适用于新教材2023版高中数学课时素养检测十三二项分布新人教A版选择性必修第三册

PAGE十三二项分布(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2022·潮州高二检测)已知随机变量X服从二项分布B4,12,则DX=A.3 B.4 C.2 D.1【解析】选D.因为随机变量X服从二项分布B4,12,所以DX=np(1-p)=4×122.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次,设X表示向上一面出现6点的次数,则X的数学期望E(X)的值为 ()A.13 B.49 C.59 【解析】选D.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次,向上一面出现6点的概率为16,因为X~B4,16,所以E(X)=4×16=2【补偿训练】如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下后,将与层层小木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等,则小球最终落入④号球槽的概率为 ()A.332 B.C.532 D.【解析】选D.设这个球落入④号球槽为事件A,落入④号球槽要经过两次向左,三次向右,所以P(A)=C5313.随机变量ξ服从二项分布ξ~B(n,p),且E(ξ)=300,D(ξ)=200,则p等于 ()A.23 B.13 C.1【解析】选B.因为ξ~B(n,p),所以E解得n即p等于13【补偿训练】若随机变量X服从二项分布,即X~B4,23,则A.P(X=1)=P(X=3)B.P(X=2)=2P(X=1)C.P(X=2)=P(X=3)D.P(X=3)=4P(X=1)【解析】选D.由题意,根据二项分布中概率的计算公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-则有P(X=1)=C412P(X=2)=C42232P(X=3)=C432因此有P(X=3)=4P(X=1).4.设X为随机变量,X~Bn,13,若随机变量X的数学期望E(X)=2,则P(X=2)等于A.80243 B.13243 C.4【解析】选A.因为E(X)=13n=2,得n即X~B6,所以P(X=2)=C62×132×5.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)= ()A.85 B.65 C.45 【解析】选B.由题意知,X~B5,所以E(X)=5×3m+3=3,解得所以X~B5,所以D(X)=5×35×1-36.(多选题)(2022·重庆高二检测)随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,则 ()A.p=0.2 B.p=0.4C.DX=16 D.D2X【解析】选ACD.由题意,随机变量X~B100,p,且EX=20,可得100p=20,所以p=0.2,DX=100×0.2×(1-0.2)=16,D2X-1二、填空题(每小题5分,共10分)7.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层有6位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13,用X表示这6位乘客在第20层下电梯的人数,则P(X=4)=【解析】考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是6次独立重复试验,故X~B6,13.即有P(X=k)=C6k1所以P(X=4)=C64134答案:208.设随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则n=,p=.

【解析】因为X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,所以E(X)=1.6=np,①D(X)=1.28=np(1-p),②①与②相除可得1-p=1.281所以p=0.2,n=1.6答案:80.2三、解答题(每小题10分,共30分)9.某人投弹击中目标的概率为P=0.8.(1)求投弹一次,击中次数X的均值和方差;(2)求重复投弹10次,击中次数Y的均值和方差.【解析】(1)由已知,X服从两点分布,因为P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.8,所以E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.所以D(X)=(0-0.8)2×0.2+(1-0.8)2×0.8=0.16.(2)由已知,击中次数Y服从二项分布,即Y~B(10,0.8),所以E(Y)=np=10×0.8=8,D(Y)=10×0.8×0.2=1.6.10.(2022·滨海高二检测)某篮球运动员投篮的命中率为0.2,现投了3次球.(1)求恰有2次命中的概率;(2)求至多有1次命中的概率;(3)设命中的次数为X,求E(X).【解析】(1)某篮球运动员投篮的命中率为0.2,则未命中的概率为1-0.2=0.8,现投了3次球,恰有2次投中的概率为P=C32×0.22×0.8=0(2)至多有1次投中的概率为P=C30×0.83+C31×0.21×0.8(3)由题意可知X~B3,所以EX=3×0.2=0.6.11.(2022·天津高二检测)甲、乙两人参加某种选拔测试,在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是35,乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.甲、乙两人的答题情况相互独立(1)求甲得分的分布列和数学期望;(2)求甲、乙两人同时入选的概率.【解析】(1)设甲答对的题目数量为随机变量X,则X~B3,得分为随机变量Y,P(X=0)=253=8125,P(X=1)=C31×351×252=36125,P(X=2)=C32×352×251=54125,P(X=3)=353=27Y-1501530P8365427E(Y)=-15×8125+0×36125+15×54125+30×(2)设乙入选的事件为A,则P(A)=C52C甲入选的概率为54125+27125=甲、乙同时入选的概率为81125×12=(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.设随机变量X~B(2,p),随机变量Y~B(3,p),若P(X≥1)=59,则D(3Y+1)= (A.2 B.3 C.6 D.7【解析】选C.因为随机变量X~B2,所以PX≥1=1-P(X=0)=1-C20(1-p)解得p=13,所以D(Y)=3×13×23所以D(3Y+1)=9D(Y)=9×23=62.小智参加三分投篮比赛,投中1次得1分,投不中扣1分,已知小智投篮命中率为0.5,记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ,则D(|ξ|)为 ()A.38 B.34 C.32 【解析】选B.由已知ξ=-3,3,-1,1,其中P(ξ=3)=P(ξ=-3)=0.53,P(ξ=1)=P(ξ=-1)=C32(0.5)3=3×0.53,故随机变量|ξ|ξ|13P6×0.532×0.53故E(|ξ|)=6×0.53+3×2×0.53=1.5,D(|ξ|)=(1.5-1)2×6×0.53+(3-1.5)2×2×0.53=0.75.3.(2022·深圳高二检测)已知随机变量X~B(4,p),若P(X≥1)=6581,则E(X)+D(X)= (A.43 B.89 C.209【解析】选C.因为X~B(4,p),P(X≥1)=6581,所以P(X=0)=1-6581=所以C40p0(1-p)4=1681,所以1-p=23,所以p=13,所以E(X)=43,D(X)=43×1-13=89,所以E(X4.(多选题)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则 ()A.X~B4,23B.P(X=2)=8C.X的期望E(X)=8D.X的方差D(X)=8【解析】选ACD.从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球记1分,取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,所以随机变量X服从二项分布X~B4,23,故A正确;X=2,记其概率为P(X=2)=C42232·132=2481,故B错误;因为X~B4,23,所以X的期望E(X)=4×23=83,故C正确;因为X~B4,23,所以X的方差D(X)=4×23×13=89,故二、填空题(每小题5分,共20分)5.设随机变量ξ服从二项分布ξ~B6,12,则P(ξ≤2)【解析】因为随机变量ξ服从二项分布ξ~B6,12,所以P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=C60126+答案:116.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=59,则D(η)=【解析】因为ξ~B(2,p),P(ξ≥1)=59所以P(ξ≥1)=1-P(ξ<1)=1-(1-p)2=59解得p=13,所以η~B4所以D(η)=4×13×23=答案:8【补偿训练】(2020·石家庄高二检测)一批排球中正品有m个,次品有n个,m+n=10(m≥n),从这批排球中每次随机取一个,有放回地抽取10次,X表示抽到的次品个数.若D(X)=2.1,从这批排球中随机取两个,则至少有一个正品的概率p=.

【解析】由已知,X~B10,n10,则方差D(X)=10×n10×1-n10=2.1,又m+n=10(m≥n),则n≤5,所以解得n=3,所以所求的概率为p=1-C32C10答案:147.从装有大小完全相同的m个白球、n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取3次,记摸取的白球个数为X,若E(X)=1,则m=,PX≥2=【解析】由题意知:摸到白球的概率为m6,则X~B3,m6,则E(X)=3×m摸到白球的概率为13,则PX≥2=PX=2+PX=3=C32×132答案:278.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5,0.6,0.4,经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75;则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为;经过前后两次烧制后,合格工艺品的件数为ξ,则随机变量ξ的期望为.

【解析】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为P=0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1-0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4=0.38.甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为P1=0.5×0.6=0.3,P2=0.6×0.5=0.3,P3=0.4×0.75=0.3.故Eξ=0.3×3=0.9.答案:0.380.9三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·中山大学附属中学高二检测)在一个袋子里有大小一样的5个小球,其中有3个红球和2个白球.(1)现有放回地每次从中摸出1个球,连摸3次,设摸到红球的次数为X,求随机变量X的概率分布及方差;(2)现无放回地依次从中摸出1个球,连摸2次,求第二次摸出白球的概率.【解析】(1)由题意知X~B3,35.所以P(X=0)=253=8125,P(X=1)=C31×35P(X=2)=C32352×25=54125,P所以X的分布列为X0123P8365427D(X)=3×35×25=(2)记“第一次摸出白球”为事件A1,“第一次摸出红球”为事件A2,“第二次摸出白球”为事件B,则P(A1)=25,P(A2)=35,PA1B=25×14=110,PA所以第二次摸出白球的概率为PA1B+PA2B=11010.如图,在数轴上,一个质点在外力的作用下,从原点O出发,每次等可能地向左或向右移动一个单位,质点到达位置的数字记为X.(1)若该质点共移动2次,位于原点O的概率;(2)若该质点共移动6次,求该质点到达数字X的分布列和数学期望.【解析】(1)质点移动2次,可能的结果共有2×2=4种,若质点位于原点O,则质点需要向左、右各移动一次,共有C21=2故质点位于原点O的概率P=24=1(2)质点每次向左或向右移动,设事件A为“向右”,则A为“向左”,故P(A)=P(A)=12设Y表示6次移动中向左移动的次数,则Y~B6,12,质点到达的数字X所以P(X=6)=P(Y=0)=C60126=164,P(X=4)=P(Y=1)=C61126=332,P(X=2)=C62126=1564,P(X=0)=P(Y=3)=C63126=516,P(X=-2)=P(Y=4)=C641P(X=-4)=P(Y=5)=C65126=3P(X=-6)=P(Y=6)=C66126=1所以X的分布列为X-6-4-20246P131551531E(X)=E(6-2Y)=-2E(Y)+6=-2×6×12+6=0【补偿训练】全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近视眼发病率为22.78%,初中生为55.22%,高中生为70.34%.影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素,主要原因是环境因素.学生长时期近距离的用眼状态,加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视.除了学习,学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动,都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况,现从某地区随机抽取16名学生,调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况为:4.3,4.5,4.6,4.6,4.6,4.7,4.7,4.7,4.8,4.8,4.9,4.9,5.0,5.1,5.1,5.2.(1)写出这组数据的众数和中位数;(2)若视力测试