向量组的线性相关性

第四章

向量组的线性相关性§1向量组及其线性组合§2向量组的线性相关性§3向量组的秩§4线性方程组的解的结构§5向量空间第四章向量组的线性相关主要内容1.理解n维向量的概念；2.理解向量组的线性相关与线性无关的定义，并了解有关的结论；3.理解向量组的最大无关与向量组的秩的概念及求解方法；4.知道n维向量空间及其子空间、基、维数、坐标等概念。教学目的与要求教学重点：向量组的线性相关与线性无关概念及其线性相关性的判别，向量组的秩的求法。教学难点：向量组的线性相关与线性无关概念及其线性相关性的判别，向量组的秩的求法。教学重点、难点课外思考题P106习题四4(1),6,11(2),13,19,22,27,30,34§1向量组及其线性组合定义1

n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量。分量全为复数的向量称为复向量。分量全为实数的向量称为实向量，一、n维向量的概念1.n维向量的概念例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量2.n维向量的表示方法

n维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

n维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：注意1.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；2.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；3.当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系3.向量空间空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应叫做n维向量空间。n>3时，n维向量没有直观的几何形象。叫做n维向量空间Rn中的n-1维超平面。

确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量

n维向量的实际意义2.向量的表示方法：行向量与列向量。3.向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念。4.向量在生产实践与科学研究中的广泛应用。4.小结1.n维向量的概念，实向量、复向量。

若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组。例如矩阵A=(aij)m×n有n个m维列向量二、向量、向量组与矩阵向量组a1,a2,…,an称为矩阵A的列向量组。向量组,,…，称为矩阵A的行向量组。类似地，矩阵A=(aij)m×n又有m个n维行向量

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。m个n维列向量所组成的向量a1,a2,…,am构成一个m×n矩阵。m个n维列向量所组成的向量构成一个m×n矩阵。线性方程组的向量表示注意：方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应。定义1给定向量组A：a1,a2,…,amk1,k2,…,km称为这个线性组合的系数。称为向量组的一个线性组合，对于任何一组实数k1,k2,…,km，向量则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示。即线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam=b有解。给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，若存在一组数使定理1向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,…,am,b)的秩。定义2设有两个向量组若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。及若方程组A与方程组B能相互线性表示，就称为这两个方程组等价，等价的方程组一定同解。定理2向量组B:b1,b2,…,bj能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵(A,B)=a1,a2,…,am,b1,b2,…,bj)的秩，即R(A)=R(A,B)。推论向量组A:a1,a2,…,am与向量组B:b1,b2,…,bj等价的充分必要条件是

R(A)=R(B)=R(A,B)其中A和B是向量组A与B所构成的矩阵。例1设证明向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示，并求出表示式。解：设A=(a1,a2,a3)与B=(A,b)。由定理1知，要证R(A)=R(B).将矩阵B化成行最简形矩阵：r2-r1r3-2r1r4-2r1r3+r2R4-r2则R(A)=R(B)。因此，向量b能由向量组a1,a2,a3线性表示。由行最简形可得方程(a1,a2,a3)x=b的通解从而得表示式其中c可任意取值。定理3设向量组B:b1,b2,…,bl能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示，则R(b1,b2,…,bl)≤R(a1,a2,…,am)。上述各定理之间的对应，其基础是向量组与矩阵的对应，从而有下述对应：向量组B:b1,b2,…,bl能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示有矩阵K，使B=AK方程AX=B有解§2向量组的线性相关性回顾：向量组的线性组合定义：给定向量组A：a1,a2,…,am

，对于任何一组实数k1,k2,…,km，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合。其中k1,k2,…,km

称为这个线性组合的系数。定义：给定向量组A：a1,a2,…,am

和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则称向量b能由向量组A的线性表示。引言问题1：给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？问题2：如果零向量可以由向量组A线性表示，线性组合的系数是否不全为零？向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b

有解P.83定理1的结论：问题1：给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？问题1’：齐次线性方程组Ax=0是否存在解？回答：齐次线性方程组Ax=0一定存在解．事实上，可令k1=k2=…=km=0，则k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）问题2：若零向量可以由向量组A线性表示，线性组合的系数是否不全为零？问题2’：齐次线性方程组Ax=0是否存在非零解？回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数不一定全等于零。例：设若则k1=k2=k3=0。定义3给定向量组A:a1,a2,…,am，如果存在不全为零的数k1,k2,…,km使则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。一、线性相关性的概念向量组A:a1,a2,…,am线性相关m元齐次线性方程组Ax=0有非零解R(A)<m备注：给定向量组A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一。向量组A:a1,a2,…,am

线性相关，通常是指m≥2的情形。若向量组只包含一个向量：当a

是零向量时，线性相关；当a不是零向量时，线性无关。向量组A:a1,a2,…,am

(m≥2)线性相关，也就是向量组A中，至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。 特别地，a1,a2线性相关当且仅当a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线。a1,a2,a3线性相关的几何意义是三个向量共面。1.向量组线性相关性的判定二、线性相关性的判定向量组A中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示。矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m。m元齐次线性方程组Ax=0有非零解。k1a1+k2a2+…+kmam

=0(零向量)。存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得向量组A:a1,a2,…,am线性相关定理42.向量组线性无关性的判定向量组A中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示。矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m。m元齐次线性方程组Ax=0只有零解。k1=k2=…=km=0。如果k1a1+k2a2+…+kmam=0(零向量)，则必有向量组A:a1,a2,…,am

线性无关定理4解：例1

n维向量组即R(E)等于向量组中向量个数，故由定理2知此向量组是线性无关的。称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性。n维单位坐标向量组构成的矩阵由|E|=1≠0，知R(E)=n。是n阶单位矩阵。解：例2已知分析试讨论向量组a1,a2,a3及a1,a2的线性相关。对矩阵(a1,a2,a3)施行初等行变换变成行梯形矩阵，可同时看出矩阵(a1,a2,a3)及(a1,a2)的秩，利用定理2即可得出结论。可见向量组a1,a2,a3线性相关；向量组a1,a2线性无关。例3已知向量组a1,a2,a3线性无关，且试证明向量组b1,b2,b3线性无关。解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题．证明：因a1,a2,a3线性无关，故有亦即即设有x1,x2,x3使例3已知向量组a1,a2,a3线性无关，且试证明向量组b1,b2,b3线性无关。方程组方程组只有零解x1=x2=x3=0，所以向量组b1,b2,b3线性无关。的系数行列式设Bx=0，记作B=AK。已知解法1：转化为齐次线性方程组的问题。例3已知向量组a1,a2,a3线性无关，且试证明向量组b1,b2,b3线性无关。因为向量组a1,a2,a3线性无关，又|K|=2≠0，从而向量组b1,b2,b3线性无关。则(AK)x=A(Kx)=0。所以Kx=0。那么Kx=0只有零解

x=0，记作B=AK。已知解法2：转化为矩阵的秩的的问题。例3已知向量组a1,a2,a3线性无关，且试证明向量组b1,b2,b3线性无关。又因为向量组a1,a2,a3线性无关，因为|K|=2≠0，从而R(B)=3，向量组b1,b2,b3线性无关。R(A)=3所以K可逆，R(A)=R(B)定理3(1)若向量组A:a1,a2,…,am线性相关，则(2)设向量组B:a1,a2,…,am,am+1也线性相关。若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关。反言之，即aj添上一个分量后得向量bj。若向量组A:a1,a2,…,am线性无关，则向量组B:b1,b2,…,bm也线性无关。反言之，若向量组B线性相关，则向量组A也线性相关。(3)m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关。(4)设若向量组A:a1,a2,…,am线性无关，而向量组B:a1,a2,…,am,b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的。思考题试证明：(1)一个向量a线性相关的充要条件是a=0；(2)一个向量a线性无关的充要条件是a≠0；(3)两个向量a,b线性相关的充要条件是a=kb或者b=ka，两式不一定同时成立。证明：(1)、(2)略。(3)充分性必要性思考题解答∵a,b线性相关，∴存在不全为零的x,y，使得ax+by=0。不妨设x≠0，则令即可。不妨设a=kb，则有1·a+(-k)b=0，由定义知a,b线性相关。矩阵线性方程组有限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应Ax=b有解当且仅当向量b可由矩阵A的列向量组线性表示课本P.88定理4：向量组A:a1,a2,…,am

线性相关的充要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)

的秩小于向量的个数m；向量组A:a1,a2,…,am线性无关的充要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)

的秩等于向量的个数m。

n元线性方程组

Ax=b其中A是n×m矩阵矩阵(A,b)向量组A:a1,a2,…,an及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b能否由向量组A线性表示？无解R(A)<R(A,b)

NO有解R(A)=R(A,b)

YESx的分量是线性组合的系数唯一解R(A)=R(A,b)

=未知数个数表达式唯一无穷解R(A)=R(A,b)<未知数个数表达式不唯一知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理§3向量组的秩回顾：矩阵的秩定义：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。规定：零矩阵的秩等于零。定义：设矩阵A中有一个非零的r阶子式D，且所有r+1阶子式(若存在的话)全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。结论：矩阵的秩=矩阵中最高阶非零子式的阶数=矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数定义1设有向量组A，若在A中选出r个向量a1,a2,…,ar，满足：一、最大线性无关向量组(1)向量组A0:a1,a2,…,ar线性无关；(2)向量组A中任意r+1个向量(若A中有r+1个向量的话)都线性相关，那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组)；注意：只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为零。最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩。定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。二、矩阵与向量组秩的关系类似可证A的行向量组的秩也等于R(A)。所以列向量组的秩等于r。因此Dr所在的r列是A的列向量的一个最大无关组，又由A中所有r+1阶子式均为零，知A中任意r+1个列向量都线性相关。根据定理2由Dr≠0知所在的r列线性无关；证明：设A=(a1,a2,…,am)，R(A)=r。并设r阶子式Dr≠0。一般地，矩阵的秩等于它的列向量组的秩。 矩阵的秩等于它的行向量组的秩。（P.90定理6）今后，向量组a1,a2,…,am的秩也记作R(a1,a2,…,am)

．若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，则Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组，Dr所在的r行是A的行向量组的一个最大无关组。向量组的最大无关组一般是不唯一的。例1已知事实上，a1,a3和a2,a3也是最大无关组。从而a1,a2是向量组a1,a2,a3的一个最大无关组。同时，R(a1,a2,a3)=2，可见R(a1,a2)=2，解：试讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性。故向量组a1,a2线性无关，故向量组a1,a2,a3线性相关，最大无关组的等价定义结论：向量组A和它自己的最大无关组A0是等价的。定义：设有向量组A，若在A中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足①向量组A0:a1,a2,…,ar

线性无关；②向量组A中任意r+1个向量(若A中有r+1个向量的话)都线性相关；③向量组A中任意一个向量都能由向量组A0线性表示；那么称向量组A0是向量组A的一个最大无关组。矩阵线性方程组有限向量组无限向量组系数矩阵增广矩阵有限向量组与矩阵一一对应矩阵的秩等于列(行)向量组的秩Ax=b有解当且仅当向量b能否由向量组A线性表示向量组与自己的最大无关组等价例2全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个最大无关组及Rn的秩。解：因为n维单位坐标向量构成的向量组是线性无关的。又根据定理3的结论(3)知Rn中的任意n+1个向量都线性相关，因此向量组E是Rn的一个最大无关组，且Rn的秩等于n。求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。例3设矩阵解：用初等行变换把矩阵A化成行阶梯形矩阵。行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3。故列向量组的最大无关组含3个向量，而三个非零行的非零首元在1,2,4列，故a1,a2,a4为列向量组的一个最大无关组。这是因为知R(a1,a2,a4)=3，故a1,a2,a4线性无关。思考：如何把a3,a5表示成a1,a2,a4的线性组合？向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b

有解

令A0=(a1,a2,a4)求解A0x=a3

A0x=a5思路2：利用矩阵A的行最简形矩阵。思路1：利用P83

定理1的结论为把a3,a5表示成a1,a2,a4的线性组合，把矩阵A再变成行最简形矩阵于是Ax=0与Bx=0，即即矩阵A的列向量组与矩阵B的列向量组有相同的线性关系。同解。x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0与可以看出：a5=4a1+3a2

−3a4a3=−a1

−a2

所以b5=4b1+3b2

−3b4例4

设齐次线性方程组试求全体解向量构成的向量组S的秩。的通解是定理2设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。三、向量组秩的重要结论推论1等价的向量组的秩相等。推论2设Cm×n=Am×sBs×n，则R(C)≤R(A)，R(C)≤R(B)推论3设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组。例5设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等，证明向量组A与向量组B等价。证明：向量组(a1,a2)与(b1,b2)等价。例6已知先求X。类似于线性方程组求的方法，对增广矩阵(a1,a2,b1,b2)施行初等行变换变为行最简形矩阵。证明：要证存在2阶方阵X,Y，使即得因|X|=1≠0，知X可逆。取Y=X-1，即为所求。因此向量组a1,a2与b1,b2等价。1.最大线性无关向量组的概念：

最大性、线性无关性。2.矩阵的秩与向量组的秩的关系：

矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩3.关于向量组秩的一些结论：

一个定理、三个推论．4.求向量组的秩以及最大无关组的方法：

将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换。四、小结§4线性方程组的解的结构回顾：线性方程组的解的判定1.包含n个未知数的齐次线性方程组Ax=0

有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<n。2.包含n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)=R(A,b)，并且当R(A)=R(A,b)=n时，方程组有唯一解；当R(A)=R(A,b)<n时，方程组有无限多个解。引言问题：什么是线性方程组的解的结构？答：所谓线性方程组的解的结构，就是当线性方程组有无限多个解时，解与解之间的相互关系。备注：当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构。下面的讨论都是假设线性方程组有解。1.解向量的定义定义：设有齐次线性方程组Ax=0，如果称为方程组的解向量。为该方程组的解，则一、齐次线性方程组解的性质1.解向量的概念设有齐次线性方程组(1)一、齐次线性方程组解的性质则上述方程组(1)可写成向量方程若记称为方程组(1)的解向量，也就是向量方程Ax=0的解。为方程Ax=0的解，则若2.齐次线性方程组的解的性质性质1若也是Ax=0的解。为Ax=0的解，则性质2若为Ax=0的解，k为实数，则也是Ax=0的解。结论：若

是齐次线性方程组Ax=0的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt也是Ax=0的解。齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）。把Ax=0的全体解组成的集合记作S，若求得S的一个最大无关组S0：

，那么Ax=0的通解可表示为x=k1x1+k2x2+…+ktxt

。能否通过有限个解向量的线性组合把Ax=0的解全部表示出来？已知齐次方程组Ax=0的几个解向量，可以通过这些解向量的线性组合给出更多的解。结论：若

是齐次线性方程组Ax=0的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt也是Ax=0的解。1.基础解系的概念定义：齐次线性方程组Ax=0的一组解向量二、基础解系及其求法②方程组中任一个解都可由

线性表示。①线性无关；如果满足则称这组解是齐次线性方程组的基础解系。如果

为齐次线性方程组Ax=0的一组基础解系，那么Ax=0的通解可表示为其中k1,k2,…,kt是任意常数。2.线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为A，并不妨设A的前r个列向量线性无关。于是A可化为现对xr+1,…,xn取下列n-r组数：分别代入依次得从而求得原方程组的n-r个解：由于n-r个n-r维向量线性无关，下面证明

是齐次线性方程组的一个基础解系。(1)证明

线性无关所以n-r个n维向量

亦线性无关。设x=(k1,k2,…,kr,kr+1,…,kn)为上述方程组的一个解。(2)证明任一解都可由

线性表示。再作

的线性组合，由于

是Ax=0的解，下面来证明故η也是Ax=0的解。由于ξ与η都是方程Ax=0的解，而Ax=0又等价于方程组所以ξ与η都是此方程组的解。由所以

是齐次线性方程组的一个基础解系。故

即例1求齐次线性方程组即方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系。的基础解系和通解。令x3=c1,x4=c2,得通解表达式基础解系为方法2：先求出基础解系，再写出通解。即令合起来便得到基础解系,得还能找出其它基础解系吗？通解为(c1,c2为实数)问题：是否可以把x1选作自由变量？答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解。当两个矩阵等价时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解。令x1=c1,x2=c2,得通解表达式即从而可得另一个基础解系：例2解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量。令代入所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为依次得其中k1,k2,k3为任意常数。定理：设m×n矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n−r

。例：设Am×nBn×l=O(零矩阵)，证明R(A)+R(B)≤n。例：证明R(ATA)=R(A)。例：设n元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，证明R(A)=R(B)。1.非齐次线性方程组的解的性质性质3：若

是非齐次线性方程组Ax=b的解，则

是对应的齐次线性方程组Ax=0(导出组)的解。证明：性质4：若

是非齐次线性方程组Ax=b的解，证明：是导出组Ax=0的解，则

也是Ax=b的解。三.非齐次线性方程组的解的性质根据性质3和性质4可知若x=η*是Ax=b的解，x=ξ是Ax=0的解，那么

x=ξ+η*也是Ax=b的解。于是Ax=b的通解为

设Ax=0的通解为2.非齐次线性方程组的通解3.与方程组Ax=b有解等价的命题线性方程组Ax=b有解向量b能由向量组a1,a2,…,an线性表示；向量组a1,a2,…,an与向量组a1,a2,…,an,b等价；矩阵A=(a1,a2,…,an)与矩阵B=(a1,a2,…,an,b)的秩相等。4.线性方程组的解法(1)应用克莱姆法则(2)利用初等变换

特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题。

特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法。例3求解方程组解：对增广矩阵B施行初等行变换：可见R(A)=R(B)=2，故方程组有解，并有即得方程组的一个解取x2=x4=0，则在对应的齐次线性方程组中，取则及及即得对应的齐次线性方程组的基础解系则及及于是所求通解为解例4求下述方程组的解由R(A)=R(B)，知方程组有解。所以方程组有无穷多解。且原方程组等价于方程组又R(A)=2，n-r=3，求基础解系令依次得代入故得基础解系求特解所以方程组的通解为令x3=x4=x5=0，得其中k1,k2,k3为任意常数。另一种解法则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为其中k1,k2,k3为任意常数。1.齐次线性方程组基础解系的求法四、小结(1)对系数矩阵A进行初等变换，将其化为最简形由于令(2)得出R(A)=r，同时也可知方程组的一个基础解系含有n-r个线性无关的解向量。故得为齐次线性方程组的一个基础解系。2.线性方程组解的情况(此时基础解系中含有n-R(A)个解向量)Ax=0有解Ax=b有唯一解Ax=b有无穷多解Ax=b无解设A是m×3矩阵，且R(A)=1。如果非齐次线性方程Ax=b的三个解向量满足思考题求Ax=b的通解。思考题解答解：∵A是m×3矩阵，且R(A)=1。∴Ax=0的基础解系中含有3-1=2个线性无关的解向量。令则其中k1,k2为任意实数。故Ax=b的通解为为Ax=0的基础解系中的解向量。§5向量空间封闭的概念定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到的结果仍属于该集合。例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？整数集Z有理数集

Q实数集R一、向量空间的概念定义：设V

是n维向量的集合，如果①集合V非空；②集合V

对于向量的加法和乘数两种运算封闭，具体地说，就是：若a∈V，b∈V，则a+b∈V

．（对加法封闭）若a∈V，l∈R，则la∈V

．（对乘数封闭）那么就称集合V为向量空间。例1判别下列集合是否为向量空间.解：V2不是向量空间。则因为若试判断集合是否为向量空间。这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间。例2设a,b为两个已知的n维向量，集合解：V是一个向量空间。因为若则有一般地，把集合称为由向量组a1,a2,…,am所生成的向量空间。二、子空间定义：若向量空间V的非空子集合V1对于V中所定义的加法及乘数两种运算是封闭的，则称V1是V的子空间。例：

n

维向量的全体Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T

|x2,…,xn∈R}集合V2={(1,x2,…,xn)T

|x2,…,xn∈R

}解：V1

是Rn

的子空间，V2不是Rn

的子空间。三、向量空间的基和维数定义：设有向量空间V，若在V中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足①a1,a2,…,ar线性无关；②V中任意一个向量都能由a1,a2,…,ar

线性表示；那么称向量组a1,a2,…,ar

是向量空间V的一个基。r

称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。

向量空间向量空间的基向量空间的维数向量组向量组的最大无关组向量组的秩(1)只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基。说明(3)若向量组a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基，则V可表示为(2)若把向量空间V看作向量组，那么V的基就是向量组的最大无关组，V的维数就是向量组的秩。1.n维向量的全体Rn。解：En的列向量组是Rn的一个基，故Rn的维数等于n。2.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R}解：En的后n-1个列向量是V1的一个基，故V1的维数等于n-1。结论：若V1是V的子空间，则V1的维数不超过V的维数．3.n元齐次线性方程组的解集S1={x|Ax=0}解：齐次线性方程组的基础解系是S1的一个基，故S1的维数等于n-R(A)。由a1,a