次根式的意义和性质.性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.

17、B

【解析】

根据平行四边形的判定与矩形的判定定理，即可求得答案.

【详解】

•••对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，

二对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形.

故选B.

【点睛】

此题考查了平行四边形，矩形，菱形以及等腰梯形的判定定理.此题比较简单，解题的关键是熟记定理.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)根据AAS证AAFEgZkDBE,推出AF=BD,即可得出答案.

(2)得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD,根据菱形的判定推出即可.

【详解】

解：(1)证明：VAF/7BC,

二ZAFE=ZDBE.

TE是AD的中点，AD是BC边上的中线，

，AE=DE,BD=CD.

在4AFE^OADBE中，

VZAFE=ZDBE,NFEA=NBED,AE=DE,

/.△AFE^ADBE(AAS)

，AF=BD.

.•.AF=DC.

(2)四边形ADCF是菱形，证明如下：

VAF/7BC,AF=DC,

二四边形ADCF是平行四边形.

VAC±AB,AD是斜边BC的中线，

.,.AD=DC.

二平行四边形ADCF是菱形

52-42-1(〃+1)2—〃2一1

19、(1)-~~-=4；(2)~---=n.

22

【解析】

试题分析：(D根据题目中的式子的变化规律可以写出第四个等式；

(2)根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n等式并加以证明.

试题解析：解：(1)由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：§一_4_―1=4；

2

(2)第〃个等式是：(〃+1)一-1二”.证明如下：

2

..(〃+1)2-〃2-1[(n+l)+n][(n+l)-nl-l2n+l-l

.--------=--------------=-----=n

2

(〃+1)22_]

...第"个等式是:=/1.

2

点睛：本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式子.

20、(1)商家一次购买这种产品1件时，销售单价恰好为2800元；(2)当0W烂10时，j=700x,当10V烂1时，y=

-5x2+750*,当x>l时，y=300x；(3)公司应将最低销售单价调整为2875元.

【解析】

(1)设件数为x,则销售单价为3200-5(x-10)元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；

(2)由利润y=(销售单价-成本单价)x件数，及销售单价均不低于2800元，按0金勺0,10VxW50两种情况列出函

数关系式；

(3)由(2)的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价.

【详解】

(1)设商家一次购买这种产品工件时，销售单价恰好为2800元.

由题意得：3200-5(x-10)=2800,解得：x=l.

答：商家一次购买这种产品1件时，销售单价恰好为280()元；

(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：

当0g10时，y=(3200-2500)x=700x,

当10<x<l时，j=[3200-5(x-10)-2500|»x=-5x2+750x,

当x>l时，y=(2800-2500)・x=300x；

(3)因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y随x增大而增大，

函数y=70ftr,y=300x均是y随x增大而增大，

而y=-5x2+750x=-5(x-75)2+28125,在10<x<75时，y随x增大而增大.

由上述分析得x■的取值范围为：10〈烂75时，即一次购买75件时，恰好是最低价，

最低价为3200-5*(75-10)=2875元，

答：公司应将最低销售单价调整为2875元.

【点睛】

本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用.最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首

先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案.

21、(1)BC=BD+CE,(2)2屈；(3)3VL

【解析】

(1)证明△ADBgZ\EAC,根据全等三角形的性质得到BD=AC,EC=AB,即可得到BC、BD、CE之间的数量关系;

(2)过D作DE±AB,交BA的延长线于E,证明△ABC^ADEA,得至UDE=AB=2,AE=BC=4,RtABDE中，BE=6,

根据勾股定理即可得到BD的长；

(3)过D作DE_LBC于E,作DFJ_AB于F,证明△CED^^AFD,根据全等三角形的性质得到CE=AF,ED=DF,

设AF=x,DF=y,根据CB=4,AB=2,列出方程组，求出

X，)'的值，根据勾股定理即可求出BD的长.

【详解】

解：(1)观察猜想

结论：BC=BD+CE,理由是：

如图①，VZB=90°,ZDAE=90°,

二ZD+ZDAB=ZDAB+ZEAC=90°,

二ND=NEAC,

VZB=ZC=90°,AD=AE,

/.△ADB^AEAC,

.♦.BD=AC,EC=AB,

BC=AB+AC=BD+CE；

(2)问题解决

如图②，过D作DEJ_AB,交BA的延长线于E,

图②

由(D同理得：△ABCgZ\DEA,

，DE=AB=2,AE=BC=4,

RtABDE中，BE=6,

由勾股定理得：BD=A/62+22=2710；

(3)拓展延伸

如图③，过D作DEJ_BC于E,作DFJ_AB于F,

同理得：△CED^AAFD,

.,.CE=AF,ED=DF,

设AF=x,DF=y,

x+y-4x=1

则解得：.

2+x=y[y=3,

.\BF=2+1=3,DF=3,

图③

【点睛】

考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

22、(l)y=-x2+4x-3；(2)满足条件的P点坐标有3个，它们是(2,1)或(2+&，-1)或(2-0,-1).

【解析】

(1)由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式；

(2)根据二次函数图象上点的坐标特征，可设P(t,d+4仁3),根据三角形面积公式得到;.2.|-t2+4t-3|=l,然后去

绝对值得到两个一元二次方程，再解方程求出t即可得到P点坐标.

【详解】

解：(1)抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3；

⑵设P(t,-t2+4t-3),

因为SAPAB=LAB=3-1=2,

所以;»2»|-t2+4t-3|=1,

当-t2+4t-3=l时，ti=t2=