适用于新教材2023版高中数学单元素养检测三第八章成对数据的统计分析新人教A版选择性必修第三册

PAGE单元素养检测(三)(第八章)(90分钟120分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列关于χ2独立性检验的说法正确的是 ()A.用χ2独立性检验推断的结论可靠,不会犯错误B.用χ2独立性检验推断的结论可靠,但会犯随机性错误C.χ2独立性检验的方法适用普查数据D.对于不同的小概率值α,用χ2独立性检验推断的结论相同【解析】选B.对于A,独立性检验取决于样本,用χ2来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系”,样本不同,所得结果会有差异,不会犯错误的说法太绝对,A错;对于B,用χ2独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误,B正确;对于C,根据普查数据,我们可以通过相关的比率给出准确回答,不需要用χ2独立性检验,依据小概率值推断两个分类变量的关联性,所以χ2独立性检验的方法不适用普查数据,C错;对于D,对于不同的小概率值,结论可能不相同,有时有把握,有时无把握,把握率不同,D错误.2.从某大学中随机选取8名女大学生,其身高x(单位:cm)与体重Y(单位:kg)数据如表:x165165157170175165155170Y4857505464614359若已知Y与x的经验回归方程为=0.85x-85.71,那么选取的女大学生身高为175cm时,相应的残差为 ()A.-0.96 B.0.96C.63.04 D.-4.04【解析】选B.已知Y与x的经验回归方程为=0.85x-85.71.当x=175时,=63.04.相应的残差为:64-63.04=0.96.3.在对人们休闲方式的一次调查中,根据数据建立2×2列联表:性别休闲合计看电视运动男82028女161228合计243256为了判断休闲方式是否与性别有关,根据表中数据,得到χ2=56×8×12-20×16228×28×24×32≈4.667(参考数据:P(χ2≥3.841)≈0.05,P(χ2≥6.635)≈0.01)A.0.001 B.0.01C.0.05 D.0.005【解析】选C.结合题意和独立性检验的结论,由于4.667>3.841,故这种判断出错的概率不大于0.05.4.针对时下的“短视频热”,某校团委对“学生性别和喜欢短视频是否有关”做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢短视频的人数占男生人数的56,女生喜欢短视频的人数占女生人数的23,若有95%的把握认为是否喜欢短视频和性别有关,则调查中男生的人数可能为 (临界值表:α0.0500.010xα3.8416.635附:χ2=n(A.30 B.54 C.62 D.75【解析】选B.设男生的人数为6n(n∈N*),则女生的人数也为6n.根据题意列出2×2列联表:短视频性别合计男生女生喜欢5n4n9n不喜欢n2n3n合计6n6n12n则χ2=12n×(由于有95%的把握认为是否喜欢短视频和性别有关,则3.841≤χ2<6.635,即3.841≤4n9<6.635,得8.64225≤n<14.92875,因为n∈N*,则n的可能取值有9,10,11,12,13,14,因此,调查中男生人数的可能值为5.2020年初,新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来,各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某地开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示:周数(x)12345治愈人数(Y)2173693142由表格可得Y关于x的二次回归方程为=6x2+a,则此回归模型第4周的残差(观测值与预测值之差)为 ()A.5 B.4 C.1 D.0【解析】选A.设t=x2,则t=15(1+4+9+16+25)=11,y=15(2+17+36+93+142)=58,a=58-6×11=-8,所以=6x2-8.令x=4,得e4=y4-4=93-6×42+8=5.6.在变量Y与x的回归模型中,它们对应的相关系数r的值如表,其中拟合效果最好的模型是 ()模型1234r0.480.150.960.30A.模型1 B.模型2C.模型3 D.模型4【解析】选C.线性回归分析中,相关系数为r,r越接近于1,相关程度越大;r越小,相关程度越小,因为模型3的相关系数r最大,所以拟合效果最好.7.(2020·全国Ⅰ卷)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是 ()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnx【解析】选D.由散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a+blnx.8.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用过血清的人与另外500名未使用过血清的人一年中的感冒记录进行比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算得χ2≈3.918,经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.对此,有以下四个结论,其中正确的是 ()A.依据小概率值α=0.05的独立性检验,可以认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B.若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒C.这种血清预防感冒的有效率为95%D.这种血清预防感冒的有效率为5%【解析】选A.因为χ2≈3.918,P(χ2≥3.841)≈0.05,所以依据小概率值α=0.05的独立性检验,可以认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.下列叙述正确的是 ()A.相关关系是一种确定性关系,一般可分为正相关和负相关B.经验回归直线一定过样本点的中心xC.在回归分析中,R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好D.某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x℃的关系,得到经验回归方程=-2.35x+146.7,则气温为2℃时,一定可卖出142杯热饮【解析】选BC.对于A:相关关系是不确定的关系,故A错误;对于B:经验回归直线必过样本中心,故B正确;对于C:决定系数越大,相关性越强,故R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好,故C正确;对于D:根据经验回归直线,可预测大概卖出142杯,而不是一定卖出142杯,故D错误.10.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度,随机调查了50名男生和50名女生,每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价,得到相应的列联表.经计算χ2≈4.762,则可以推断出 ()性别服务合计满意不满意男302050女401050合计7030100α0.10.050.01xα2.7063.8416.635A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3B.调研结果显示,该学校男生比女生对食堂服务更满意C.在犯错误的概率不大于0.05的前提下推断男、女生对该食堂服务的评价有差异D.在犯错误的概率不大于0.01的前提下推断男、女生对该食堂服务的评价有差异【解析】选AC.对于选项A,该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为3030+20=35,故A正确;对于选项B,该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为4040+10=45>35,故B错误;因为χ2≈4.762>3.841=x0.05,所以在犯错误的概率不大于0.05的前提下推断男、女生对该食堂服务的评价有差异,故11.下列结论正确的有 ()A.若随机变量ξ,η满足η=2ξ+1,则D(η)=2D(ξ)+1B.若随机变量ξ~N(3,σ2),且P(ξ<6)=0.84,则P(3<ξ<6)=0.34C.若样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)线性相关,则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点(x,y)D.根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到χ2=4.712.依据α=0.05的独立性检验(x0.05=3.841),可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05【解析】选BCD.对A,由方差的性质可知,若随机变量ξ,η满足η=2ξ+1,则D(η)=22D(ξ)=4D(ξ),故A错误;对B,根据正态分布的图象对称性可得P(3<ξ<6)=P(ξ<6)-0.5=0.34,故B正确;对C,根据回归直线过样本中心点可知C正确;对D,由χ2=4.712>3.841可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05,故D正确.12.下列说法正确的是 ()A.在经验回归方程=-0.85x+2.3中,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均减少2.3个单位B.两个具有线性相关关系的变量,决定系数R2的值越接近于0,则这两个变量的相关性就越强C.若两个变量的决定系数R2=0.88,则说明预测值的差异有88%是由解释变量引起的D.在经验回归方程=-0.85x+2.3中,相对于样本点1,1.2的残差为【解析】选CD.对于A,根据经验回归方程,当解释变量x每增加1个单位时,响应变量平均减少0.85个单位,A错误;对于B,当决定系数R2的值越接近于1,两个变量的相关性就越强,B错误;对于C,由决定系数R2的意义可知C正确;对于D,当解释变量x=1时,预测值=1.45,则样本点(1,1.2)的残差为-0.25,D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如表:性别专业合计非统计专业统计专业男131023女72027合计203050为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,计算得到χ2=(保留三位小数),所以判定(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系.

【解析】根据提供的表格得χ2=50≈4.844>3.841=x0.05.所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系.答案:4.844能14.某工厂为研究某种产品产量x(吨)与所需某种原材料Y(吨)的相关性,在生产过程中收集4组对应数据(x,Y),如表所示:(残差=观测值-预测值)x3456Y2.534m根据表中数据,得出Y关于x的经验回归方程为:=0.7x+.据此计算出在样本(4,3)处的残差为-0.15,则表中m的值为.

【解析】根据题意计算出在样本(4,3)处的残差为-0.15,可得=3.15,则当x=4时,3.15=0.7×4+,所以=0.35,由题意可知:产量x的平均值为x=14(3+4+5+6)=4.5,由经验回归方程为=0.7x+过样本中心点(x,Y),则Y=0.7×4.5+=3.15+,所以=Y-3.15=14(9.5+m)-3.15,解得m=4.5.答案:4.5【补偿训练】1.(2020·武昌高二检测)有人收集了七月份的日平均气温t(摄氏度)与某冷饮店日销售额y(百元)的有关数据,为分析其关系,该店做了五次统计,所得数据如表:日平均气温t(摄氏度)3132333435日销售额y(百元)567810由资料可知,y关于t的线性回归方程是=1.2t+,给出下列说法:①=-32.4;②日销售额y(百元)与日平均气温t(摄氏度)成正相关;③当日平均气温为33摄氏度时,日销售额一定为7百元.其中正确说法的序号是.【解析】已知y关于t的线性回归方程是=1.2t+,由t=31+32+33+34+355=33,y=5+6+7+8+105=7.代入上式7.2=1.2×33+,得=-32.4,故①正确,因为k=1.2>0,故正相关,②正确,当t=33时,y不一定为7,故③错误,答案:①②2.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到数据如表

单价x/元88.28.48.68.89销量Y/件908483807568由表中数据,求得经验回归方程为=-20x+.若在这些样本中任取一点,则它在经验回归直线左下方的概率为.【解析】由表格数据可知:x=8+8.2+8.4+8.6+8.8+9因为=-20,=Y-x,所以=80+20×8.5=250,所以经验回归方程为=-20x+250.分别将6个点的横坐标代入方程得到的小于其观测值的点有8.2,84,9,68两个点,则在这些样本点中任取一点,共有6种不同的取法,其中恰好在经验回归直线左下方的共有2种不同的取法,故满足条件的概率P答案:

115.以模型y=ea+bx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny,其变换后得到线性回归方程为z=2x+2ln2,则a=.

【解析】y=ea+bx,两边取以e为底的对数得z=lny=bx+a,依题意可知z=2x+2ln2,所以a=2ln2.答案:2ln216.下列四个命题:①在线性回归分析中,相关系数r的取值范围是(-1,1);②在线性回归分析中,相关系数r的值越大,变量间的相关性越强;③在线性回归分析中,相关系数r>0时,两个变量正相关;④在对两件事进行独立性检验时,用χ2作为统计量,χ2越大,则能判定两件事有关联的把握越大.其中真命题的序号是.

【解析】对于①,在线性回归分析中,相关系数r的取值范围是[-1,1],①错误;对于②,在线性回归分析中,相关系数r的绝对值越接近1,变量间的相关性越强,②错误;对于③,在线性回归分析中,相关系数r>0时,两个变量正相关,③正确;对于④,由独立性检验的知识可知④正确.答案:③④四、解答题(本大题共4个小题,共40分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知某种商品的价格x(单位:元)与需求量y(单位:件)之间的关系有如下一组数据:x1416182022y1210753求y关于x的经验回归方程,并借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏.经验回归方程=x+中,残差平方和∑i=1n(yi-i)2,决定系数R2=1-【解析】x=15×(14+16+18+20+22)=18,y=15×(12+10+7+5+3)=7所以=620-5×18=7.4+1.15×18=28.1,所以所求经验回归方程是=-1.15x+28.1.列出残差表为yi-i00.3-0.4-0.10.2yi-y4.62.6-0.4-2.4-4.4所以∑i=1n(yi-i)2=0∑i=1n(yi-yi)2=53.2,R2=1-≈0.18.(10分)某大学读书协会为了解本校大学生网上阅读与传统纸质阅读的情况,调查了该大学1000名大学生(男、女各占一半),就偏向网上阅读和偏向传统纸质阅读的情况做了调查记录.记录显示,偏向网上阅读的男大学生比偏向传统纸质阅读的男大学生多300人,这1000名大学生中,偏向传统纸质阅读的大学生共有400人.(1)根据题意,完成2×2列联表:性别阅读方式合计偏向网上阅读偏向传统纸质阅读男女合计1000(2)依据小概率值α=0.001的独立性检验,推断该大学的大学生的阅读方式与性别是否有关联.附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(cα0.050.010.001xα3.8416.63510.828【解析】(1)根据题意,该大学1000名大学生中(男、女各占一半),偏向网上阅读的男大学生比偏向传统纸质阅读的男大学生多300人,这1000名大学生中,偏向传统纸质阅读的大学生共有400人,可得2×2列联表如表:性别阅读方式合计偏向网上阅读偏向传统纸质阅读男400100500女200300500合计6004001000(2)由(1)中的表格中的数据,可得χ2=1000(400×300-200×100)2根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断该大学的大学生的阅读方式与性别有关联.19.(10分)某电商平台为某农产品公司的滞销产品开设直播带货专场,为了对该产品进行合理定价,用不同的单价在平台试销,得到如下数据:单价x(元/件)98.88.68.48.28销量y(万件)687580838490(1)根据以上数据,求y关于x的经验回归方程;(2)若单价定为7.4元,试预测一场直播带货销量能否超过100万件.【解析】(1)x=9+8.8+8.y=68+75+80+83+84+906∑i=16(xi-x)(yi-y)=(9-8.5)×(68-80)+(8.8-8.5)×(75-80)+(8.6-8.5)×(80-80)+(8.4-8.5)×(83-80)+(8.2-8.∑i=16(xi-x)2=(9-8.5)2+(8.8-8.5)2+(8.6-8.5)2+(8.4-8.5)2+(8.2-8.5)2+(8-8.5)2所以=∑i=1n(所以=y-x=80+20×8.5=250,所以经验回归方程为=-20x+250.(2)若单价定为7.4元,则=-20×7.4+250=102>100,所以若单价定为7.4元,一场直播带货销量能超过100万件.【补偿训练】某航空公司规定:国内航班(不构成国际运输的国内航段)托运行李每件质量上限为50kg,每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm,其中头等舱乘客免费行李额为40kg,经济舱乘客免费行李额为20kg.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查,得到如下数据:携带行李质量(kg)(0,20](20,30](30,40](40,50]头等舱乘客人数833122经济舱乘客人数37530合计4538152(1)请完成2×2列联表,试根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析托运超额行李与乘客乘坐座位的等级是否有关;(2)调研小组为感谢参与调查的旅客,决定从托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客中随机抽取2人赠送“100元超额行李补助券”,求这2人中至少有1人是头等舱乘客的概率.参考公式χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【解析】(1)根据表格中数据,可得头等舱乘客托运免费行李的人数为8+33+12=53(人),头等舱乘客托运超额行李的人数为2人,经济舱乘客托运免费行李的人数为37人,经济舱乘客托运超额行李的人数为5+3=8(人),可得2×2列联表如表:乘客托运免费行李托运超额行李合计头等舱53255经济舱37845合计9010100因为χ2=100×(53×8-2×37)290×10×55×45=4900891(2)由题意可知托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客有7人,其中头等舱乘客有2人,记为A,B,经济舱乘客有5人,记为a,b,c,d,e.从这7人中随机抽取2人的情况有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ae,Ba,Bb,Bc,Bd,Be,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共21种,其中符合条件的情况有AB,Aa,Ab,Ac