2020-2021学年安徽省马鞍山市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

第=page11页，共=sectionpages11页第=page22页，共=sectionpages22页实用文档2020-2021学年安徽省马鞍山市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）某学校有教师100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，从低到高各年龄段分别抽取的人数为(    )A.7，5，8 B.9，5，6 C.6，5，9 D.8，5，7设复数z1=2−i，z2=−3+5i，则z1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于30km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(    )A.30km

B.302km

C.303km为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW⋅ℎ，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数(    )A.一定为5.5kW⋅ℎ B.高于5.5kW⋅ℎ

C.低于5.5kW⋅若复数z满足(z+1)i=1+i，则|z|=(    )A.−i B.1−i C.2 D.1设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列说正确的是(    )A.若a//α，b//α，则a//b

B.若a⊥b，α⊥β，a⊥α，则b⊥β

C.若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b

D.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b下列命题是假命题的是(    )A.数据1，2，3，3，4，5的众数、中位数相同

B.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，这两组数据中较稳定的是乙

C.一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的第85百分位数为5

D.对一组数据xi(i=1,2，3，…，n)，如果将它们变为xi+C(i=1,2，3，…，n)设e1，e2为基底向量，已知向量AB=e1−ke2，CB=2e1−e2，A.2 B.−3 C.−2 D.3已知正三棱锥P−ABC的底面边长为6，点P到底面ABC的距离为3，则三棱锥的表面积是(    )A.93 B.183 C.273 从集合{3,4，6}中随机地取一个数a，从集合{0,1，2，3}中随机地取一个数b，则向量m=(a,b)与向量n=(1,−2)垂直的概率为(    )A.112 B.16 C.14 在四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(−4,2)，则该四边形的面积为(

)A.5 B.25 C.5 D.10如图，空间几何体ABCDEFGH，是由两个棱长为a的正三棱柱组成，则异面直线BG和HE所成的角的余弦值为(    )A.−34

B.0

C.34

二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）若向量a=(1,2x)，b=(−2,2)，且a//b，则x的值是______已知复数z满足|z|=2，则|z−3−4i|的最小值为______．已知三棱锥A−BCD，AB⊥底面BCD，∠CBD=90°，AB=5，BC=3，BD=4，则三棱锥A−BCD的外接球表面积为______．如图，已知为O平面直角坐标系的原点，∠OAB=∠ABC=120°，|OA|=|BC|=2|AB|=2.则向量BC在向量OA上的投影向量为______．在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BM=13BC，AN=12AC，AM与BN交于点P三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）2021年4月30日，马鞍山市采石矶5A级旅游景区揭牌．为了更好的提高景区服务质量，景区管理部门对不同年龄层次的入园游客进行随机调查，收集数据如表：组别青少年组中年组老年组调查人数102010好评率0.70.60.9假设所有被调查游客的评价相互独立．

(1)求此次调查的好评率；

(2)若从所有评价为好评的被调查游客中随机选择1人，求这人是老年组的概率．

已知|a|=4，|b|=3，a⋅b=6．

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|a+2已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，且PD=CD=2，点M，N分别是棱AB和PC的中点．

(1)求证：MN//平面PAD；

(2)求三棱锥N−BCD的体积．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．

(1)证明：acosB+bcosA=c；

(2)若a=7，b=5，2c−bcosB=acosA.求△ABC的周长．

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点．

(1)证明：A1E⊥平面ABGH；

(2)求直线A

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：根据分层抽样原理知，不到35岁的应抽取45×20100=9(人)，

35岁到49岁的应抽取25×20100=5(人)，

50岁以上(包括50岁)的应抽取20−9−5=6(人)；

所以从低到高各年龄段分别抽取的人数为9、5、6．

故选：B．2.【答案】D

【解析】解：∵z1=2−i，z2=−3+5i，

∴z1−z2=2−i−(−3+5i)=5−6i，

∴z13.【答案】C

【解析】解：由题意得，AC=BC=30，∠ACB=120°，

由余弦定理得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos∠ACB

=900+900−2×30×30×(−12)=2700，∴AB=303，

即灯塔A与灯塔4.【答案】D

【解析】解：由样本的数字特征与总体的数字特征的关系，

可知全市居民用户日用电量的平均数约为5.5kW⋅ℎ，

故选：D．

由样本的数字特征估计总体的数字特征可以推测全市居民用户日用电量的平均数．

本题考查了样本的数字特征与总体的数字特征的关系，属于基础题．5.【答案】D

【解析】解：由(z+1)i=1+i，得z+1=1+ii=(1+i)(−i)−i2=1−i，

∴z=−i，则|z|=1．

故选：D．6.【答案】D

【解析】解：若a//α，b//α，则a//b或a与b相交或a与b异面，故A错误；

若a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b//α，又α⊥β，则b⊂β或b//β或b与β相交，相交也不一定垂直，故B错误；

若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b或a与b异面，故C错误；

若b⊥β，α⊥β，则b⊂α或b//α，又a⊥α，所以a⊥b，故D正确．

故选：D．

由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A；由空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直的关系判定B与D；由两平行平面内两直线的位置关系判断C．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．

7.【答案】D

【解析】解：对于A，数据1，2，3，3，4，5的众数为3、中位数为3，众数与中位数相同，故A正确；

对于B，甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则乙的方差为：

15[(5−7)2+(6−7)2+(9−7)2+(10−7)2+(5−7)2]=4.4，则这两组数据中较稳定的是乙，故B正确；

对于C，一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1，按从小到大排列为1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，

其第85百分位数为第9个数5，故C正确；

对于D，对一组数据xi(i=1,2，…，n)，它的平均数设为x−，标准差设为s，

∴x−=x1+x2+...+xnn，s2=1n[(x18.【答案】A

【解析】解：因为AB=e1−ke2，CB=2e1−e2，CD=3e1−3e2，

所以BD=CD−CB=e1−2e2，

若A，B，D三点共线，

则AB//9.【答案】B

【解析】解：由题意可作底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：13×32×6=3，

所以正三棱锥的斜高为：3+9=23，

所以这个正三棱锥的侧面积为：3×12×6×210.【答案】D

【解析】解：根据向量m=(a,b)与向量n=(1,−2)垂直，可得a−2b=0，即a=2b．

故从A中取a=4和6，对应地从B中取b=2和3，

故向量m=(a,b)与向量n=(1,−2)垂直的概率为C21C31⋅C21C411.【答案】C

【解析】【分析】本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．

通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．【解答】解：因为在四边形ABCD中，AC=(1,2)，BD=(−4,2)，AC⋅BD=0，

所以四边形ABCD的对角线互相垂直，

又|AC|=12+22

12.【答案】D

【解析】解：由题可知，三棱柱HCD−GFE和三棱柱BCF−AHG都是正三棱柱，

取BD中点O，连接OC，可以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，、

建立空间直角坐标系，如图所示：

可得G(0,−12a,a),E(0,12a,a)，H(0,−12a,0)，B(334a,−34a,12a)，13.【答案】−12【解析】解：向量a=(1,2x)，b=(−2,2)，且a//b，

所以−2×2x−1×2=0，解得x=−12．

故答案为：−12．14.【答案】3

【解析】解：∵复数z满足|z|=2，

∴点z表示以原点为圆心，2为半径的圆，

则|z−3−4i|表示z点对应的复数与点(3,4)之间的距离，

∵圆心O到点(3,4)之间的距离d=32+42=5，

∴|z−3−4i|的最小值为5−2=3．

故答案为：3．15.【答案】50π

【解析】解：如图，三棱锥A−BCD的顶点都在长为4，宽为3，高为5的长方体上，

所以外接球半径R满足(2R)2=42+32+52=50，所以球的面积为4πR2=50π．

故答案为：50π．16.【答案】(−1,0)

【解析】解：设B(x1,y1)，C(x2,y2)，A(2,0)，

x1=2+|AB|cos(180°−∠OAB)

y1=|AB|sin(180°−∠OAB)

x2=x1−|BC|cos(∠OAB+∠ABC−180°)，

y2=|BC|17.【答案】0

【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系，

∵AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BM=13BC，AN=12AC，

∴A(0,0)，C(4,0)，N(2,0)，B(1,3)，M(2,233)，

由图可得，∠MPN为向量AM与向量PN的夹角，

∵AM=(2,233)，BN=(1,−3)，

又∵AM⋅BN=2×1+18.【答案】解：(1)由题意得：

此次调查的好评率为：10×0.7+20×0.6+10×0.910+20+10×100%=70%．

(2)从所有评价为好评的被调查游客中随机选择1人，

这人是老年组的概率为P=10×0.9【解析】(1)利用加权平均数能求出此次调查的好评率．

(2)利用古典概型能求出这人是老年组的概率．

本题考査概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19.【答案】解：因为|a|=4，|b|=3，a⋅b=6，

所以cosθ=a⋅b|a||b|=64×3【解析】(1)利用向量的夹角公式即可求解．

(2)通过向量的模的平方等于向量的数量积即可求解向量的模．

本题考查向量的数量积公式的应用，向量模的求法，属于基础题．

20.【答案】解：(1)证明：取PD中点H，连接AH，NH，

∵N，H为中点，∴NH//DC//AB，HN=12DC=AM，

∴四边形AMNH为平行四边形，

∴MN//AH，MN⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，∴MN//平面PAD；

(2)三棱锥N−BCD的体积V=1【解析】(1)取PD的中点H，连接AH，NH，要证MN//平面PAD，只要证MN//AH即可；

(2)利用PD是三棱锥P−DCB的高PD=2，三棱锥N−BCD的体积是P−BCD的体积的一半．

本题考查了几何体棱锥中线面平行以及棱锥体积的求法，属于中档题．

21.【答案】解：(1)证明：由题意得acosB+bcosA=a⋅a2+c2−b22ac+b⋅b2+c2−a22bc=a2+c2−b2+b2+c2−a22c=c

所以acosB+bcosA=c，得证．

(2)因为2c−bcosB=acosA，

所以2ccosA=bcosA+acosB【解析】(1)由余弦定理化简已知等式即可求解．

(2)若选①.由(1)化简已知等式可得cosA=12，结合A∈(0,π)，可得A的值，进而利用余弦定理可得c2−5c−24=0，解方程可得c的值，即可得解三角形的周长；22.【答案】(1)证明