适用于新教材2023版高中数学课时素养检测十五正态分布新人教A版选择性必修第三册

PAGE十五正态分布(40分钟80分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知X~N(4,σ2),且P(X≤2)=0.3,则P(X<6)= ()A.0.3 B.0.4C.0.85 D.0.7【解析】选D.因为X~N(4,σ2),正态曲线的对称轴为x=4,因为P(X≤2)=0.3,所以P(X≥6)=P(X≤2)=0.3,所以P(X<6)=1-P(X≥6)=1-0.3=0.7.2.已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率为 ()A.0.954 B.0.046C.0.977 D.0.023【解析】选D.正态曲线的对称轴为x=0,所以P(X<-2)=0.5-12P(-2≤X≤2)=0.5-0.95442=0.3.已知随机变量ξ,且ξ~Nμ,σ2,若P(-3<ξ<-1)=P3<ξ<5A.4 B.2 C.1 D.0【解析】选C.因为ξ~N(μ,σ2),若P(-3<ξ<-1)=P(3<ξ<5),则μ=-1+324.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N800,502,则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为参考数据:若X~Nμ,σ2,则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0A.0.97725 B.0.6827C.0.9973 D.0.9545【解析】选A.因为随机变量X~N800,502,所以μ=800,σ=50,P0.9545,由正态分布的对称性,P(X≤900)=P(X≤800)+12P(700≤X≤900)=0.5+12×00.97725.5.红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触,降低潜在的病毒感染风险,为防控新冠肺炎疫情,某厂生产的红外线自动测温门,其测量体温误差ξ服从正态分布N(0.1,0.32),从已经生产出的测温门中随机取出一件,则其测量体温误差在区间(0.4,0.7)内的概率为 ()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ).则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545)A.0.3174 B.0.2718C.0.1359 D.0.0456【解析】选C.由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布N(0.1,0.32),得μ=0.1,σ=0.3.所以测量体温误差在区间(0.4,0.7)内的概率为P(0.4<ξ<0.7)=P(μ+σ<ξ<μ+2σ)=12[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈0.13596.某校在一次月考中有600人参加考试,数学考试的成绩服从正态分布X~N90,σ2(σ>0,试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总人数的35,则此次月考中数学考试成绩不低于110A.480 B.240 C.120 D.60【解析】选C.因为X~N90,σ2(σ>0),所以P(X≥110)=12×1-357.(多选题)已知随机变量X服从二项分布B4,p,其数学期望EX=2,随机变量Y服从正态分布Np,4,且PX=3+PYA.p=14 B.p=C.PY>1-a=14 【思维导引】由二项分布的期望知EX=4p=2求得p=12,即可判断A,B,进一步求出PX=3=14,又根据Y服从正态分布Np,4可求得PY>1-a=3【解析】选BD.因为EX=4p=2,所以p=12,即A错误,B正确;易知Y~N1因为PX=3=C43·1所以PY<a=34,所以PY>1-a=3二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),若P(ξ<2)=0.3,则P(2<ξ<6)=.

【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),所以其对称轴方程为x=μ=4,又P(ξ<2)=0.3,所以P(ξ>6)=P(ξ<2)=0.3,则P(2<ξ<6)=1-2×0.3=0.4.答案:0.49.已知两个随机变量满足X+5Y=10,且X~N(0,1),则EY=,DY=.

【解析】由X~N(0,1),得E(X)=0,D(X)=1.因为X+5Y=10,所以Y=2-15X,所以E(Y)=2-15E(D(Y)=125DX=1答案:2110.已知随机变量X~N(2,22),且aX+b(a>0)服从标准正态分布N(0,1),则a=,b=.

【解析】因为随机变量X~N(2,22),所以E(X)=2,D(X)=22=4.所以E(aX+b)=aE(X)+b=2a+b=0,D(aX+b)=a2D(X)=4a2=1,又a>0,所以a=12,b=-1答案:12三、解答题(每小题10分,共30分)11.(2022·银川高二检测)设离散型随机变量服从正态分布X~N(0,1),(1)求P(X≤0)值;(2)求P(-2≤X≤2)值.参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】(1)因为正态分布X~N(0,1),所以μ=0,σ=1,其密度曲线的对称轴为x=0,所以P(X≤0)=0.5;(2)P(-2≤X≤2)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545.12.某厂包装白糖的生产线,正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N(500,52)(单位:g).(1)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于485g的概率约为多少.(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于485g,检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请说明理由.附:X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】(1)设正常情况下,该生产线上包装出来的白糖质量为Xg,由题意可知X~N(500,52).因为485=500-3×5,所以根据正态分布的对称性与3σ原则可知,P(X<485)=12[1-P(500-3×5≤X≤500+3×5)]≈12×0.0027=0.(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话,由(1)可知,随机抽取两包检查,质量都小于485g的概率约为0.00135×0.00135=0.0000018225=1.8225×10-6,几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现异常,检测员的判断是合理的.13.为满足市场需求,某公司开发了一种新型零件制造机器,因技术还不成熟,每天生产机器需要预热2小时,用X表示预热期的零件尺寸(单位:nm),满足X~N5,2.25.机器正常后,生产的零件尺寸用Y表示,满足Y~N6,(1)若零件尺寸在5,6.5之间,则认为是合格品,(2)若机器的生产效率一直稳定不变,从生产的产品中任取一件,已知取到的是合格品,求它来自预热期的概率(取两位有效数字);(3)预热期和正常生产时生产出来的合格品分开摆放,抽取2个预热期和5个正常生产时生产的合格品组成样本,不放回地抽取,直至首次取到正常期生产的合格品时结束,记抽取的次数为Z,求Z的期望.附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【解析】(1)由正态分布的性质可知,P(5<X<6.5)=P(μ<X<μ+σ)=0.68272P(5<Y<6.5)=P(μ-2σ<Y<μ+σ)=0.68272+0(2)设取出的产品是合格品记为事件A,取出的产品是预热期生产的记为事件B,所以P(A)≈210×0.34+810×0.82=0P(BA)=0.2×(3)由题意,Z的可能取值为1,2,3,PZ=1=C51PZ=2=2×57×PZ=3=27×16×55=则Z的分布列为Z123P551所以EZ=1×57+2×521+3×121(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共15分)1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≥4)=0.2,则P(0<ξ<4)= ()A.0.8 B.0.6 C.0.3 D.0.2【解析】选B.因为随机变量ξ~N(2,σ2),P(ξ≥4)=0.2,所以正态曲线关于x=2对称,又ξ≤0与ξ≥4关于x=2对称,且P(ξ≥4)=0.2,所以P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.2,所以P(0<ξ<4)=1-P(ξ≤0)-P(ξ≥4)=0.6.2.若ξ服从正态分布N(10,σ2),若P(ξ<11)=0.9,则P(|ξ-10|<1)= ()A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.8【解析】选D.因为随机变量ξ服从正态分布N(10,σ2),所以正态曲线的对称轴是x=10,因为P(ξ<11)=0.9,所以P(ξ≥11)=1-0.9=0.1,所以P(|ξ-10|<1)=2×(0.5-0.1)=0.8.3.(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12)、N(μ2,σ22),其正态分布的密度曲线如图所示,A.乙类水果的平均质量μ2=0.8kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99【解析】选AB.因为由图象可知,甲图象关于直线x=0.4对称,乙图象关于直线x=0.8对称,所以μ1=0.4,μ2=0.8,故A正确,C错误;因为甲图象比乙图象更“瘦高”,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;因为乙图象的最大值为1.99,即12πσ2=1.99,所以σ2≠1.99,二、填空题(每小题5分,共15分)4.理查德·赫恩斯坦[(RichardJ.Herrnstein),美国比较心理学家]和默瑞(CharlesMurray)合著《正态曲线》一书而闻名,在该书中他们指出人们的智力呈正态分布.假设犹太人的智力X服从正态分布N(120,52),从犹太人中任选一个人智力落在130以上的概率为.

(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)【解析】因为X服从正态分布N(120,52),所以正态分布曲线的对称轴方程为μ=120,则P(X>130)=P(X>120+10)≈12(1-0.9545)=0.02275答案:0.022755.若某班40名同学某次考试数学成绩X(满分150分)近似服从正态分布N90,σ2,已知P60<X<90=0.【解析】因为考试的成绩X服从正态分布N90,所以考试的成绩X关于x=90对称,因为P60<X<90所以P90<X<120=0.35,所以PX>120=1-所以该班数学成绩在120分以上的人数约为40×0.15=6.答案:6【补偿训练】下列命题中,正确命题的序号为.

①已知随机变量服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则p=23②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变;③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ≤0)=12-p④某人在10次射击中,击中目标的次数为X,X~B(10,0.8),则当X=8时概率最大.【解析】根据二项分布的数学期望和方差的公式,可得E(X)=np=30,D(X)=np(1-p)=20,解得p=13,所以①错误的根据数据方差的计算公式可知,将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后,方差恒不变,所以②是正确的;由正态分布的图象的对称性可得P(-1<ξ≤0)=1-2P(ξ>1所以③是正确的;由独立重复试验的概率的计算公式可得,P(X=8)=C108(0.8)8(1-0.8)2,由组合数的公式,可得当X=8时取得最大值,所以④所以正确命题的序号为②③④.答案:②③④6.在某市高二的联考中,这些学生的数学成绩ξ服从正态分布N100,100,随机抽取10位学生的成绩,记X表示抽取的10位学生成绩在80,120之外的人数,则PX≥1=,X的数学期望附:若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2,则P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973,取0.954510=0.6277,0.997310=0【解析】由题意,数学成绩ξ服从正态分布N(100,100),则μ=100,σ=10,因为80=μ-2σ,120=μ+2σ,则P80<ξ<120=P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ从而数学成绩在80,1-0.9545=0.0455,故X~B10,因此PX≥1=1-PX=0=1-0.954510=1-0.所以X的数学期望E(X)=10×0.0455=0.455.答案:0.37230.455三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2022·常州高二检测)某地区3000名高三学生在某次模拟考试中的总分X服从正态分布N550,(1)求P500<X(2)请判断学生总分X落在区间600,700参考数据:P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997.【解析】(1)因为考生成绩X~N(550,502),所以μ=500,σ=50,所以P(500<X≤650)=P(500<X≤550)