2022年春眉山市仁寿一中高二数学（理）下学期期中考试卷附答案解析

2022年春眉山市仁寿一中高二数学(理)下学期期中考试卷

一、单选题

1.若％=(〃?2+m+l)+(〃?2+m-4)i,meR,Z2=3-2i,则帆=1是4=z2的

A.充分不必耍条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分又不必要条件

2.设a是实数，且三+二是实数，则〃=()

1+Z2

A.；B.1C.-D.2

22

3.从0,2中选一个数字.从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为

A.24B.18C.12D.6

4.已知函数f(x)在x=处可导，若lim/(」+3.)-/(/)=],则:(%)=

A—0Ax

A.1B.-C.3D.0

3

5.若椭圆[+9=1上一点/到焦点Q的距离为2,8为力尸/的中点，。是坐标原点，则|仍|的值为

()

A.1B.2C.3D.4

6.函数/(幻在其定义域内可导，y=/(")的图象如图所示，则导函数y=/'(x)的图象为

元素的个数是()

A.4B.7C.12D.16

8.函数F(x)=己/3+0/+。才在x=(处有极值，则ac+2Z?的值为()

A.-3B.0C.1D.3

2

9.己知实数4,他9构成一个等比数列，则圆锥曲线三+/=1的离心率为()

1

C.叵或不

B.不D.二或7

66

10.已知直线4：4x-3)，+6=0和直线/2：x=-l,抛物线y2=4x上一动点尸到直线4和直线4的距离之和

的最小值是

37

A.2B.3c-TD.16

11.若函数〃x)=V-12x在区间俏-1,左+1)上不是单调函数，则实数4的取值范围是()

A.(-co,-3]u[-B.(—3,—1)。(1,3)

C.(-2,2)D.不存在这样的实数左

12.设f(x),g(x)分别是定义在斤上的奇函数和偶函数，当水0时，f'(x)g(x)-/(x)g'(x)>0,且/X3)

=0,则不等式f(x)g(x)〈0的解集是()

A.(-3,0)U(3,+8)B.(-3,0)U(0,3)

C.(-8,-3)U(3,+8)D.(-8,-3)U(0,3)

二、填空题

14.若直线丫=履-1与双曲线/-丁=4始终只有一个公共点，则％取值范围是.

15.若函数=(1)•/+2%+5,则/(2)=.

16.设=+耳以~+26x+c,当xe(0,l)时取得极大值，当xw(1,2)时取得极小值，则。—2a—l的

取值范围为.

三、解答题

17.现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学

课外小组.

(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？

(3)推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法?

18.设函数f(x)=*3-gx?+6x-a.

(1)求函数/(0的单调区间.

(2)若方程〃刈=()有且仅有三个实根，求实数。的取值范围.

2

2,2

19.已知双曲线C:2•-马■-1、>0力>0)的两个焦点为尸:(一2,0),尸:(2,0),点。(3,J7)的曲线C上.

ab

(1)求双曲线C的方程；

(2)记。为坐标原点，过点。(0,2)的直线/与双曲线C相交于不同的两点反厂,若△敏的面积为2立,

求直线1的方程

20.设函数f(x)=2x3-3(a+l)x?+6ax(ae必.

(1)当〃=1时，求证：/Xx)为K上的单调递增函数；

(2)当x£[l,3]时，若/Xx)的最小值为4,求实数a的值.

22

21.已知椭圆a=+与=i(a>6>o)的焦点是(-G,。)、(百⑼，且由椭圆上顶点、右焦点和原点组成

ab"

的三角形面积为正.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P(0,4),M、N是椭圆C上关于y轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点反证

明：直线ME与3轴相交于定点.

22.已知函数/(x)=gar2-(2a+l)x+21nx(aeR).

(1)若曲线y=/("在x=l和x=3处的切线互相平行，求a的值

(2)讨论/(x)的单调区间；

(3)设g(x)=x2-2x,若对任意不«0,2],均存在々e(O,2],使得〃4)<8(%)，求。的取值范围.

3

【答案】

1.A

+iTi+]-3

【详解】试题分析：因为4=z2,所以｛,解得根=1或机=-2,所以加=1是4=z2的

frr+6一4二-2

充分不必要条件，故选A.

【解析】复数相等的概念与充要条件.

2.B

【解析】利用复数的四则运算化简原式,再根据复数是实数，令虚部为0,求〃的值.

a__«(!-«)_a

【详解】

T+7-(i+z)(i-z)--2-~2

因为言+号是实数，所以肛解得：。“故选：B

3.B

【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇.如果是第一

种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3种选择），之后十位（2种选择），最后百位（2种选择），共12

种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位（3种情况），十位（2种情况），百位（不能是0,一种情

况），共6种，因此总共12+6=18种情况.

4.B

【分析】根据导数的定义进行求解即可.

【详解】由已知可得lim=3Jim7伉+3.）-/伍）=3f，（）=1,

-Ax-3AY

所以尸（x0）=g.故选B.

【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算.

5.B【分析】设椭圆的另一个焦点为尸2,根据椭圆的定义得|Ag|=6-2=4,根据中位线定理即可求出|0到

的值.

【详解】因为椭圆9+y-，所以。=3,设椭圆的另一个焦点为心，则|4q=勿-2=6-2=4,

而是4Af；入的中位线，所以[0用=（1=2.故选：B.

61)

【详解】分析：根据函数单调性、极值与导数的关系即可得到结论.

4

详解：观察函数y=/(x)图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增.对应的导数

符号为正，负，正.，选项D的图象正确.

故选D.

点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，函数单调性与导数符号的对应关系是解题关键.

7.C

【详解】试题分析：尸*。中元素的确定，分两步，P中元素有3种选法，即a有3种选法，Q中元素即

b有4种选法，所以尸*。中元素的个数是3X4=12,故选C.

【解析】本题主要考查分步计数原理的应用.

点评：背景新颖的简单题，审清题意.

8.A【分析】利用=0来求得正确答案.

【详解】/(司=3.2+次+最依题意f(5)=3ax'+2bx：+c=O,

3+2b+ac八〜“

---------=0=ac+2b=-3.故选：A

a

9.C

【分析】根据等比中项可求〃?=±6,然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线，根据离心率的公

式即可求解.

【详解】实数4,加，9构成一个等比数列，可得机=±6,

当机=6时，圆锥曲线工+9=1为椭圆，则其离心率为：$=典.

mV66

当加=-6时，圆锥曲线上+丁=1为双曲线,其离心率为：也=近.故选：C.

m1

10A

【详解】直线L：x=-l为抛物线y?=4x的准线.由抛物线的定义知，P到1?的距离等于P到抛物线的

焦点F(1,O)的距离，故本题转化为在抛物线y?=4x上找一个点P,使得P到点F(1,O)和直线k的距离

之和最小，最小值为F(1,0)到直线k4x—3y+6=0的距离，即d=匹誓=2.

【分析】根据题意,导函数尸(x)在区间仅-1,%+1)上有正有负，所以/'(x)在区间("1M+1)上至少有

一个实数根，所以+1或左-1<一2<%+1,解不等式即可得解

5

【详解】由题意得，/'(x)=3x2-12=0在区间(Z-1M+1)上至少有一个实数根,

而/'(力=3/-12=0的根为x=±2,区间(&-1次+1)的长度为2,

故区间伏一1,女+1)内必含有2或一2.：.k-\<2<k+\^k-\<-2<k+\,

1<么<3或一,故选：B.

12.D

【分析】构造函数〃(x)=瑞，根据题意分析Mx)=零的单调性与奇偶性，进而得到〃x)g(x)<0的

解集即可.

【详解】构造函数因为〃(-%)=牛?=二”=-〃(、)，故人(耳为奇函数.

g(x)g(-x)g(x)

尸(x)g(x)-〃x)g(x)

又〃'(x)=.故当x<0时，/"x)>0,〃(x)单调递增.

铲⑴

又咐=噜=。,所以〃(力在(—,0)上为增函数，且力(-3)=0,

当3)时,/?(x)<0,此时f(x)g(x)〈0,因为函数〃(x)为奇函数,

当xe(0,3)时，/i(x)<0,此时FC0g(x)<0,

综上，不等式f(x)g(x)<。的解集是(一8,-3)U(0,3).故选：D

13.l-3i-3i+l

【分析】由复数的乘法运算求出三，再有共辄复数的定义求出复数z.

【详解】因为名=2+i,所以三=(2+i)(l+i)=2+3i+i2=l+3i,

故z=l-3i.故答案为：l-3i.

14.1士1,士更1

2

【分析】联立方程，根据方程根的个数即可求解.

[y=kx-\..

【详解】由，2.，消y可得(1-22)/+2丘-5=0,当1一公=0或.”，八八，解得

[x-y=4[-4K+20(l-Zr)=0

4=±1或太=±苴^,故答案为：，±1,±(^

22

15.2

【分析】先对函数求导，然后令x=l代入导函数中可求出F(1),从而可得导函数的关系式，进而可

求出f(2)的值

【详解】,：f{x)=x-2f'(1)A-+2,：.f(1)=l-2f(1)+2.

6

：.f(1)=1.：.f(x)=/-2x+2.：.f(2)=22—2X2+2=2.

故答案为：2

16.(1,6)

【分析】根据极值点与导函数的关系可得//'⑴<0,广(2)>0,进而可得6满足的范围，进而

根据目标函数的几何意义即可求解.

【详解】：f(x)ng/+；加+2bx+c,f'(x)=x2+ax+2b,

••・函数/(x)在区间(0,1)内取得极大值，在区间(1,2)内取得极小值

.■.f'M=/+or+⑦=0在(0,1)和(1,2)内各有一个根，

b>0

f'(0)>0,f'(l)<0,r(2)>0即，a+2b+l<0,

a+b+2>0

在“。〃坐标系中画出其表示的区域，如图，设z=b-2a-l,

当直线6=2«+1+2经过“(-1,0)时，该直线在y轴上的截距最小，最小值为1

••・M-3,1),当直线6=2a+l+z经过N(-3,l)时,该直线在y轴上的截距最大，最大值为6

故答案为：(1,6)

17.(1)34种；(2)5040种；(3)431种.

【分析】(1)从34人中任选1人即可，

(2)先求出从每个班选组长的方法数，然后由分步乘法原理求解，

(3)分六种情况：从一、二班学生中各选1人，从一、三班学生中各选1人，从一、四班学生中各选1

人，从二、三班学生中各选1人，从二、四班学生中各选1人，从三、四班学生中各选1人，求出各种

情况的方法数，然后利用分类加法原理求解

【详解】解：(1)根据题意，四个班共34人，要求从34人中，选其中一人为负责人，

即有34种选法

(2)根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有7种情况，

从二班选一名组长，有8种情况，从三班选一名组长，有9种情况，

从四班选一名组长，有10种情况，

7

所以每班选一名组长，不同的选法共有：7x8x9x10=5040（种）.

（3）根据题意，分六种情况讨论，

①从一、二班学生中各选1人，有7x8种不同的选法;

②从一、三班学生中各选1人,有7x9种不同的选法,

③从一、四班学生中各选1人，有7x10种不同的选法;

④从二、三班学生中各选1人，有8x9种不同的选法；

⑤从二、四班学生中各选1人，有8x10种不同的选法;

⑥从三、四班学生中各选1人，有9x1（）种不同的选法,

所以不同的选法共有：7x8+7x9+7*10+8x9+8*10+9x10=431（种）.

18.（1）增区间（-8,1）和（2,+oo）,减区间为（1,2）;（2）2<。<|

【详解】试题分析：⑴/㈤=—9工+6，解rW>。或（x）<0的解集；（2）先求极值点,

判断单调性，然后根据图形，判定x轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式.

试题解析：⑴/田=3/—%+6,当时，”>2或x<l.当_T（x）<0时，l<x<2.

（2）由（1）知，函数在（-8,1）为增，（L2）为减函数，（2,+8）为增函数，根据函数的图像特征，

判断x轴应在极值之间，由。得，2<^<|

【解析】1.导数的应用；2.函数的图像；3.函数的零点.

19.（1）双曲线方程为满足条件的直线/有两条，其方程分别为片任+2和

y=-41x+2

【详解】试题分析：（1）由双曲线焦点可得。值，进而可得到的关系式，将点P代入双曲线可得到。力

的关系式，解方程组可求得。力值，从而确定双曲线方程；（2）求直线方程采用待定系数法，首先设出

方程的点斜式，与双曲线联立，求得相交的弦长和。到直线的距离，代入面积公式可得到直线的斜率，

求得直线方程

a2+b2=4

试题解析：（1）由已知c=2及点尸（3,近）在双曲线C上得,32（"J

.7+-V=I

解得"=2,从=2；所以，双曲线C的方程为£=1.

22

（2）由题意直线/的斜率存在，故设直线/的方程为丫="+2

y=kx+2

由，/V2得（1-公卜2-4丘-6=0设直线/与双曲线C交于£（4/）、

-----=1

22

产（9,%），则为、巧是上方程的两不等实根，

8

.•.1一/2二0且4=16女2+24(1-k2)>0即公<3且二片1①

2.4k6

这时斗+尤2=匚F，》「々=一匚记

又SAOM=g|O。卜玉-々=］X2xX|卜|3-赴=2^2

即(西+/)-4X,X2=8；1］二公J+］_/=8

所以.二-公;佯-)即左4一公一2=0.-.(^+1)(^-2)=0

又公+1>0.-.k2-2=0:.k=±41适合①式

所以，直线/的方程为产衣:+2与丫=-上;(:+2.

20.(1)证明见解析(2)2

【分析】(1)当a=l时，对/(x)求导可得f'(x)WO即可证明.

(2)求导化简/''(x)=6(x—l)(x—a),讨论1和〃的大小，从而讨论导数的正负以确定函数的单调性,

从而求出最值，即可求出实数a的值.

【详解】(D证明：当a=l时，/'(X)=2x‘一6x：'+6x,

则/(x)=6/'-12x+6=6(x-1)，。，

为"上的单调增函数.

(2)f(x)=6/—6(a+1)x+6a=6(x—1)(x—a).

①当aWl时，f(x)在区间［1,3］上是单调增函数，

此时在［1,3］上的最小值为f(l)=3a—1,3a—1=4,a——,又因aWl,不满足舍去；

②当l<a<3时，f(x)在(1,a)上是减函数，在区间(a,3)上是增函数，

故在［1,3］上的最小值为/•(a)=2/—3(a+l)a?+6a2=4.

化简得(a+l)(a—2尸=0,；.a=—1<1(舍去)，或a=2；

③当a23时，f(x)在区间(1,a)上是减函数，故f(3)为最小值，，54—27(a+l)+18a=4,

解得。=啰23，因为。23,所以不满足舍去.综上可知，a=2.

2

21.⑴土r+丁=1⑵证明见解析

4-

【分析】(1)根据题意，利用焦点坐标以及三角形的面积可求出“力的值，即可求出椭圆。的方程.

(2)设N(x，y)、E(x2,y2K知(-不凹)，直线PN的方程为y=履+4,联立直线和椭圆方程，表示直

线ME的方程，令x=0求出直线ME与V轴的交点，即可得出答案.

0■)

【详解】⑴设椭圆C：5+与=13>6>0)的上顶点、右顶点和原点分别为民4。，半焦距为c,c=百,

ab

9

sABo=-b^=—，.•2=1，/=加+。2=4所以所求椭圆C的方程为《+丁=1

^Atsu224

V2=

⑵设N(x“x)、E(%,%)、M(-x„y,),直线PN的方程为y=^+4,则由，

y=kx+4

得：(1+4公)f+32京+60=0

直线/次：)一,=立一近(龙+玉)

x2+X]

当x=0时，y=小*.+%=必①

X]+x2百+x2

x(+4)+Xj(履2+4)_、+4(%+x)

2kxx2kxxz2所以直线ME与y轴相交于定点(0,；)

2

22.(1)a=~；(2)答案见解析；(3)a>ln2-l.

【分析】(1)求导，利用/'(1)=/'(3)求解即可；

(2)对导函数分解因式，分四种情况讨论单调区间；

(3)问题等价于(0,2]上有〃x)a<g(x)a，利用(2)中单调性结论求出/(x