2021年九年级中考数学复习《旋转压轴题》

2021年中考数学复习《旋转压轴题》

1、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片A8CQ,点P为正方形边上的一点(不

与点A、点。重合)将正方形纸片折叠，使点8落在P处，点C落在G处，PG交DC

于H，折痕为E凡连接8P、BH.

(1)求证：NAPB=NBPH；

(2)当点P在边A。上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论；

(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在

最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

(备用图)

2、把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角

板ABC的斜边中点。重合，其中NB=NF=30°,斜边AB和EF长均为4.

(1)当EGLAC于点K,GFLBC于点”时(如图①)，求GH：GK的值

(2)现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角a满足条件：

0°<a<30°(如图②)，EG交AC于点K,G尸交8c于点"G”：GK的值是否改变？

证明你发现的结论；

(3)三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转一周，是否存在某位置使APFG

是等腰三角形，若存在，请直接写出相应的旋转角a(精确到0.1°,cos73.2°^0.29)；

若不存在，说明理由.

1

3、图1是边长分别为4b和3的两个等边三角形纸片ABC和C'D'E'叠放在一起（C

与C'重合）.

（1）操作：固定△ABC,将△<?'D'E'绕点。顺时针旋转30°得到△COE,连接A。、

BE,CE的延长线交A8于尸（图2）；

探究：在图2中，线段BE与40之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.

（2）操作：将图2中的在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，

平移后的设为^尸。/?（图3）；

探究：设△PQR移动的时间为x秒，与AABC重叠部分的面积为y,求y与x之

间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.

（3）操作：图1中△（：'D'E'固定，将△ABC移动，使顶点C落在C'E'的中点，

边8c交。'E'于点M,边AC交。'C于点N,设/ACC'=a（30°<a<90°（图

4）；

探究：在图4中，线段C'N-E'"的值是否随a的变化而变化？如果没有变化，请你

求出C'N-E'"的值，如果有变化，请你说明理由.

2

4、如图1,我们将相同的两块含30°角的直角三角板RtZ\DE尸与Rt^ABC叠合，使OE

在AB上，DE过点C,已知AC=OE=6.

(1)将图1中的△£>£：/绕点D逆时针旋转(DF与AB不重合)，使边DF、DE分别交

AC、8C于点P、Q,如图2.

①求证：△CQOS/XAP。；

②连接PQ,设AP=x,求面积S“CQ关于x的函数关系式；

(2)将图1中的△£>£：/向左平移(点4、。不重合)，使边F£>、FE分别交AC、8c于

点M、N设如图3.

①判断△8EN是什么三角形？并用含/的代数式表示边BE和BN；

②连接MN,求面积S.MCN关于t的函数关系式；

(3)在旋转△£>£/的过程中，试探求AC上是否存在点P,使得S"CQ等于平移所得S

△MCN的最大值？说明你的理由.

3

5、问题发现.

(1)如图①，Rt^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,点。是AB边上任意一点，

则CD的最小值为.

(2)如图②，矩形A8CO中，AB=3,8c=4,点M、点N分别在8。、BC上，求CM+MN

的最小值.

(3)如图③，矩形ABCD中，AB=3,8C=4,点E是AB边上一点，且AE=2,点F

是2c边上的任意一点，把aBEF沿E尸翻折，点8的对应点为G,连接AG、CG,四边

形AG。的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时8尸的长度.若不存在，

请说明理由.

4

6、已知AM是OO直径，弦垂足为点N,弦C£＞交AM于点E,连按A8和BE.

(1)如图1,若COLAB,垂足为点尸，求证：NBED=2NBAM；

(2)如图2,在(1)的条件下，连接3。，若NABE=/BDC,求证：AE=2CN；

(3)如图3,AB=CD,BE：C0=4：7,AE=11,求EM的长.

图2

7、如图，在正方形ABC。中，动点P在射线CB上(与8、C不重合)，连结AP,过。作

。尸〃AP交直线BC于点尸，过尸作尸EJ_直线8。于点E,连结AE、PE.

(1)如图1,当点尸在线段CB上时

①求证：△ABPQ4DCF；

②点P在运动过程中，探究：△AEP的形状是否发生变化，若不变，请判断AAEP的形

状，并说明理由；

(2)如图2,当点P在CB的延长线上时

©(1)中的结论②是否成立？不必说明理由；

②若尸，当〃为何值时，DF平分NBDC?

5

8、己知四边形ABC。，AD//BC,ABLBC,AD=\,AB=4,BC=3.

(1)如图1,P为AB边上的一点，以PO、PC为边作口PCQ。，请问对角线尸Q,。。能

否互相垂直，为什么？

(2)如图1,P为48边上的一点，以P£＞、PCM^PCQD,请问对角线PQ,Z)C的

长能否相等，为什么？

(3)图1,若尸为AB边上一点，以PD,PC为边作。尸C。。，请问对角线PQ的长是否

存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.

(4)如图2,若尸为AB边上任意一点，延长尸。到E,使。(〃为常数)，再以

PE、PC为边作口PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写

出这个最小值；如果不存在，请说明理由.

6

9、若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和

谐线”，其“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”(例如圆

的直径就是圆的“和谐线段”)

问题探究：

(1)如图①，已知△ABC中，AB=6,BC=8,ZB=90°,请写出△ABC的两条“和

谐线段”的长.

(2)如图②，平行四边形48。中，AB=6,8c=8,NB=60°,请直接写出该平行

四边形48C。的“和谐线段”长的最大值和最小值；

问题解决

(3)如图③，四边形ABCO是某市规划中的商业区示意图，其中AB=2,CD=10,Z

4=135°,N8=90°,tanC=3,现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN(小道的

4

宽度不计)，入口M在BC上，出口"在8上，使得为四边形A8C。“和谐线段”,

在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形,

请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置(即求CM的长)

D

7

10、(1)阅读理解

利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1,点尸是等边三角形A8C内一点,

PA=\,PB=M，PC=2.求N8PC的度数.

为利用已知条件，不妨把aBPC绕点C顺时针旋转60°得AAP，C,连接PP',则PP'

的长为；在△勿〃中，易证/用P'=90°,且NPP'4的度数为,综上可得

NBPC的度数为；

(2)类比迁移

如图2,点尸是等腰RtZ\ABC内的一点，ZACB=90a,PA=2,PB=®,PC=\,求

NAPC的度数；

(3)拓展应用

如图3,在四边形A8CO中，BC=3,CD=5,AB=AC=1AD.ZBAC=2ZADC,请直

2

接写出8。的长.

8

答案解析

、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AO边上的一点(不

与点A、点。重合)将正方形纸片折叠，使点8落在P处，点C落在G处，PG交DC

于，，折痕为EF,连接8尸、BH.

(1)求证：NAPB=4BPH；

(2)当点尸在边上移动时一，的周长是否发生变化？并证明你的结论；

(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在

最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

A,--------S---------------1DA,_______&_________,D

(备用图)

【分析】(1)根据翻折变换的性质得出进而利用平行线的性质得出N

APB=/PBC即可得出答案；

(2)首先证明△A8P丝△QBP,进而得出△BC“丝△BQH,即可得出PD+DH+PH^

AP+PD+DH+HC=AD+CD=S；

(3)利用已知得出丝△8%,进而利用在RtZXAPE中，(4-BE)2+x1=BE2,利

用二次函数的最值求出即可.

【解答】(1)证明：如图1,：PE=BE,

NEBP=NEPB.

又；NEPH=NEBC=90°,

ZEPH-NEPB=NEBC-NEBP.

即/PBC=ZBPH.

5L'：AD//BC,

：.NAPB=APBC.

二NAPB=ZBPH.

9

(2)的周长不变为定值8.

证明：如图2,过B作8QJ_P”，垂足为Q.

由(1)知NAPB=NBPH,

'NAPB=/BPH

在△4BP和△Q8P中,NA=/BQP，

BP=BP

:.XABPQAQBP(A4S).

：.AP^QP,AB=BQ.

又：AB=BC,

：.BC=BQ.

又•.♦NC=NBQH=90°,BH=BH,

：.CH=QH.

1△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=S.

(3)如图3,过F作垂足为M,则FM=BC=48.

又尸为折痕，

J.EFVBP.

：.ZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90°,

，ZEFM=ZABP.

又•.•/A=/EMF=90°,

:.△EFM/APBA(ASA).

：.EM=AP=x.

.,.在RtZXAPE中，(4-BE)2+7=“

2

解得，BE=2+V-・

o

2

•••CF=BE-EM=2备-x-

o

又•.•折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等，

,S=y(BE+CF)BC^j-(4+^—x)X4-

即：S^j-x2-2x+8-

10

配方得，S^-(x-2)2+6,

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理、二

次函数的最值问题等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键.

2、把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角

板ABC的斜边中点0重合，其中NB=N尸=30°,斜边AB和E厂长均为4.

（1）当EGLAC于点K,GFLBC于点”时（如图①），求GH：GK的值

（2）现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角a满足条件:

0°<a<30°（如图②），EG交AC于点K,G尸交BC于点〃，GH：GK的值是否改变？

证明你发现的结论；

（3）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转一周，是否存在某位置使△BFG

是等腰三角形，若存在，请直接写出相应的旋转角a（精确到0.1°,cos73.2°-0.29）；

若不存在，说明理由.

角三角形的三边长度，利用三角形的中位线可以求出GK,和G"的值，可以求出其比值.

（2）作GM_LAC于M,GNLBC于N,利用三角形相似可以求出GH与GK的比值不变.

（3）存在.分四种情形画出图形分别求解即可.

【解答】解：（1）,：ZACB=ZEGF=90Q,ZB=ZF=30°

.*.AC=LB,EG=LEF

22

11

"：AB=EF=4

，AC=EG=2,在RtZ\ACB和RtZXEGF中，由勾股定理得

BC=GF=2a，

\'GE±AC,GFLBC

J.GE//BC,GF//AC

：G是AB的中点

：.K,H分别是AC、CB的中点

：.GK,GH是△ABC的中位线

:.GK=LBC=M，G4=LAC=I

22

：.GH：GK=1：5/3.

(2)不变,

理由如下：作GM_L4c于M,GNLBC于N,

:.NGMC=NGNH=90°由旋转的性质可知：

Z2=Z1

AGMKsAGNH

.GH=GN

"GKGM'

,:GN：GM=\：加，

：.GH：GK=1：如,

旋转角a满足条件：0°<a<30°时，GH：GK的值比值不变.

(4)存在.

①如图③-1中，当a=30°时，△8FG是等腰三角形.

12

G(O)

图。-1

②如图③-2中，当a=90°时，是等腰三角形.

图。-2

③如图③-3中，当FG=阳时，作于H.

图。-3

：cos/FGB=gl=-=—.2887,

FG2V3

：.4FGH=732°,

二旋转角=90°+60°-(90°-73.2°)=133.2°

④如图③-4中，当FG=FB时，同法可得旋转角为346.8°,

13

综上所述，满足条件的旋转角为30°、90°、133.2°或346.8°.

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，旋转变换，三角形

的中位线定理，直角三角形30度角的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关

键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，

属于中考压轴题.

3、图1是边长分别为4花和3的两个等边三角形纸片ABC和CD'E'叠放在一起（C

与C'重合）.

（1）操作：固定△ABC,将△（?'D'E'绕点C顺时针旋转30°得到ACDE,连接AC、

BE,CE的延长线交A8于F（图2）；

探究：在图2中，线段8E与A。之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.

（2）操作：将图2中的在线段C尸上沿着C尸方向以每秒1个单位的速度平移，

平移后的△CDE设为△PQR（图3）；

探究：设移动的时间为x秒，与△ABC重叠部分的面积为y,求y与x之

间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.

（3）操作：图1中△<：'D'E'固定，将△ABC移动，使顶点C落在C'E'的中点，

边BC交。'E'于点M,边AC交。'C于点N,设/ACC'=a（30°<a<90°（图

4）：

探究：在图4中，线段C'N-E'例的值是否随a的变化而变化？如果没有变化，请你

求出C'N-E'M的值，如果有变化，请你说明理由.

14

【分析】(1)BE=AD,可通过证三角形BEC和AC。全等来得出.

(2)由于重合部分的面积无法直接求出，因此可用△RPQ的面积减去aRST的面积来求

得(S、T为RP、RQ与4c的交点).△PR。的面积易求得.关键是△RST的面积，三角

形RST中，由于/RTS=NCTQ=60°-/TCQ=30°,而NR=60°,因此△RST是直

角三角形，只需求出RS和ST的长即可.上面已经求得了NQTC=/QCT=30°,因此

R7=RQ-Q7=R。-QC=3-x,然后根据△/?△中特殊角的度数即可得出RS和"的长，

进而可得出y,x的函数关系式.

(3)本题可通过证M和△NCC'相似来求解.

【解答】解：(1)BE^AD

证明：•.,△ABC与△OCE是等边三角形

：.ZACB=ZDCE=60°,CA=CB,CE=CD

：.NBCE=NACD

AABCE^AACD

：.BE=AD.

(2)如图在△CQT中

ZTCQ=3O°NRQP=60°

：.ZQTC=30°

:.NQTC=NTCQ

QT=QC=x

:・RT=3-x

,•♦NRTS+NR=90°

・・・/RST=90°

:.y=显义*■-®(3-x)2=一区(3-x)2+.^fi(0WxW3).

4884

15

(3)答：CN'E'例的值不变，理由为:

证明：VZACB=60°

：.ZMCE'+ZNCC'=120°

VZCNC+ZNCC1=120°

AZMCE'=ZCNC'

VZE'=NC'

...△E'MCs/\CCN

•E'。二E'C

"cyC"C?N"

：.C'N・E'M=CC・E'C=nx3=2.

224

【点评】本题考查了图形的旋转和平移变换、等边三角形的性质、相似三角形的判定和

性质以及二次函数的应用等知识点，综合性强，难度较高.

4、如图1,我们将相同的两块含30°角的直角三角板RtZYDEF与Rt/XABC叠合，使。E

在AB上，OE过点C,已知AC=QE=6.

(1)将图1中的△£)£：/绕点。逆时针旋转(。尸与AB不重合)，使边£>/、OE分别交

AC.BC于点P、Q,如图2.

①求证：ACQDsAAPD；

②连接PQ，设AP=x,求面积SMCQ关于x的函数关系式；

(2)将图1中的△OEF向左平移(点4、。不重合)，使边F£>、FE分别交AC、8c于

点用、N设4例="如图3.

①判断△8EN是什么三角形？并用含t的代数式表示边BE和BN；

②连接MM求面积SAMCN关于，的函数关系式；

(3)在旋转的过程中，试探求AC上是否存在点P,使得SMCQ等于平移所得S

△MCN的最大值？说明你的理由.

16

【分析】(1)①易得N8C£>=/A=60°,NADP=NCDE,那么可得△CQOS/^APQ②

利用相似可得CQ=，金，那么PC—6~x.口J表示出S&PCQ

(2)①由外角NFEN=60°,ZB=30°,可得NBNE=30°，:.NE=BN,那么△BEN

是等腰三角形.易得AB=12,那么BE=12-AD-OE=6-L.过E作EG_L

22

BN于点、G.利用30°的三角函数可求得8G,进而求得BN

②容易利用f表示出MC、CN,即可表示出所求面积

(3)利用二次函数的最值表示出SAMCN的最大值,让前面所求的面积的代数式等于即可.

【解答】解：(1)①证明：VZF=ZB=30°,乙4cB=NBO尸=90°AZBCD=ZA

=60°,VZADP+ZPDC=90Q,ZCDE+ZP£)C=90°：./\CQD^/\APD

②•.,在RtZ\AOC中，AD=3,DC=3y/3

又,：XCgs/\APD,CQ=y/sx.

:&PCQ=~^^X2+3Y[3X

2

(2)①△BEN是等腰三角形.BE=6-L,BN=J^(6-L).

22

②S^MOV=L(6-f)X®=-叵(f-3)2-9]

224

(3)存在.

由题意建立方程-国+3后=还

24

17

解得x=6+3&或6-3&

22_

即当”=6+爱或AP=殳|叵时,SMCQ等于SZSMCN的最大值.

【点评】用到的知识点为：两角对应相等，两三角形相似；相似三角形的对应边成比例.

5、问题发现.

(1)如图①，Rt/VLBC中，/C=90°,AC=3,BC=4,点。是AB边上任意一点，

则C£>的最小值为」2.

一二一

(2)如图②，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN

的最小值.

(3)如图③，矩形ABCZ)中，AB=3,BC=4,点E是AB边上一点，且AE=2,点尸

是8c边上的任意一点，把△〃£：/沿EF翻折，点8的对应点为G,连接AG、CG,四边

形AGC。的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度.若不存在，

请说明理由.

【分析】(1)根据点到直线的距离最小，再用三角形的面积即可得出结论；

(2)先根据轴对称确定出点M和N的位置，再利用面积求出CF,进而求出CE,最后

用三角函数即可求出CM+MN的最小值；

(3)先确定出EG_L4C时，四边形AGCO的面积最小，再用锐角三角函数求出点G到

AC的距离，最后用面积之和即可得出结论，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可

求出BF.

【解答】解：(1)如图①，过点C作C£>J_AB于。，根据点到直线的距离垂线段最小，

此时CO最小，

在Rt^ABC中，AC=3,BC=4,根据勾股定理得，48=5,

Lex8C=L18XCD,

22

.co=ACXBC=12

‘""AB5"

18

故答案为空；

5

(2)如图②，作出点C关于BD的对称点E,

过点E作ENLBC于N,交BD于M,连接CM,此时CM+MN=EN最小；

•.•四边形A8C。是矩形，

：.ZBCD=90°,CD=AB=3,根据勾股定理得，BD=5,

'."CE1.BC,

：.LBDXCF=LexCD,

22

•pBCXCD^12

"'C=BDV

由对称得，CE=2CF=N1,

5

在RtZ\8CF中，cosNBCF=C^=旦，

BC5

AsinZBCF=A,

5

在RtACEN中，EN=C£sinNBCE=竺x—=—;

5525

即：CM+MN的最小值为里•；

25

(3)如图3,

；四边形A8C。是矩形，

：.CD=AB=3,AO=BC=4,/A8C=/£>=90°,根据勾股定理得，AC=5,

"：AB=3,AE=2,

点尸在8C上的任何位置时，点G始终在4c的下方，

设点G到AC的距离为h,

：S四边)gAGCD=SAACD+S“CG=L£)XCO+Lex〃=Lx4X3+l>X5X人=邑+6,

22222

...要四边形AGCO的面积最小,即：/?最小，

•点G是以点E为圆心，BE=\为半径的圆上在矩形ABC。内部的一部分点，

.,.EGLAC时，〃最小，

由折叠知/瓦；/=/48。=90°,

延长EG交AC于H,则EHL4C,

在RtZXABC中，sin/BAC=K=且，

AC5

19

在RtZVLEH中，AE=2,sinZBAC=M=A,

AE5

:.EH=&E=&,

55

:.h=EH-EG=&-1=*,

55

•'•S四边形AGC£>垠小=S/?+6=$X'>+6=」^,

2252

过点F作FMA.AC于M,

YEHLFG,EH±AC,

四边形FGHM是矩形，

:.FM=GH=3

5

VZFCM^ZACB,/CMF=C84=90°,

.♦.△CM/S/XCBA,

.CFFM

"AC^AB"

3_

•CF

,•~T话，

CF=1

：.BF=BC-CF=4-1=3.

E

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，点到直线的距离，轴对称，解

本题的关键是确定出满足条件的点的位置，是一道很好的中考常考题.

6、已知AM是。。直径，弦8C_LAM,垂足为点N,弦C。交AM于点E,连按A8和BE.

(1)如图1,若CD_LAB,垂足为点凡求证：NBED=2NBAM；

(2)如图2,在(1)的条件下，连接8。，若NABE=NBDC,求证：AE=2CN；

(3)如图3,AB=CD,BE：C£)=4：7,AE=11,求EM的长.

20

【分析】(I)根据垂径定理可得8N=CM根据垂直平分线的性质可得仍=EC,从而可

得NBED=2/BCD,只需证明即可；

(2)连接AC,如图2,易得BC=2CN,要证AE=2CN,只需证4E=8C,只需证△ABE

qACDB,只需证8E=B。即可；

(3)过点。作于尸，作OHJ_BE于"，作OQ_LC£＞于Q,连接0C,如图3,

由AB=C。可推出OP=OQ,易证/BEA=NCE4,根据角平分线的性质可得O"=OQ,

即可得到OP=OH,则有也些=姻_=型=工，从而可得也逆=殁=工.由AE

^AEBOBEBE4SAEB0EO4

=11可求出40、EO,就可求出AM、EM.

【解答】解：(1):BC工AM,CD1AB,

：.ZENC=ZEFA=900.

V/AEF=/CEN,

：.ZBAM=ZBCD.

•:AM是。。直径，弦3C_L4M,

:・BN=CN,

：・EB=EC,

：.ZEBC=ZBCDf

：.NBED=2/BCD=2/BAM；

(2)连接AC,如图2,

YAM是OO直径，弦

••­BM=CM，

：.ZBAM=ZCAM,

：.ZBDC=ZBAC=2ZBAM=/BED,

:・BD=BE.

在AABE和△CD5中,

21

'/BAE二NDCB

,ZABE=ZCDB，

BE=DB

・・・LABEmACDB,

：.AE=CB.

♦：BN=CN,

：.AE=CB=2CN；

(3)过点。作0PL4B于P,作于H,作。Q1.CD于Q,连接0C,如图3,

则有AP=3P=X43,CQ=DQ=LCD.

22

VAB=CD,

：.AP=CQ,

,"10P^VOA2-AP2=VOC2-CQ2=OQ-

TAM垂直平分BC,

:・EB=EC,

：.ZBEA=ZCEA.

VOHA.BE,OQLCD,

：.OH=OQ,

：・OP=OQ=OH,

yAB-OP

.2AABO__AB_CD_7

BEBE

^AEBOyBE-OHT

y..SAAB0=A0

^AEBOEO

・A0=l

**EOT

设AO=7%则EO=4亿

：.AE=AO+EO=l\k=\\,

"=L

・・・AO=7,EO=4,

・・・AM=2AO=14,

.\EM=AM-AE=14-11=3.

22

【点评】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定

与性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、等高（或

同高）三角形的面积比等于底的比等知识，证到是解决第（2）小题的关键，证

到OP=OH是解决第（3）小题的关键.

7、如图，在正方形A8C。中，动点P在射线CB上（与8、C不重合），连结AP,过。作

DF//AP交直线BC于点F,过尸作FEL直线BD于点E,连结AE.PE.

（1）如图1,当点尸在线段CB上时

①求证：△ABP会△£>"；

②点P在运动过程中，探究：△AEP的形状是否发生变化，若不变，请判断△AEP的形

状，并说明理由；

（2）如图2,当点尸在CB的延长线上时

@（1）中的结论②是否成立？不必说明理由；

②若3C=〃・3P,当“为何值时，DF平分NBDC?

【分析】（1）①根据正方形的性质得到AB=£>C,ZABC=ZDCF=90°,利用AAS定

理证明AABP丝△OCF；

②证明△A3E丝△C8E,得到AE=CE,NAEB=NCEB,证明AEBP乌△EFC,根据全

等三角形的性质证明；

（2）①利用与（1）相似的方法解答；

②不妨设PB=1,则BC=〃.根据角平分线的性质列出方程，解方程即可.

【解答】（1）①证明：如图1中，

23

图1

•.,四边形ABCD是正方形，

：.AB=DC,ZABC^ZDCF=90°,

,JDF//AP,

：.NAPB=NDFC,

在△4BP和△£)(7/中，

"ZAPB=ZD

-ZABP=ZDCF>

AB=DC

工AABP会ADCF(SAS)；

@AAEP的形状不发生变化，△AEP是等腰直角三角形,

在△ABE和aCBE中，

，BA=BC

<ZABE=ZCBE-

BE=BE

:./\ABE且ACBE(SAS),

：.AE=CE,NAEB=NCEB,

'JFEVBD,ZEBF=45Q,

：.EB=EF,NEBF=NEFB=45°

■:XABP坦ADCF,

：.BP=FC,

：./\EBP^/\EFC(SAS),

24

：.EP=EC,NBEP=NFEC,

：.AE=EP,

NAEB+NBEP=NBEC+NCEF=90°,

...△4EP是等腰直角三角形;

图2

(2)①(1)中的结论②成立，

证明方法与(1)相同；

②如图2中，不妨设PB=1,贝ij8C=".

若。/平分NBCC,

则EF=CF,

•.。=旅=1,

：.BF=n-1,

是等腰直角三角形

:,BF=®EF=®,

：.n-1=^2>

解得"=J加1

...当〃=扬1时，。尸平分/BOC.

【点评】本题属于四边形综合题，本题了是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、

等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考

常考题型.

8、已知四边形ABC。，AD//BC,ABLBC,AD=\,AB=4,BC=3.

(1)如图1,P为AB边上的一点，以P。、PC为边作口PCQ。，请问对角线尸Q,QC能

否互相垂直，为什么？

(2)如图1,P为AB边上的一点，以P。、PC为边作。PCQO,请问对角线尸。，0c的

长能否相等，为什么？

(3)图1,若P为AB边上一点，以PD,PC为边作口PC。。，请问对角线PQ的长是否

25

存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.

(4)如图2,若P为AB边上任意一点，延长到E,使。(〃为常数)，再以

PE、PC为边作口PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写

【分析】(1)利用对角线PQ，OC垂直时，平行四边形即为菱形进而得出答案：

(2)四边形PC。。是平行四边形，若对角线尸。、OC相等，则四边形PC。。是矩形，

然后利用矩形的性质，设可得方程7+32+(2-x)2+1=8,由判别式△<(),可

知此方程无实数根，即对角线PQ,0c的长不可能相等；

(3)首先证明△AOP丝△4CQ(A4S),进而求得8H的长，即可求得答案；

(4)作QHLBC,交BC的延长线于H,易证Rt^ADP^>Rt/\QHC.由DE=nPD,可

昨8H=3+〃+1="+4.由图知，当PQ_LAB时，PQ的长最小值为〃+4,-些—=也,

(l-m)PDHC

得出B”=3+〃+l=〃+4,进而得出答案.

【解答】解：(1)当对角线PQ,0c互相垂直，则DPC。。是菱形，

故PD=PC,

当PO=PC时，此时AP=8C=3,AD=BP=l,

即当AP=BC=3,A£>=BP=1时，对角线P。，DC互相垂直；

(2)过点。作。ELBC于点E,

•.•梯形ABC。，AD//BC,AB1.BC

二四边形ABED是矩形，

：.DE=AB=4,BE=AD=\,

:.CE=BC-BE=2,

:.DC=2屈,

26

V四边形PCQD是平行四边形，

若对角线尸Q、。。相等，则四边形PCQQ是矩形，

设PB—x,则AP=4-x,

在RtA^PC中，PD1+PC1=DC1,即)+32+(4-%)2+1=(2泥)2,

化简得x2-4x+3=0,

；△=(-4)2-4XlX3=4>0,

，询用得：XI=1,"2=3,

，即对角线尸。与DC可能相等,此时A尸=1或3；

(3)如图2,作Q/7_L3C,交3c的延长线于从

'//APQ=/HQP,

：.ZAPD+ZDPQ=NPQC+NCQH,

•:PD〃QC,

：.ZDPQ=ZCQP,

：.ZAPD=ZCQH,

在和△”C。中，

<ZA=ZH

,ZAPD=ZHQC

PD=QC

A/\ADP^/\HCQ(A4S),

：.AD=CH=1,

：.BH=BC+CH=3+2=4,

・•・当尸。时,P。的长最小,即为4.

(4)如图3,作QH_LBC,交3C的延长线于H,

^ABZ/QH.

，NAPD+NDPQ=ZPQC+ZCQH.

・・,以PE,PC为边作□PC。。

：.PE//CQ,

：.ZDPQ=ZPQC,

：.4APD=/CQH,

：.Rt/\ADP^Rt/\QHC.

27

・PD——APHijPD—AD

QCHQPEHC

：DE=nPD,

•PD=AD

*(l-m)PD而'

：AD=1,

,.HC="+1,

.•BC=3,

\BH=3+n+\=n+4.

•.由图知，当PQLAB时，PQ的长最小值为〃+4,

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、

矩形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键.

9、若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和

谐线”，其“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”(例如圆

的直径就是圆的“和谐线段”)

问题探究：

(1)如图①，已知△ABC中，43=6,BC=8,Zfi=90°,请写出aABC的两条“和

谐线段”的长.

(2)如图②，平行四边形ABCD中，AB=6,BC=8,28=60°,请直接写出该平行

四边形ABCC的“和谐线段”长的最大值和最小值；

问题解决

(3)如图③，四边形ABCO是某市规划中的商业区示意图，其中AB=2,CD-10,Z

A=135°,/B=90°,tanC=旦，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN(小道的

4

宽度不计)，入口M在8c上，出口N在C。上，使得MN为四边形ABCO“和谐线段”,

在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求是以CM为腰的等腰三角形,

28

请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）

【分析】（1）作△ABC的中线AE,BD,CF.线段BD,CF都是AABC的和谐线段.

（2）作AE_LBC于E,CFLA8于凡连接AC,8。交于点0.经过点0的中线都是平

行四边形48C。的“和谐线”.求出平行四边形对边之间的距离，对角线的从即可判断.

（3）构造直径三角形，求出四边形A8CO的面积，分两种情形分别求解即可.

【解答】解：（1）作△ABC的中线AE,BD,CF.线段AE,BD,CF都是△ABC的和谐

线段.

在Rt/XABC中，：/ABC=90°,AB=6,BC=8,

,，MC=V62+82=10,

BD--^AC—51AE=q62+<2=25/13,CF=Q§2+g2=J73.

(2)作AELBC于E,CFLAB于F,连接AC,8。交于点O.经过点。的中线都是平

在RtzMBE中，VZAEB=90°,AB=6,ZABE=60°,

：.AE=AB•sm60',=3«,

同法可求：b=4«,

平行四边形ABC。的“和谐线段”长的最小值为3d

作DH1.BC交BC的延长线于H.易知CH=BE=3,

29

在RtZYBZW中，9=痴2+8产J1]2+（加）2=2折

在RtZXACE中，AC=7AE2+EC2=7（3V3）2+52=

平行四边形A8CD的“和谐线段”长的最大值为2幅.

(3)如图③-1中，作DELBC于E,AFLDE于F.

:.DE=6,EC=8,

•.•四边形ABE尸是矩形，

：.AB=EF=2,

：.DF=4,

'：ZDAB=\3>5°,/BA尸=90°,

：.ZDAF=45°,

：.AF=BE=DF=4,

/.BC=4+8=12,

，S四边形ABCD=2・(2+6)X4+Ax6X8=40,

22

CH4

：.NH=^x,

5

•SAMNC=23

30

/.A*_^V*X=20,

25