南京市燕子矶中学2022-2023学年高二上学期9月期初测试数学试题（含解析）

第3页/共19页南京市燕子矶中学2022-2023学年第一学期9月考试高二数学2022.09本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.注意事项：答题前，考生务必将学校､姓名､准考证号写在答题卡的相应位置.选择题答案按要求填涂答题卡上，非选择题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内，答案写在试卷上无效.考试结束后，交回答题卡.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.直线经过原点，且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则的方程是（）A B.C. D.2.若直线与直线垂直，则实数的值为（）A1或3 B.1或3 C.1或3 D.1或33.若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1<0的k值为（）A.22 B.21C.24 D.234.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为A8岁 B.11岁 C.20岁 D.35岁5.已知为等差数列的前n项之和，且，，则的值为（）.A.63 B.81 C.99 D.1086.若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.等比数列的前项和为，前项积为，，当最小时，的值为（）A.3 B.4 C.5 D.68.在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a取值范围是（）A. B.C. D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9.记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（）A. B.的最大值为 C. D.10.下列说法正确的有（）A.直线恒过定点B.直线，若，则C.圆与圆的公共弦长为D.若圆，则过点的最短弦所在直线方程为11.已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是（）A. B. C. D.12.已知圆，点P在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________.14.在数列中，，，数列是等差数列，则______．15.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=___________.16.已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数.它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）.根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上计算，若甲得这种传染病，则4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知圆的方程为：.（1）试求的值，使圆的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.18.已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．19.已知数列满足，．（1）证明：数列为等比数列．（2）求数列的前项和．20.在平面直角坐标系中，已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l在y轴上的截距和在x轴上的截距和大1，求该三角形面积的最小值.21.已知数列的各项均为正数，前n项和分别为且对任意正整数，恒成立.（1）分别求数列的通项公式；（2）若对于任意的正整数恒成立，求实数k的取值范围.22.已知点在圆上运动，点在轴上投影为，动点满足（1）求动点的轨迹方程（2）过点的动直线与曲线交于两点，问：是否存在定点，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由第19页/共19页南京市燕子矶中学2022-2023学年第一学期9月考试高二数学2022.09本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.注意事项：答题前，考生务必将学校､姓名､准考证号写在答题卡的相应位置.选择题答案按要求填涂答题卡上，非选择题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内，答案写在试卷上无效.考试结束后，交回答题卡.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.直线经过原点，且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据直线方程确定的倾斜角，进而可知直线倾斜角，结合题设写出的方程.【详解】由题设，若直线的倾斜角为，则，易知：.∴直线倾斜角为，即，又直线经过原点，∴的方程.故选：C2.若直线与直线垂直，则实数的值为（）A.1或3 B.1或3 C.1或3 D.1或3【答案】A【解析】【分析】利用两线垂直的判定有，求解即可得的值.【详解】由题设，，即，解得或.当时，直线分别为、，符合题设；当时，直线分别为、，符合题设.故选：A3.若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1<0的k值为（）A.22 B.21C.24 D.23【答案】D【解析】【分析】根据3an＋1＝3an－2，得到数列{an}是等差数列，求得an，再由ak·ak＋1<0求解.【详解】因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，因为ak·ak＋1<0，公差d<0,所以ak>0，ak＋1<0，令an＝－n＋=0，得n=23.5，所以a23>0，a24<0，所以使ak·ak＋1<0的k值为23.故选：D4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为A.8岁 B.11岁 C.20岁 D.35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为，则，解得．故选B．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．5.已知为等差数列的前n项之和，且，，则的值为（）.A.63 B.81 C.99 D.108【答案】C【解析】【分析】先由为等差数列的前n项之和，可得也成等差数列，则，成等差数列，再将，代入运算即可.【详解】解：由为等差数列的前n项之和，则,也成等差数列，则，成等差数列，所以，由，，得，故选C.【点睛】本题考查了等差数列的性质及等差中项，重点考查了运算能力，属基础题.6.若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题可知，曲线表示一个半圆，结合半圆的图像和一次函数图像即可求出的取值范围.【详解】画家曲线得，画出图像如图：当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以.当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时.由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以.故选：D.7.等比数列的前项和为，前项积为，，当最小时，的值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据等比数列相关计算得到，，进而求出与，代入后得到，利用指数函数和二次函数单调性得到当时，取得最小值.【详解】显然，由题意得：，，两式相除得：，将代入，解得：，所以，所以，，所以，其中单调递增，所以当时，取得最小值.故选：B8.在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据，求出点的轨迹方程，令的轨迹圆与圆有公共点，列出不等式，即可求解.【详解】设，则，因为，可得，整理得，即点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，则满足，即，解得，即实数a的取值范围是.故选：A.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.9.记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（）A. B.的最大值为 C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据等差数列的定义及前项和公式可求得公差与的关系，再对各项进行逐一判断即可.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，又由，所以，所以A正确；因为公差的正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B不正确；由，所以，所以C正确；因为，所以，即，所以D错误.故选:AC.10.下列说法正确的有（）A.直线恒过定点B.直线，若，则C.圆与圆的公共弦长为D.若圆，则过点的最短弦所在直线方程为【答案】AC【解析】【分析】求出直线所过的定点即可判断A；由两直线垂直列出关系式计算可判断B；根据两圆的方程相减即可求出公共弦所在直线的方程，利用弦心距公式计算即可判断C；过点的最短弦所在直线即为与圆心和连线相垂直的直线，计算即可判断D.【详解】对于A选项，当时，，所以直线过定点，故A选项正确；对于B选项，若，则，解得：或，故B选项错误；对于C选项，由，两式相减并化简得，的圆心为到直线的距离，公共弦长为,故C正确；对于D选项，圆的圆心设为则,,过点的最短弦所在直线方程为，即，故D选项错误.故选：AC．11.已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由正项等比数列知，又且知：且，再由等比数列的性质有即可判断各选项的正误.【详解】由题意知：，即中一个大于1，另一个小于1.∵等比数列的各项均为正数，公比为，即，∴要么递增，要么递减，而，∴综上知：，即为递减数列且，∵，又，∴，而.故选：BC【点睛】关键点点睛：由等比正项数列性质，结合已知推出，，并结合应用等比数列下标和相等的两项之积相等，判断，与1的大小关系.12.已知圆，点P在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】设，则，利用两点间的距离公式可判断A；利用直线与圆相切可判断B；利用正弦定理结合三角函数的单调性可判断C；利用排除法即可得到答案；【详解】设，则，对A，，故A正确；对B，当与圆相切时，达到最大值为，所以，故B正确；对C，因为，因为，所以当为直角或钝角时，显然有；当为锐角时，，所以即，所以，所以假设成立，故C正确；显然D就错误；故选：ABC.【点睛】本题考查两点间的距离公式、正弦定理解三角形，求解时要注意结合三角函数的单调性进行求解判断.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，由点斜式方程即可得出答案.②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，代入求出，即可求出直线l的方程.详解】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点，此时直线的方程为，即；②直线不过原点，设其方程，又由直线经过点，则有，解可得，此时直线的方程为，故直线l的方程为或.故答案为：或.14.在数列中，，，数列是等差数列，则______．【答案】【解析】【分析】求得等差数列的公差，可求得的值，进而可求得的值.【详解】依题意，数列是等差数列，设其公差为，则，，，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.15.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=___________.【答案】50【解析】【分析】根据等比数列的下标性质，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】根据等比数列的性质可得，所以.令，则，于是，所以.故答案为：5016.已知衡量病毒传播能力最重要指标叫做传播指数.它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）.根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上计算，若甲得这种传染病，则4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为__________.【答案】120【解析】【分析】先求出传播指数RO，再计算出每轮感染的人数，相加即得.【详解】由题意知，，所以得病总人数为：（人）.故答案为：120【点睛】本题考查数列的应用，解题关键是理解新概念“传播指数”，可以用数列表示该问题，传播指数就是等比数列的公比，属基础题.四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知圆的方程为：.（1）试求的值，使圆的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆相切，且过点的直线方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先求圆的标准方程，由半径最小则周长最小；（2）由，则圆的方程为：，直线和圆线切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与轴垂直和直线与轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.【详解】（1），配方得：，当时，圆的半径有最小值2，此时圆的周长最小.（2）由（1）得，，圆的方程为：.当直线与轴垂直时，，此时直线与圆相切，符合条件；当直线与轴不垂直时，设为，由直线与圆相切得：，解得，所以切线方程为，即.综上，直线方程为或.18.已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值．【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2，从而得到{an}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n项和为Sn==n（n+1），再由=a1Sk+2，求得正整数k的值．解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2．∴{an}的通项公式an=2+（n﹣1）2=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n项和为Sn==n（n+1）．∵若a1，ak，Sk+2成等比数列，∴=a1Sk+2，∴4k2=2（k+2）（k+3），k="6"或k=﹣1（舍去），故k=6．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．19.已知数列满足，．（1）证明：数列为等比数列．（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）法一：由已知条件可得，又，结论即得证；法二：由，并验证否为定值，即可证结论；（2）由（1）得，利用分组求和，结合等比数列求和公式，求前n项和即可.【详解】（1）（法一）由，知，又，故是首项为1，公比为2的等比数列，得证．（法二），可知：，又，所以，∴是首项为1，公比为2的等比数列，得证．（2）由（1）知：，则，∴．20.在平面直角坐标系中，已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线l在y轴上的截距和在x轴上的截距和大1，求该三角形面积的最小值.【答案】【解析】【分析】根据题意将直线方程设为截距式，由面积比直线的纵截距､横截距之和大1得，再结合基本不等式，即可求得面积的最小值.【详解】设直线的方程为：，则面积，又由面积比直线的纵截距､横截距之和大1得；①因为，结合①得：（舍）；所以当且仅当时等号成立，即当时，面积最小，21.已知数列的各项均为正数，前n项和分别为且对任意正整数，恒成立.（1）分别求数列的通项公式；（2）若对于任意的正整数恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由，利用通项公式与前n项和公式间的关系，分，求解；由，