适用于新教材2023版高中数学第六章计数原理组合的应用探究导学课件新人教A版选择性必修第三册

组合的应用第六章新课程标准素养风向标1.能应用组合知识解决有关组合的简单问题.2.能解决有限制条件的组合问题.1.学会运用组合知识解决实际的简单问题.(数学运算)2.掌握解决组合问题的常见方法.(数学运算)核心互动探究探究点一

有限制条件的组合问题【典例1】(1)要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村,每个村里至少有一名志愿者,则不同的安排方法共有 (

)

A.2种

B.3种

C.6种

D.8种(2)在一次马拉松赛中,某校要从甲、乙、丙、丁等10人中挑选3人参加比赛,其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲乙不同时参加,丙丁也不同时参加,则不同的报名方案有 (

)A.69种 B.96种 C.76种 D.84种【思维导引】(1)首先将3名学生分成两个组,然后将2组学生安排到2个村即可.(2)根据题意,分3种情况讨论:①甲、乙、丙、丁4人中,只从甲乙中选出1人,②甲、乙、丙、丁4人中,只从丙丁中选出1人,③甲、乙、丙、丁4人中,从甲乙,丙丁中各选1人,由分类加法计数原理计算可得答案.

【类题通法】组合应用题的求解策略(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩余元素中去取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的问题:首先要理解“至少”与“至多”的含义,防止重复与漏解;其次选取某条件为主线进行分类求解,当用直接法分类较多时,可用间接法处理.

探究点二

分组、分配问题命题角度1

相同元素的分配问题【典例2】6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列方法的种数.(1)每个盒子都不空;(2)恰有一个空盒子;(3)恰有两个空盒子.【思维导引】(1)等价转化成:6个球排成一行,球之间共5个空,插3个隔板,隔成4份.(2)隔板法先在首尾两球外,各放一隔板,并在5个空隙中任选2个各插一隔板,然后将剩下的一隔板与前面任一块并放形成空盒.(3)隔板法先在首尾两球外各放一隔板,并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.

命题角度2

不同元素分组、分配问题【典例3】我省5名医学专家到某革命老区交流学习,现把专家全部分配到A,B,C三个医院,每个医院至少要分配1人,其中甲专家不去A医院,求一共有多少种分配方法.【思维导引】完成这件事情可分2步进行:第一步将5名医学专家分为3组;第二步将分好的3组分别派到三个医院.由分步乘法计数原理计算即可得到答案.

【类题通法】分组与分配问题的常见类型及解法(1)分组问题属于组合问题,常见的分组问题有三种:①完全均匀分组,每组的元素个数均相等,最后必须除以组数的阶乘;②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.

探究点三

排列与组合的综合应用【典例4】(1)某中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”,要求从6位男嘉宾、2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲,且女嘉宾至少要选中1位,如果2位女嘉宾同时被选中,她们的演讲顺序不能相邻,那么不同演讲顺序的种数是 (

)A.1860 B.1320 C.1140 D.1020(2)(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有

种.

【思维导引】(1)根据女嘉宾被选中的人数进行分类,选中两位女嘉宾时用插空法进行排列.(2)根据题意,有且只有2名同学在同一个小区,利用先选后排的思想,结合排列组合和分步乘法计数原理得解.

【类题通法】解排列组合问题要遵循两个原则(1)按元素(或位置)的性质进行分类