【初中数学竞赛】 专题02 代数式竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【初中数学竞赛】专题02代数式竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）一、单选题1．（2021·全国·九年级竞赛）已知，则的值是（

）．A．3 B．9 C．27 D．81【答案】C【详解】．故选C．2．（2021·全国·九年级竞赛）如果是的一个因式，则的值是（

）．A． B． C．0 D．2【答案】D【详解】（解法一）依题意可设，比较系数得所以．故选D．（解法二）依题意是的因式，所以，解得．故选D．（解法三）用长除法可得，所以得．故选D．3．（2021·全国·九年级竞赛）若（是实数），则的值一定是（

）．A．正数 B．负数 C．零 D．整数【答案】A【详解】因为，并且不能同时等于零，所以．故选A．4．（2021·全国·九年级竞赛）的值为（

）．A．无理数 B．真分数 C．奇数 D．偶数【答案】D【详解】原式．故选：D．5．（2021·全国·九年级竞赛）满足等式的正整数对的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】原式，而，故，即．又2003是质数，所以或故选B6．（2021·全国·九年级竞赛）已知，则的值等于（

）．A． B．3 C． D．1【答案】D【详解】，同理可得，所以．故选：D．二、填空题7．（2021·全国·九年级竞赛）若有一个因式是，则_______．【答案】-5【详解】解法一

依题意，原多项式当时，其值等于0，即，从而．解法二

依题意也是多项式的因式，故，即．解法三

依题意可设比较同次幂系数得故．注：虽然解法三计算量较大，但它的好处是同时求出了原多项式的另一个因式为．若题目还要求对原多项式进行因式分解，则解法三是可取的好方法之一．8．（2021·全国·九年级竞赛）设，是的小数部分，是的小数部分，则__________．【答案】1【详解】解

∵，而，∴．又∵，而，∴．9．（2021·全国·九年级竞赛）已知x、y为正偶数，且，则__________.【答案】40【分析】根据可知xy(x+y)=96，由x、y是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x、y的值，根据x、y的值求得答案即可.【详解】∵，∴xy(x+y)=96，∵x、y为正偶数，xy≥4，x+y≥4，∴96=222223=616=812=424当xy(x+y)=424时，无解，当xy(x+y)=616时，无解，当xy(x+y)=812时，x+y=8，xy=12，解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，∴x2+y2=22+62=40.故答案为40【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.10．（2021·全国·九年级竞赛）已知对任意正整数都有，则___________．【答案】【详解】，则，所以原式．故答案为：．三、解答题11．（2021·全国·九年级竞赛）分别在有理数范围内和实数范围内分解因式：．【答案】【详解】解

（1）在有理数范围内：原式．（2）在实数范围内：原式．12．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解

原式．13．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解法一

原式．解法二

原式．14．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解法一

原式．解法二

原式．15．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解原式．16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解法一

原式．解法二

原式．17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解法一

原式．解法二

原式．18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解原式．19．（2021·全国·九年级竞赛）若有两个因式和，求的值．【答案】【详解】（解法一）因和都是的因式，所以当和时，的值都等于0，所以解得所以．（解法二）依题意也是的因式，所以，解得，所以．（解法三）依题意可设，所以解出所以．20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式．【答案】【详解】设，则原式．21．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：．【答案】【详解】（解法一）原式．（解法二）用综合除法：所以，原式．22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】原式是关于的对称多项式．若视为主元，并以代入得原式，故原式有因式，由对称性知原式有因式．又原式是六次齐次多项式，而是四次齐次多项式，故还有一个关于的二次齐次对称多项式因式，所以可设．令，得；令，得．所以．原式23．（2021·全国·九年级竞赛）若，求的值．【答案】14【详解】，所以，故．24．（2021·全国·九年级竞赛）设是四个整数，且使得是一个非零整数，求证：一定是合数．【答案】见解析【详解】．由于是非零整数，因此上式是非零整数．又因为四个整数的奇偶性相同，且它们的积被4整除，故它们都是偶数，所以被4整除，故是一个合数．25．（2021·全国·九年级竞赛）若，证明：是一个完全平方数（即等于另一个整数的平方）．【答案】见解析【详解】设，则，故是一个完全平方数．26．（2021·全国·九年级竞赛）设是实数且，求的值．【答案】【详解】由得，即．但（否则，与已知条件矛盾），所以，即，．27．（2021·全国·九年级竞赛）已知是正整数，且表示质数，求这个质数．【答案】7【详解】解

．要使为质数，必须，即，故或2．但时，是合数．只有时，才是质数．故所求的质数是7．28．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解

原式．令，则原式．其中，是用十字相乘法得到的．29．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任何整数和的值都不等于33．【答案】见解析【详解】解法一

原式．当时，原式；当时，互不相等，而33不可能分解为4个以上不同因数之积，所以为整数时，原式，所以对取任何整数值，原式的值都不等于33．解法二

将原式看成的多项式，当成常数，用综合除法有所以，原式．下同解法一．30．（2021·全国·九年级竞赛）设互不相等，且，化简．【答案】1【详解】解

先利用已知条件将分母化为便于计算的形式，再通分计算．因为，所以．同理，所以原式．记．因为当时，，所以有因式．又是的三次齐次轮换对称多项式，故有因式，且可设，令，得，故，所以，故原式．31．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解法一

以为主元降幂排列，再配方得：原式．解法二

原式．解法三

注意到下列公式：，为了完成整个式子的直接配方，应将拆成．原式．32．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解法一

添加，再减去同一项得：原式．解法二

以为主元降幂排列．原式．33．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解

设．因为，所以有因式．由是的四次对称多项式知有因式，而与分别是四次、三次对称多项式，所以还含有的一个一次对称多项式，即．令，得，所以，故．34．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】．【详解】解

设．因为，所以是轮换对称多项式．又时，，所以有因式．又是轮换对称多项式，故有因式．因与分别是齐五次与齐三次轮换对称多项式，所以的另一个因式应是齐二次轮换对称多项式：，即．令及，分别得到即解得，故．35．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解

因为，所以原式．36．（2021·全国·九年级竞赛）已知，且，求的值．【答案】．【详解】，，故．又，故，即，解得．37．（2021·全国·九年级竞赛）已知，求的值．【答案】-1【详解】，其，故，即．所以．38．（2021·全国·九年级竞赛）计算的值．【答案】【详解】解：注意到，于是原式．39．（2021·全国·九年级竞赛）若，计算的值．【答案】4．【详解】解：原式．由得，代入上式得原式．40．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】因时，原式，故原式有因式．又原式是关于的五次齐次轮换对称多项式，故原式有因式，并可设．令，得，即，再令，得，即，解出．所以，原式．41．（2021·全国·九年级竞赛）计算：．【答案】1【详解】令，则原式．42．（2021·全国·九年级竞赛）计算：【答案】337【详解】因，所以原式．43．（2021·全国·九年级竞赛）计算．【答案】．【详解】设，反过顺序求和得，两式相加，所以．44．（2021·全国·九年级竞赛）计算：．【答案】373【详解】解

因，故．45．（2021·全国·九年级竞赛）把分解因式．【答案】【详解】解法一原式．解法二

把原式看成的多项式，当时，原式，所以原式有因式．又原式是的对称多项式，由对称性知原式有因式．又此式和原式都是四次齐次多项式，故，其中是常数．上式中令得，即，所以原式．46．（2021·全国·九年级竞赛）已知是整数，二次三项式既是的一个因式，也是的一个因式，求时的值．【答案】4【详解】解

依题意，应是的一个因式，所以，故当时，．47．（2021·全国·九年级竞赛）把多项式分解因式．【答案】【详解】解法一

原式．解法二

原式．48．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．【答案】【详解】解法一

原式是关于的对称多项式．可设，则原式．解法二

当时，原式，故原式有因式．又原式是关于的对称多项式，故原式又有因式，且可设，令，得，得．令，得，即．令，得，即．令，得，即．从上面式子可解出，于是原式．4