适用于新教材2023版高中数学课时素养检测十四超几何分布新人教A版选择性必修第三册

PAGE十四超几何分布(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知8件产品中有2件次品,从中任取3件,取到次品的件数为随机变量,用ξ表示,那么ξ的取值为 ()A.0,1 B.1,2C.0,1,2 D.0,1,2,3【解析】选C.由已知,从8件产品中有2件次品,从中任取3件,取到次品的件数为随机变量,可得随机变量ξ的取值可以是0,1,2.2.从一副不含大小王的52张扑克牌(即A,2,3,…,10,J,Q,K不同花色的各4张)中任意抽出5张,恰有3张A的概率是 ()A.C482C525 B.A482A525【解析】选C.设X为抽出的5张牌中含A的张数,可知X服从超几何分布,其中N=52,n=5,M=4,则PX=3=C3.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则PX≤1= (A.34 B.57 C.45 【解析】选B.根据题意,PX≤1=PX=0+PX=1=C53C834.已知5件产品中有2件次品,3件正品,检验员从中随意抽取2件进行检测,记取到的正品数为ξ,则数学期望E(ξ)为 ()A.45 B.910 C.1 【解析】选D.方法一:ξ可能取0,1,2,其对应的概率为P(ξ=0)=C22C52=110,P(ξ=1)=C21C31所以E(ξ)=0×110+1×610+2×310方法二:由题可知,ξ服从超几何分布,故E(ξ)=2×35=65.有8名学生,其中有5名男生.从中选出4名代表,选出的代表中男生人数为X,则其数学期望E(X)= ()A.2 B.2.5C.3 D.3.5【解析】选B.随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=C5kC3所以,随机变量X的分布列为X1234P1331随机变量X的数学期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×16.(多选题)下列随机变量中,服从超几何分布的有 ()A.抛掷三枚骰子,向上面的点数是6的骰子的个数XB.有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,试验中发芽的种子的个数XC.盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球,任取3个球,不是红球的个数XD.某班级有男生25人,女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动,班长必须参加,其中女生的人数X【解析】选CD.AB是重复试验问题,服从二项分布,不服从超几何分布,故AB不符题意;CD符合超几何分布的特征,样本都分为两类,随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数,服从超几何分布.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在含有3件次品的20件产品中,任取2件,则取到的次品数恰有1件的概率是.

【解析】由题意得:20件产品中,有3件次品,17件正品,故任取2件,恰有1件是次品的概率P=C31C171答案:518.一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球m∈N*,从中任取3个球.记取出的白球个数为ξ,若Pξ=1=15,则m=,【解析】根据题意,取出的三个球中恰好有一个白球的概率为Pξ=1=C2m1Cm2C3m3=15,解得m=2;所以袋中有2个红球,4个白球,Pξ=3=C43C63=15,所以Eξ=1×答案:22三、解答题(每小题10分,共20分)9.现有10张奖券,其中8张2元的、2张5元的,从中同时任取3张,求所得金额的分布列.【解析】设所得金额为X,则X的所有可能取值为6,9,12.P(X=6)=C83C20C103=715P(X=12)=C81C故X的分布列为X6912P77110.(2022·大同高二检测)学校某社团招收新成员,需要进行一些专业方面的测试.现有备选题5道,规定每次测试都从备选题中随机抽出2道题进行测试,至少答对1道题就被纳入.每位报名的人员能否被纳入是相互独立的.若甲能答对其中的3道题,乙能答对其中的2道题.求:(1)甲、乙两人至少一人被纳入的概率;(2)甲答对试题数X的分布列和数学期望.【解析】(1)设甲、乙两人被纳入分别为事件A,B,则P(A)=1-1C52=910,PB=1-则甲、乙两人至少一人被纳入的概率为1-PAB=1-1-9(2)依题意,X的所有可能取值为0,1,2,则PX=0=C22C52=110,PX=1=C21C3则X的分布列为X012P133所以甲答对试题数X的数学期望EX=0×110+1×35+2×310(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.一批产品共50件,次品率为4%,从中任取2件,则含有1件次品的概率为 ()A.0.078 B.0.78 C.0.0078 D.0.022【解析】选A.由于次品率为4%,故次品数为50×4%=2,正品数为50-2=48,故从中任取2件,含有1件次品的概率为C21C481C2.一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球,从中不放回地取出3个球,则取出白球个数的数学期望是 ()A.47 B.97 C.127 【解析】选B.依题意,取出3个球中白球个数X为随机变量,P(X=k)=C3kC43-kC73,k∈N,k≤3,X服从超几何分布3.某地7个村中有3个村被评为“美丽乡村”,现从中任意选3个村,下列事件中概率等于67的是 (A.至少有1个是“美丽乡村”B.有1个或2个是“美丽乡村”C.有2个或3个是“美丽乡村”D.恰有2个是“美丽乡村”【解析】选B.用X表示这3个村庄中的美丽乡村数,X服从超几何分布,故PX=k=所以PX=0=C43PX=1=C42PX=2=C41PX=3=C40PX=1+PX=2=【补偿训练】一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中的女生人数为变量X,男生的人数为变量Y,则PX=2+P(Y=2)等于 (A.CB.CC.CD.C【解析】选C.由题得P(X=2)=C102C201C303,P(Y=2)=C101=C104.(多选题)下列随机变量中,服从超几何分布的有 ()A.在10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,记取到的次品数为XB.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的个数为随机变量XD.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动,其中选出男生的人数记为X【解析】选ABD.依据超几何分布模型的定义可知,试验必须是不放回地抽取n次,A,B,D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题,故随机变量X不服从超几何分布.二、填空题(每小题5分,共20分)5.李明参加青年志愿者选拔,在已知备选的10道题中,李明能答对其中的6道,规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试,至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为.

【解析】设所选3题中李明能答对的题数为X,则X服从参数为N=10,M=6,n=3的超几何分布,且P(X=k)=C6kC故所求概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C62C41C103+答案:26.某学校实行综合评价招生,参加综合评价招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答,至少答对3个才能通过初试,已知在这8个试题中甲能答对6个,则甲通过初试的概率为;记甲答对试题的个数为X,则X的数学期望E(X)=.

【解析】依题意,甲能通过的概率为P(X=3)+P(X=4)=C21C63C84+由于PX=2=C22故E(X)=2×314+3×814+4×3答案:11147.设在15个相同类型的产品中有2个是次品,每次任取1个,共取3次,并且每次取出后不放回,若以ξ表示取出次品的个数,则E(ξ)=.

【解析】由题意知,取出次品的个数ξ可能的值为0,1,2,所以P(ξ=0)=C20CPξ=1=C21C132C153=所以可得ξ的分布列为ξ012P22121则E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135答案:28.一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球,现从中任取4个小球,设取出的4个小球中白球的个数为X,则下列结论正确的序号是.

(1)随机变量X服从二项分布;(2)随机变量X服从超几何分布;(3)PX=2=3(4)EX=85【解析】由题意知随机变量X服从超几何分布,故(1)错误,(2)正确;随机变量X的取值范围为0,P(X=0)=C64C104=114,P(X=1)=C41C63P(X=3)=C43C61C104=435故E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=8答案:(2)(3)(4)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·泰州高二检测)某农场生产的某批次20件产品中含有n(3≤n≤13)件次品,从中一次任取10件,其中次品恰有X件.(1)若n=3,求取出的产品中次品不超过1件的概率;(2)记f(n)=P(X=3),则当n为何值时,f(n)取得最大值?【解析】(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A,则P(A)=P(X=0)+P(X=1).因为PX=0=C30C1710C2010=所以P(A)=219+1538=则取出的产品中次品不超过1件的概率是12(2)因为fn=PX=3=C所以fn+1=C若fn+1fn=Cn+13C因为n∈N*,所以n≤5.故当3≤n≤5时,f(n+1)f(n)>1;当所以当n=6时,f(n)取得最大值.10.在一次运动会上,某单位派出了由6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛.(1)如果随机抽派5名队员上场比赛,将主力队员参加比赛的人数记为X,求随机变量X的数学期望;(2)若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤,不宜同时上场;替补队员中有2名队员身材相对矮小,也不宜同时上场,那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员,教练员有多少种组队方案?【解析】(1)由题可知X服从超几何分布,X的可取值为0,1,2,3,4,5,故可得P(X=0)=