高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）第12讲 排列组合（学生卷）

第12讲排列组合【【考点目录】【【知识梳理】知识点1排列与组合(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.(2)排列数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示.全排列的概念n个不同的元素全部取出的一个排列.阶乘的概念正整数1到n的连乘积，用n！表示.Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1.排列数公式(n，m∈N*，m≤n).Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).阶乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！).(3)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(4)组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示.组合数公式乘积式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！).阶乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！).两个性质性质1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性质2Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).3.Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；(n＋1)！－n！＝n·n！.4.kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)；Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m－1,n－1)＋Ceq\o\al(m－1,n－2)＋…＋Ceq\o\al(m－1,m－1).知识点2有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.知识点3解组合问题时要注意①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)；知识点4分堆与分配问题平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：eq\f(平均分堆到指定位置,堆数的阶乘).对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(如“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组.【【考点剖析】考点一排列的基本问题全排列问题1．（2023秋·天津红桥·高二统考期末）已知数字1，2，3，4，5．(1)可以组成多少个没有重复数字的五位数；(2)可以组成多少个没有重复数字的五位偶数．2．（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有______种．3．（2023秋·广东佛山·高二统考期末）某同学有2本不同的语文书，3本不同的数学书，2本不同的英语书，如果要将全部的书放在一个单层的书架上，且不使同类的书分开，则不同的放法种数是______（用数字作答）4．（2023秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）有一个“国际服务”项目截止到2022年7月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是___________.元素（位置）有限制的排列问题5．【多选】（2023秋·江苏扬州·高二统考期末）现有2名男同学与3名女同学排成一排，则（

）A．女生甲不在排头的排法总数为24B．男女生相间的排法总数为12C．女生甲、乙相邻的排法总数为48D．女生甲、乙不相邻的排法总数为726．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）甲、乙、丙、丁名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种7．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）5名学生，1名教师站成前后两排照相，要求前排3人，后排3人，其中教师必须站在前排，那么不同的排法共有（

）A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种8．（2023秋·四川眉山·高二统考期末）某中学举行的秋季运动会中，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（

）A．12 B．14 C．16 D．189．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（

）A．12种 B．18种 C．24种 D．36种10．（2023秋·广西河池·高二统考期末）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位偶数共有（

）A．56个 B．60个 C．66个 D．72个相邻问题的排列问题11．（2023秋·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考期末）甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（

）A．6 B．12 C．24 D．4812．（2023秋·上海徐汇·高二期末）用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻，则这样的六位数的个数为（

）A．20 B．40 C．60 D．8013．（2023秋·上海静安·高二校考期末）有8名学生排成一排，甲､乙相邻的排法种数为___________，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为___________.（用数字作答）14．（2023秋·上海崇明·高二统考期末）某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的方法有___________种．不相邻排列问题15．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的方法有（

）A．5种 B．6种 C．10种 D．20种16．（2023秋·贵州黔东南·高二统考期末）小红，小明，小芳，张三，李四共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为（

）A． B． C． D．17．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）4个人随机去坐连成一排的11个座位，由于受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少留有一个空位，则不同的坐法有______种．18．（2023秋·陕西咸阳·高二校考期末）现有7位同学（分别编号为A，B，C，D，E，F，G）排成一排拍照，若其中A，B，C三人互不相邻，D，E两人也不相邻，而F，G两人必须相邻，求不同的排法总数．19．（2023秋·河南安阳·高二统考期末）2022年央视春晩出现了很多优秀的歌曲、小品、相声等节目，现将歌曲《你是我生命中的礼物》《我们的时代》《爱在一起》《春天的钟声》，冬奥主题歌曲《点亮梦》，小品《父与子》《还不还》《喜上加喜》《发红包》《休息区的故事》，相声《欢乐方言》《像不像》这12个节目进行排列，则冬奥主题歌曲《点亮梦》排在最后一位，相声《欢乐方言》与《像不像》不相邻，小品《喜上加喜》与《发红包》相邻的概率是（

）A． B． C． D．20．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考期末）A，B，C，D，E，F这6位同学站成一排照相，要求A与C相邻且A排在C的左边，B与D不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（

）A．72 B．48 C．36 D．24定序问题21．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）某次演出有6个节目，若甲、乙、丙3个节目的先后顺序已确定，则不同的排法有____种．22．（2023秋·安徽合肥·高二合肥市第十一中学校联考期末）有名男生与名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数(要求用数字作答).（1）全体排成一排，女生必须站在一起；（2）全体排成一排，男生互不相邻；（3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.23．（2023秋·天津滨海新·高二天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演.如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序（、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有_______.24．（2023秋·全国·高二期末）某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（

）.A．42 B．56 C．30 D．72正难则反25．（2023秋·吉林·高二校联考期末）2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水．现要给“福建舰”进行航母编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（

）A．72 B．324 C．648 D．129626．（2023秋·全国·高二期末）某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（

）种A．9 B．36 C．54 D．10827．【多选】（2023秋·广东清远·高二统考期末）现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到A，B，C，D，E五家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（

）A．所有可能的安排方法有125种B．若A医院必须有专家去，则不同的安排方法有61种C．若专家甲必须去A医院，则不同的安排方法有16种D．若三名专家所选医院各不相同，则不同的安排方法有10种考点二组合的基本问题实际问题中的组合问题28．（2023秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的一点．今在道路网处的甲、乙两人分别要到处，其中甲每步只能向右走或者向上走，乙每步只能向下或者向左走．(1)求甲从到达处的走法总数；(2)求甲乙两人在相遇的方法数．29．（2023秋·山东临沂·高二统考期末）某校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动.现有，，，四名同学拟参加足球、篮球、排球、羽毛球、乒乓球等五项活动，由于受个人精力和时间限制，每个人只能等可能的参加其中一项，则恰有两人参加同一项活动的概率为（

）A． B． C． D．30．（2023秋·河南信阳·高二统考期末）用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为（

）A． B． C． D．31．（2023秋·上海闵行·高二校考期末）书架上有2本不同的数学书，3本不同的语文书，4本不同的英语书．若从这些书中取不同科目的书两本，有____种不同的取法．代数中的组合计数问题32．（2023春·四川攀枝花·高二统考期末）千年一遇对称日，万事圆满在今朝，年月日又是一个难得的“世界完全对称日”（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把这样的对称自然数叫回文数，两位数的回文数共有个（），其中末位是奇数的又叫做回文奇数，则在内的回文奇数的个数为___．33．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）34．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（

）A．18种 B．24种 C．36种 D．72种几何组合计数问题35．（2023春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）在正方体的12条棱中任选3条，其中任意2条所在的直线都是异面直线的概率为（

）A． B． C． D．36．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期末）已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有________条．37．（2023秋·全国·高二期末）如图，已知面积为1的正三角形三边的中点分别为，，，则从，，，，，六个点中任取三个不同的点构成的面积为的三角形的个数为（

）A．4 B．6 C．10 D．11考点三排列、组合的综合问题（一）分堆与分配问题38．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三个组每组两本．39．（2023秋·河南南阳·高二邓州市第一高级中学校校考期末）为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法共有______种.40．（2023春·北京·高二北京八中校考期末）为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（

）A．60 B．120 C．150 D．24041．（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（

）A．360种 B．480种 C．600种 D．720种42．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）当前，国际疫情仍未得到有效控制，国内防控形势依然严峻､复杂.某地区安排A，B，C，D四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，每人只去一个地区，且A，B两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（

）A．24种 B．30种 C．36种 D．72种43．（2023秋·福建莆田·高二莆田一中校考期末）现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为（

）A． B． C． D．44．（2023秋·福建福州·高二福建省福州延安中学校考期末）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为______．45．【多选】（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组（

）A．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法B．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法C．若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法D．若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法（二）数字排列问题46．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位数？（2）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？47．（2023秋·吉林长春·高二统考期末）从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的五位偶数（用数字作答）.48．（2023春·陕西西安·高二长安一中校考期末）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是奇数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）49．（2023秋·安徽·高二校联考期末）年07月01日是中国共产党成立100周年，习近平总书记代表党和人民庄严宣告，经过全党全国各族人民持续奋斗，我们实现了第一个百年奋斗目标，在中华大地上全面建成了小康社会，历史性地解决了绝对贫困问题.某数学兴趣小组把三个0､两个2､两个1与一个7组成一个八位数（如20001217），若其中三个0均不相邻，则这个八位数的个数为（

）A．200 B．240 C．300 D．600【【过关检测】一、单选题1．（2023秋·广东广州·高二统考期末）2022年北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰､花样滑冰､冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（

）A．10 B．27 C．36 D．602．（2023秋·福建福州·高二福建省福州华侨中学校考期末）甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（

）A．6种 B．12种 C．36种 D．48种3．（2023秋·新疆阿克苏·高二校考期末）从1，2，3，4，5，6这6个数中任取两个数，则两个数之和为偶数的概率为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是（

）A．54 B．36 C．24 D．185．（2023春·福建莆田·高二校考期末）已知甲袋子中装有1个红球和3个白球，乙袋子中装有3个红球和2个白球，若从甲、乙两个袋子中各取出2个球，则取出的4个球中恰有2个红球的不同取法共有（

）A．9种 B．18种 C．27种 D．36种二、多选题6．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考期末）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（

）A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是B．第二次取到1号球的概率C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种7．（2023秋·广东广州·高二统考期末）将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校图书馆，食堂，实验室帮忙，要求每个地方至少安排一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（

）A．总其有36种安排方法B．若甲安排在实验室帮忙，则有6种安排方法C．若图书馆需要安排两位志愿者帮忙，则有24种安排方法D．若甲､乙安排在同一个地方帮忙，则有6种安排方法8．（2023秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作