2023人教版八年级上学期数学练习-课题学习　最短路径问题

13.4课题学习最短路径问题

测试时间:15分钟

一、选择题

1.如图，点M,N在直线1的同侧，小东同学想通过作图在直线1上确定一点Q,使MQ与QN的和

最小，那么下面的作图中，正确的是（）

2.如图,A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径A—M—N—

B最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）

B

（8M垂直于a）（41/不平行于AV）

（4N垂直于6）（4M平行于8/V）

cD

3.如图,△ABC是等边三角形,AD是BC边上的高,E是AC的中点,P是AD上的一个动点，当PC

与PE的和最小时,NACP的度数是()

A.3O0B.450C.60°D.90°

4.如图，在△ABC中,ABJ_AC,AB=3,BC=5,AC=4,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任意一点,

则△ABP周长的最小值是()

A.12B.6C.7D.8

5.在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(1,-3),在y轴上有一点P,

使PA+PB的值最小，则点P的坐标为()

-y

!~x

--♦

B

A.(2,0)B.(-2,0)C.(0,2)D.(0,-2)

二、填空题

6.如图,NA0B=3(r,NAC)B内有一定点P,且0P=15,若在OA、0B上分别有动点M、N,则

△PMN周长的最小值是.

7.如图，等腰△ABC的底边BC的长为4,面积是16,腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于

点E、F,若点D为BC边的中点,M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是

8.如图，等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD上的动点,E是AC边上一点，若

AE=2,当EF+CF取得最小值时,NBCF的度数为.

三、解答题

9.如图,B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是(0,b),点C的坐标为(-a,-a-b).

(1)直接写出点B的坐标为;

(2)用尺规作图，在x轴上作出点P,使得AP+PB的值最小；

(3)在(2)的基础上,NOAP=度.

-y

/?•-c

A

0

答案全解全析

一、选择题

1.答案D先作点M关于直线1的对称点，再连接该点与点N,交直线1于点Q,由“两点之间，

线段最短''可知，点Q即为所求，故选D.

2.答案D根据垂线段最短，得出MN是河的宽时,MN最短，即MN_L直线a（或直线b）,只要

AM+BN的值最小就行，即过A作河岸a的垂线AH,垂足为H,在射线AH上取点I,使AI等于河

宽，连接IB交河岸b于N,作NM垂直于河岸a,垂足为M,连接AM,所得MN即为所求.

故选D.

3.答案A如图，连接BE,与AD交于点P,连接CP,此时PE+PC的值最小,

AABC是等边三角形,AD_LBC,

，PC=PB,:.PE+PC=PE+PB=BE,

即BE的长就是PE+PC的最小值，

VAABC是等边三角形,二ZBCE=60°,BA=BC,

•.•E是AC的中点,AE=EC,BE_LAC,

二ZBEC=90°,.\ZEBC=30°,

VPB=PC,/.ZPCB=ZPBC=30°,.\ZACP=30°,

故选A.

4.答案C•..EF垂直平分BC,...B、C关于直线EF对称,

如图，设AC交EF于D,

AE

易知当P和D重合时,AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，

,.•AB=3,AC=4,MABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7.故选C.

5.答案D如图所示，作B点关于y轴的对称点B,连接AB；交y轴于点P,此时AP+PB的值

最小，最小值为AB，的长，过点A作AE±y轴于点E,AH_Lx轴于点H,AH的延长线交BB的延

长线于点C,

•.•点B的坐标为(1,-3),；.B，(-1,-3),

•••点A的坐标为(4,2),B'C=AC=5,

:.ZAB'C=45°,APD=B'D=1,

VOD=|-3|=3,/.OP=2,P(O2),故选D.

二、填空题

6.答案15

解析作P关于0A的对称点D,关于0B的对称点E,连接DE交0A于M,交0B于N,连接

PM,PN,则此时△PMN的周长最小，连接ODQEQP,如图,

VP.D关于0A对称,，OD=OP,PM=DM,OA，PD,

同理,OE=OP,PN=EN,二OD=OE=OP=15,

VOD=OP,OA±PD,/.ZDOA=ZPOA,

同理,NPOB=NEOB,，NDOE=2NAOB=2x30°=60°,

VOD=OE,/.ADOE是等边三角形,DE=OD=15,

APMN的周长是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=15,故答案为15.

7.答案10

解析如I图，连接AD.

VAABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

111

Z.AD1BC,BD=iBC,SAABC=jBCAD=jx4xAD=16,AD=8.

•••直线EF是线段AB的垂直平分线，

...点B关于直线EF的对称点为点A,

AAD的长为BM+MD的最小值，

/.△BDMW^K：W®/b{f=BM+MD+BD=AD+iBC=8+1x4=10.

故答案为10.

8.答案30。

解析如图，过E作EM〃BC,交AD于N,交AB于M,

VAABC为等边三角形,，ZABC=ZACB=60°,

EM〃BC,二ZAME=ZAEM=ZABC=ZACB=60°,/.AM=AE=2,

AD是BC边上的中线,△ABC是等边三角形,AD±BC,

ADIEM,

又AM=AE,；.E和M关于AD对称,

连接CM交AD于F,连接EF,此时EF+CF的值最小,

,/AABC是等边三角形,AC=BC=AB=4,

1

AM=2,/.BM=2=AM,/.ZBCF=ZECF=^ZACB=30°,

故答案为30°.

三、解答题

9.解