资本资产定价模型和套利定理1

第十章资本资产定价模型和套利定价主讲人：仲健心第一节标准资产定价模型标准CAPM根底假设条件〔1〕市场上资本资产的买卖不需要费用。〔2〕资本资产可以无限分割〔3〕无个人收入税〔4〕个人投资者的行为不影响市场股票价格。〔5〕投资者依据各证券资产的期望收益及其标准差作出决策。〔6〕允许无限卖空。〔7〕投资者能够无限制地借贷无风险资产。〔8〕期望齐次性。〔9〕所有资本资产〔包括劳动力在内〕都是商品。CAPM逻辑过程

导出CAPM的简单方法1、CAPM假设下，市场组合是投资者的有效组合我们从前面章节上，不管投资者具体对风险的态度如何其有效的选择都将是这样的：他将总是选择RFPi直线段上的某一点〔见图9.1〕。选择该直线上的点意味着：所选风险证券资产的组合将总是Pi，而与具体哪个投资者无关。按照CAPM根本假设，投资者期望是齐次的，即每个投资者对市场上任意证券的期望收益率、风险以及两个证券之间的协方差估计相同，根据前一章的结论，每个投资者的有效边界都是一样。由于市场上只有一种无风险资产，所以图9.1中每个投资者的最优资产组合Pi是完全相同的〔在这里Pi相同，是指每个投资者持有任一种风险资产比例相同，而不是任一风险资产的市值相同〕.我们进一步知道，整个市场所有投资者集合体的有效风险证券资产组合亦为Pi，也就是说，投资者个人的有效风险证券资产组合Pi之构成比例和市场现时各证券之比例所构成的整体组合PM相同。这个组合叫市场组合，它包含市场上所有证券，其中对每一种证券的投资比例等于它的相对市场价值，一种证券的相对市场价值等于这种证券的总市值除以所有证券的总市值，反过来说，现有市场各证券所占的比例就是单个投资者有效风险证券资产组合Pi之构成。上面所述原那么称为“两资产组合决定原理〞(twomutualfundtheorem),即所有投资者之最优证券资产组合仅仅包括二个子组合：一个为市场风险证券组合PM，另一个为无风险资产。这两个组合中风险资产组合的比例由投资者的无差异曲线决定。BRFPICPP图10.1两资产组合原理CAPM假设下，有效资产组合的定价模型——资本市场线

因为Pi组合即为市场组合PM，所以资本市场线可用下式表达：

e=RF+ σe

其中、σe分别为该资本线上某一点所代表的证券资产组合或者说有效资产组合的期望收益和风险。我们可认为 是有效资产组合单位风险的市场价格，它和σe的乘数值可表示由于该证券承受风险而得到的报酬，RF是无风险资产收益，可看作是对推迟消费时间的一种报酬，故上式可表述为如下意义方程式：风险资产收益＝无风险资产的时间价格＋单位风险的市场价格风险量CAPM假设下，一般资产的定价模型——证券市场线

设给定任意两个子资产组合A〔，βA〕和B〔，βB〕那么这两个子组合的任意组合P必定在一条直线上。这是因为我们应用单指数模型的结论，可以得到：＝X＋〔1－X〕βP＝XβA＋〔1－X〕βB从方程组中消去X后可得到形如＝a+bβp的直线方程，或者说〔βp,〕在由点〔βA，〕和〔βB，〕决定的直线上。βBADCC’D’假设市场上存在着另一证券资产组合D，如图10.2所示，组合D在AB直线上方.我们可以证明D组合是不可能长久存在下去的，因为我们总可以在AB直线上找到和D组合具有相同风险的一个组合C，因此投资者都将卖空C组合并将所得资金投资于D组合，从而使组合D价格上升，收益下降，最终回到C点。同时，市场上也不可能存在这样的组合资产，因为我们总可在AB直线上找到和其具有相同风险，却有较高效益的组合，每个人都会卖空组合而去投资于，因此也是不可能长期存在的。

下面让我们来列表说明套利方式。设证券组合C的期望收益为11％，β系数为1.2，证券组合D期望收益为13％，β系数和C一样，为1.2。套利者可组合一个新的证券组合E：卖空价值100元的组合C并投资于组合D。该投资者自己一分钱都不用就可以无风险地赚2元，这显然与事实不符，因此我们可确认在证券市场上D证券组合不可能较长地存在

表10.1套利组合组合初期投资期望收益率βC-100-11-1.2D+100131.2E020至此，我们已证明整个市场之证券组合都将在一直线上，为寻找出此直线只需两点即可，我们很容易找到这么两点，其一为无风险资产，由于无风险资产与市场组合无关，不存在系统风险，所以，另一点那么是市场组合M点，而前面我们市场组合之β系数为1，即βM＝1，故市场证券组合在〔，β〕坐标系里的点为PM〔，1〕上面直线可容易地得到其方程为：=该方程称为“证券市场线〞〔SecurityMarketLine〕,可决定任何单个证券或组合在市场上之均衡收益。〔二〕导出CAPM的严格方法Xk= 即 设=λZk=λ·Χk那么有=λ

(10.1)由于投资者期望齐次性假设，所有投资者都选择同一证券资产组合P，那么在市场均衡时，该证券组合P即为市场证券组合PM。设第i证券在市场组合中之比例为，那么有RM=

(10.2)比较公式(10.1)和(10.2)，因为任一投资者之证券组合和市场证券组合一样，故有X1＝X1ˊ，从而有：=〔10.3〕该方程不但对单个证券适合,也适用于任意的证券资产组合，因此，肯定也适用于市场证券组合PM。在上式中令第k种证券为市场证券组合M，那么有：从而得到：λ=代入公式(10.3)得：Rk=RF+cov(Rk,RM)(10.4)βk=

代入(10.4)式，最终得：＝RF＋βk(-RF)第三节

套利定价模型

单因素下的套利定价方程

单因素模型套利定价理论的出发点是假设证券的收益率与未知数量的未知因素相联系。我们首先设想只有一个因素，且这个因素就是工业产值的预期增长率。在这种情况下，证券收益率联系着如下的单因素模型：=证券i的收益率；

F=因素值，这里为工业产值预期增长率；=随机误差。在上述方程中，是证券i对因素的敏感性。

设想市场上拥有三种证券，每个人都预期这三种证券都具有表10.2的收益率和敏感性：表10.2三种证券的收益率及敏感性ibi证券1150.9证券2213.0证券3121.8模型说明，具有相同的因素敏感性的证券或组合除了非因素风险以外将以相同的方式波动。因而，具有相同的因素敏感性的证券或组合必要求有相同的预期收益率，如不然，套利时机便会存在，投资者将利用这些时机，最终使得其消失。这就是套利定价理论的最本质的逻辑。如何构造套利组合首先，它是一个不需要投资者任何额外资金的组合，如果Xi表示投资者对证券的持有量的权数，套利组合的这一要求可以表述为：这个方程表示该组合的投入资金为0，买入某些证券是通过卖出另外一些证券完成的。其次，一个套利组合对因素F没有敏感性，它的含义是当工业产值增长时，组合内的某些证券价格上升，而另外一些证券价格下跌。因为组合对某一因素敏感性恰好是组合中各证券对该因素的敏感性加权平均，因此套利组合的这一性质可表述为：

在当前的例子中即表述为

考虑给X1随意赋予一个值，如0.1，这样就形成两个方程和两个未知数的情形：套利组合的第三个也是最后一个要求便是：对此例，它即为：

将前面解得的候选组合的权数代入上式的左边，可得其预期收益率为0.975%,因为这是一个正数，该组合便被确认为一个套利组合。我们不妨假设单位比例代表12,000,000元，那么由上面确定的套利组合中包括购置1,200,000元的证券1和900,000元的证券2。这些数值只需通过将组合的现市值〔W0=12,000,000元〕乘以套利组合的权数X1=0.1和X2=0.075即可得到。购置这些证券所需要的资产从何处来呢？它来自于出售2,100,000元的证券3来获得〔-0.175×12,000,000元=-2,100,000元〕。套利组合对资产定价的影响

买入证券1和证券2并卖出证券3的后果将是什么呢？由于每个投资者都将这样做，证券的市场价格便将受到影响，相应地，它们的预期收益率也将作出调整。具体说来，由于不断增加的买方压力，证券1和证券2的价格将上升，进而导致预期收益率下降。相反，不断增加的卖方压力导致证券3的价格下跌和预期收益率的上升。这一点可以通过考察计算证券预期收益率的方程来看到：

其中P0是证券的当前价格，是证券的预期期末价格，购置证券比方证券1和证券2将提高它的当前价格，于是导致其预期收益率的下降。相反，出售证券如证券3将降低它的当前价格，并导致预期收益率的上升。这种买卖行为将持续到所有套利时机明显减少或消失为止。而此时，预期收益率和敏感性将满足如下的线性关系：其中λ0和为常数。我们不妨设λ0=8，λ1=4，从而定价方程为：这将形成证券1，证券2和证券3的如下的均衡预期收益率水平：也就是说，由于买方压力的增加，证券1和证券2的预期收益率水平分别从15%和%降到11.6%和20%。相反，卖方压力的增加导致证券3的预期收益率从12%上升到15.2%。我们可以将套利定价方程描述为证券预期收益率与证券对某一因素的敏感性成正比，敏感性高的证券预期收益率高

单因素APT模型的严格证明对于APT模型，证明其能够成立的充分条件是：在市场上存在着许多种证券资产，使我们能够构造这样一种含有n种证券的资产组合。该组合满足两个条件：零投资和零风险，即该组合不需要投资者提供任何额外资金，而且组合对因素F没有敏感性。用数学式子描述为：和同时我们还要求n要充分大，以保证该组合不受非因素风险的影响，即：由于该组合为零投资和零风险，在没有套利时机的情况下，其收益必将为零，这也必然意味着该组合的预期收益率为零，即：对上面所述，我们可以用数学知识进行更严格的解释：说明该组合的投资比例向量X=(X1,X2,…,Xn)和n维单位向量E=(1,1,…,1)T正交；说明向量X与向量b=(b1,b2,…,bn)T正交；由线性代数的知识我们可以知道，假设一个向量和n-1个向量正交就意味着和第n个向量也正交，那么这n个向量可以被n-1个向量线性组合而成。在这里也就意味着向量可被向量E和b线性组合而成，即：也就是有如下关系式成立：(i=1,2,…,n)APT资产定价线与APT定价方程的解释图10.9显示了套利定价的过程。根据套利定价理论，对于一个因素敏感性和预期收益率没有落在那条直线上的证券，其定价就是不合理的，这将给予投资者一个构造套利组合的时机，证券B就是一个例子。如果投资者以相同的金额分别买进证券B和卖出证券S，那么他〔她〕就构造了一个套利组合。首先，投资者通过卖出一定数量的证券S来支付买入证券B的资金，从而投资者不需要任何新投资。由于证券B和S具有相同的敏感性，因此，对证券S的卖出和对证券B的买入将构成一个对因素无敏感性的组合。最后套利组合将具有一个正的预期收益率，这是因为证券B的预期收益率将比证券S大。作为购置证券B的结果，证券B的价格将上升，进而其预期收益率将下降直到它位于APT资产定价线上为止。λ0BSbS=bBbiλAPT资产定价模型在套利定价方程中出现的常数λ0和λ1该如何解释呢？假设存在一个风险资产，这样的资产