平面向量数量积坐标表示

第六章6.3.5平面向量数量积的坐标表示本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐标运算判断向量垂直.课标要求素养要求通过推导数量积的坐标运算、求夹角和模及向量垂直的判断，体会逻辑推理素养及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____________.x1x2＋y1y22.平面向量坐标表示的几个公式x2＋y2点睛(1)θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0；(2)θ为钝角或θ＝π⇔x1x2＋y1y2<0.

3.向量垂直的条件

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则a⊥b⇔____________________.x1x2＋y1y2=01.思考辨析，判断正误×(1)向量的模等于向量坐标的平方和.(

)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(

)(3)若两个非零向量的夹角θ满足cosθ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角.(

)提示

(1)向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.(2)只有a与b为非零向量时才正确.(3)当θ＝180°时，cosθ＝－1<0，但不是钝角.××C解析由3a·b＝4，得(6，－9)·(x，2x)＝－12x＝4.D2课堂互动题型剖析2题型一平面向量数量积的坐标表示【例1】

已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解(1)∵a与b同向，又b＝(1，2)，∴可设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0).又∵a·b＝10，∴1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0，∴a＝(2，4).(2)∵b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，∴(b·c)·a＝0.1.进行数量积的坐标运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2及向量的坐标运算，并注意与函数、方程等知识的联系.2.向量数量积的运算有两种思路：一种是基向量法，另一种是坐标法，两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法.思维升华【训练1】已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(

) A.10 B.－10 C.3 D.－3

解析a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，

所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.B题型二计算平面向量的模C5(2)∵a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，则x＝2，且y＝1.∴a＝(2，1).思维升华B解析因为a＝(1，－2)，b＝(x，2)，且a∥b，所以2x＋2＝0，解得x＝－1，【例3】已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4). (1)求证：AB⊥AD；题型三平面向量的夹角与垂直证明

因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，即AB⊥AD.(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.思维升华因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4).解因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.1.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.

课堂小结分层训练素养提升3

B解析设a，b的夹角为θ，2.已知向量a＝(－1，1)，b＝(1，m)，若(a－b)⊥a，则实数m的值是(

) A.3 B.－3 C.1 D.－1

解析a－b＝(－2，1－m).∵(a－b)⊥a，∴(a－b)·a＝2＋1－m＝0，∴m＝3.AB解析

a＝(2，0)，|b|＝1，∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos60°＝1.4.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA，1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是(

) A.锐角

B.钝角 C.直角

D.不确定AC二、填空题6.已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________.4解析a＋2b＝(1，5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4.7.已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.解析由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，三、解答题9.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.解(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，∴a－b＝(－2，0)，∴|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，∴a－b＝(2，－4)，10.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1). (1)试计算a·b及|a＋b|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值.解(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ，C解析由a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，得a·b＝－10，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.12.设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3，3)，