统计学原理期末要点归纳

PAGEPAGE2《统计学原理》期末要点概述1，“统计”一词包括三方面的含义2，英国，威廉·配第：政治经济学之父，统计学的创始人。3，比利时，阿道夫·凯特勒：数理统计学的创始人。4，德国，阿亨瓦尔：首次提出“统计学”一词。5，统计学的研究对象：在质与量的联系中研究社会经济现象总体的数量方面。6，统计学的4个特点：数量性，社会性，总体性，具体性。7，统计的3个职能：信息职能，咨询职能，监督职能。8，统计研究活动的基本环节：统计设计————统计调查——统计整理————统计分析（定性分析）——（定量分析）—（定性与定量有机结合）（质）——（量）——（质与量有机结合）9，一、统计总体与总体单位统计总体：指客观存在的、在同一性质基础上结合起来的许多个别单位的整体。它是根据一定的目的和要求，所需要研究的事物的全体。总体单位：指构成总体的个别单位。注意：1、构成总体的单位必须是同质的；2、总体与总体单位不是固定不变的。总体二、标志与标志表现姓名学历工种政治面貌年龄工龄工资张××本科车工党员37153500李××专科钳工群众32102760王××高中铜工群众46283200……标志：是用来说明总体单位特征的名称。标志标志表现：标志在各个单位的具体表现，是标志名称之后所表明的属性或数值。如：变异：各单位的标志表现各不相同。变量（数量标志）按其取值是否连续分为统计总体的特点三、统计指标和指标体系指标：是说明总体的综合数量特征的。它包括指标名称和指标数值。统计指标的特点*指标和标志的区别：（*简答题*）*1、标志是说明总体单位特征的，而指标是说明总体特征的；2、指标都能用数值表示，而标志中的品质标志用文字表达；3、指标数值是经过一定的汇总而得，而数量标志值一般通过调查取得；4、标志一般不具备时间、地点等，但指标一定要讲时间、地点、范围。指标和标志的联系：1、许多统计指标的数值是从总体单位的数量标志值汇总而来的；2、两者存在着一定的变换关系。按所反映的总体内容不同分为按作用和表现形式不同分为统计指标体系：若干个相互联系的统计指标组成的一个整体。10，统计调查的意义：开展统计调查，搜集统计资料，是人类认识社会的基本方式，是整个统计工作的基础，是统计整理和统计分析的前提。11，统计调查按其组织形式的不同分为统计调查按其调查对象所包括范围的不同分为12，调查对象和调查单位：统计研究的的总体和总体单位。填报单位：负责上报统计资料的单位。13，调查时间（调查资料所属的时间）调查期限（调查工作的起讫时间）14，普查是专门组织的一次性的全面调查，它主要用来调查属于一定时点上的社会经济现象的总量。普查工作面广量大，代价大，组织工作繁重。它能搜集到那些不宜用经常调查来搜集的全面、准确的统计资料，可据以全面、系统地掌握重要的国情国力方面的统计资料，为国家决定重大方针政策、制定社会经济发展长远规划提供可靠的依据。15，统计调查按组织形式不同分为统计报表和专门调查,专门组织的调查有普查、重点调查、典型调查、抽样调查等几种。我国目前有关国计民生的重要统计资料绝大部分是依靠统计报表取得的。16，重点调查，是在调查对象范围内选择部分重点调查单位搜集统计资料的非全面调查。重点单位，是在总体中占有举足轻重地位的单位，这些单位在整个总体中虽然数目不多，所占比重不大，但就调查的标志值来说却在总量中占很大的比重。优点：调查单位少，可以较小的代价取得较好的效果。局限：1、并非任何总体都存在重点单位；2、不能推算总体的指标。17，典型调查，是在调查对象中有意识地选取若干具有典型意义的或有代表性的单位进行非全面调查。重要特点是调查结果因人而异，受统计人员主观意识影响。不同的人会选择不同的典型单位。典型调查可主要用于以下两种情况：1．发现和分析社会生活中的新事物，及时反映各种新情况、新问题；2．总结成功的经验和失败的教训；18，*抽样调查：（*简答题*）*抽样调查是在全部调查单位中按照随机原则抽取一部分单位进行调查，根据调查的结果推断总体的一种调查方法。抽样调查的特征：1、是一种非全面调查；2、调查结果可据以推算总体；3、按照随机原则抽取样本；4、抽样误差不可避免，但可以计算，并可加以控制。抽样调查是最科学的一种调查方法。19，统计分组，是根据统计研究的需要，将统计总体按照一定的标志区分为若干个组成部分的一种统计方法。统计分组的原则（保持各组内统计资料的同质性和组与组之间资料的差异性。）20，分配数列：一、概念和种类在统计分组的基础上，将总体的所有单位按组归类整理，并按一定顺序排列，形成总体中各个单位在各组间的分布，称为次数分配。分布在各组的单位数叫次数（频数），各组次数与总次数之比叫频率。分布数列可分为1、单项式变量数列——适用于变量值变动范围不大的离散型变量表3-3-1某班学生年龄统计表年龄学生人数（次数）比重（频率、比率）181920212225201852/505/5020/5018/505/50合计5012、组距式变量数列——适用于变量值变动范围较大的离散型变量和连续型变量表3-3-2某班《定量分析方法》成绩统计表《定量分析方法》成绩学生人数比重90—10080—9070—8060—7060以下315191123/5015/5019/5011/502/50合计501二、变量数列的编制1、整理原始资料（将数据按大小顺序排列）。全距=最大变量值－最小变量值2、确定变量数列的形式（确定编制单项数列还是组距数列）3、组距式变量数列的编制（1）确定组距和组数组距=本组上限-本组下限（2）等距分组和异距分组（3）确定组限与组中值组限组对连续型变量分组，前一组的上限与后一组的下限必须重叠。对离散型变量分组，组限最好不要重叠，当然也可以不重叠。在组限重叠的情况下，确定组限所在组的原则为“上限不在组内”。如对企业按职工人数分组，可分为：99人以下100—299人300—599人600人以上三、累计次数1、向上累计，又称为较小累计制，是将各组次数或比率，由变量值低的组向变量值高的组逐组累计，向上累计表明各组上限以下所包含的次数合计或比率合计。2、向下累计，又称为较大累计制，是将各组次数或比率，由变量值高的组向变量值低的组逐组累计。向下累计表明各组下限以上所包含的次数合计或比率合计。表3-3-4某班《统计学》成绩统计表《统计学》成绩学生人数比重向上累计次数向下累计次数向上累计频率向下累计频率90—10080—9070—8060—7060以下315191126%30%38%22%4%504732132318374850100%94%646%26%4%6%36%74%96%100%合计50100%----不论是向上累计还是向下累计，最后一组的累计次数都应等于总次数，而最后一组的累计频率都应等于1（100%）。累计频率的应用——洛伦兹曲线基尼系数：(0≤≤1)一般而言，0≤<0.2分配是平等的0.2≤<0.4分配较为合理0.4<≤1分配不平等21，总量指标：反映社会经济现象在一定时间、地点、条件下的总规模或总水平。其表现形式是绝对数，是一个有名数。（数量指标，绝对指标）22，*时期指标与时点指标的定义及特点（*简答题*）*：总量指标按其反映的时间状况不同分为时期指标（现象在一定时期内的累积量）时点指标（现象在某一时点达到的总量）1、具有可加性2、数值大小与时期长短有关3、通过连续不断的登记得到1、不可加2、数值大小与时间间隔的长短无关3、一般是间断计数的23，六种常用相对指标：1、计划完成相对指标例、某企业产量计划规定本月的产量要达到200万吨，实际达到220万吨，问该企业的产量计划完成情况如何？解：计划完成百分比例、某企业成本计划规定甲产品的单位成本要降到50元/件，实际降到48元/件，问该企业的成本计划完成情况如何？解：计划完成百分比例、某企业产值计划规定本年的产值要比上年增长10%，实际增长15%，问该企业的产值计划完成情况如何？计划完成百分比注意：计划完成相对指标的评价：收入收益性质的指标（一般规定应达到的最低限额），计划完成百分比大于100%为超额完成计划，小于100%为没有完成计划；成本费用性质的指标（一般规定应达到的最高限额），计划完成百分比小于100%为超额完成计划，大于100%为没有完成计划。长期计划的检查2、结构相对指标=×100%3、比例相对指标=4、比较相对指标5、强度相对指标：是两个性质不同、但有一定联系的属于不同总体的总量指标对比，用来表明现象的强度、密度和普遍程度。6、动态相对指标（发展速度）=×100%24，*平均指标：（*计算题*）*（给一变量数列，计算算数平均数、中位数及众数，同期中考）平均指标：是指在同质总体内将各单位某一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具体条件下的一般水平的指标。平均指标的特点：将各单位的数量差异抽象化；同类现象才能计算平均指标；反映总体变量值的集中趋势。平均指标二、算术平均数=要求：总体各单位是同质的，分子和分母是同一总体的标志总量与单位总量，且具有一一对应关系,这是平均数和强度相对数的区别。算术平均数（一）简单算术平均数例如，现有一组数据：79，52，68，85，93，77，82，86，74，80。其算术平均数=（二）加权算术平均数计算公式为：=其中，代表各组的变量值（或组中值），代表各组的次数。例：某班《统计学原理》成绩统计表如下，求该班学生的平均成绩。表2-3-2某班《统计学原理》成绩统计表《统计学原理》成绩组中值学生人数比重90—10080—9070—8060—7060以下9585756555315191126%30%38%22%4%合计-50100%解：该班学生的《统计学原理》平均成绩为：=（分）注意：1、对于组距数列，用上式计算出来的平均数只是真实平均数的近似值；2、各组次数称为权数；3、真正起权衡轻重作用的是各组频率。加权算术平均数的数值大小实际上是受各组变量值和结构相对数两个因素的影响；例：某车间工人按生产的产品合格率分组资料如下，试求平均合格率。产品合格率（%）工人数（人）产品数（件）70～8080～9090～100630282001200800合计642200解：==4、权数是由实际经济现象的内在联系所决定，由相对数和平均数计算其算术平均数时，首先要考虑到该相对数或平均数的基本计算公式，认清其分子、分母是什么，然后选择其分母指标为权数。5、算术平均数的大小容易受到极大值的影响。如：{200，350，410，580，630，790，840，920，1030，10000}＝1575（三）算术平均数的数学性质（1）算术平均数与总体单位数的乘积等于总体各单位标志值的总和。即：，（2）若各个变量值都加（减）任意数A，则平均数也要加（减）A。即：（3）若每个变量值都乘（除）以任意数A，则平均数也要乘（除）以A。即：，（4）各个变量值与算术平均数的离差之和等于0。即：，（5）各个变量值与算术平均数的离差平方之和等于最小值。即：，三、调和平均数——各个变量值倒数的算术平均数的倒数调和平均数1、简单调和平均数例：某市场上有三种等级的橘子，一级橘子每千克1.2元，二级橘子每千克1元，三级橘子每千克0.8元，问：（1）若各买一千克，平均每千克多少元？（2）若三种橘子各用一元钱去买，买得的橘子的平均价格是多少？解：因为平均价格=货币支出/橘子重量，所以（1）（元/千克）（2）=0.97（元/千克）2、加权调和平均数在统计工作中，常常会遇到只有各组标志总量而缺少总体单位数的变量数列资料，此时就需要用加权调和平均数的形式求平均数。其计算公式为：其中，mi为权数（各组标志总量），且注意：1、若数据中有0，则不能计算调和平均数。2、调和平均数的大小容易受到极小值的影响。如：{0.01，1，1.1，1.2，1.4，1.5，1.6，1.8，1.9，2},H=0.094在计算平均数时，应先弄清楚该指标的基本公式（），然后对照所掌握的资料，若掌握的是比值的分母（总体单位总量），则计算算术平均数；若掌握的是比值的分子（各组标志总量），则计算调和平均数。例：根据下表资料求平均计划完成百分比。计划完成百分比（%）实际产量（件）80～9090～100100～110110～120600250038001200合计8100解：四、几何平均数（对数平均数）——各变量值的连乘积的n次方根几何平均数例、某企业生产某种产品要经过三道工序，已知这三道工序的合格率分别为95%、92%、98%，求三道工序的平均合格率。解：平均合格率为特点：①它受极端值影响较小，较稳健；②如果有数据等于零或负数，就无法计算几何平均数；③应用范围较窄。它主要用于反映现象的总量不等于各单位标志值的总和，而等于各单位标志值的连乘积的现象的平均水平。如：平均发展水平的计算、平均本利率的计算。五、中位数（Me）各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置上的标志值就是中位数。中位数的位置1、由未分组资料确定中位数例如，数据组{53，64，68，71，77，80，85，86，89，94}的中位数位置为，中位数。2、由单项数列资料确定中位数例：根据下表资料计算某班学生年龄的中位数。表2-3-5某班学生年龄统计表年龄学生人数比重向上累计次数181920212225271152/505/5027/5011/505/5027344550合计501-解：中位数的位置为，根据上表中的向上累计次数可知，中位数在第三组的第18个数和第19个数中间，为20岁。3、由组距数列资料确定中位数步骤：（1）计算各组的累计次数（或累计频率）；（2）按公式确定中位数的位置；其中，。（3）根据累计次数确定中位数所在组；（4）用线性插值法按比例推算中位数的近似值。式中，、——中位数所在组的下限、上限、——中位数所在组的组距、次数——向上累计至中位数所在组前一组止的累计次数；——向下累计至中位数所在组后一组止的累计次数；为数据个数。例：根据下表资料求某班《统计学原理》成绩的中位数。表2-3-6某班《统计学原理》成绩统计表《统计学原理》成绩学生人数比重向上累计次数向下累计次数90—10080—9070—8060—7060以下315191126%30%38%22%4%504732132318374850合计50100%——解：由公式=25及向上累计次数可知，70—80这一组为中位数所在组。下限公式：＝76.3(分)上限公式：＝76.3(分)六、众数（Mo）——总体中出现次数最多的标志值计算公式：1、众数的存在条件：数据的个数较多，数据的次数分配有明显的集中趋势。2、众数的计算方法（1）单项数列确定众数——观察确定例：某班学生年龄统计表如下，求该班学生年龄的众数。表2-3-7某班学生年龄统计表年龄学生人数比重181920212225271152/505/5027/5011/505/50合计501解：观察可知，该班学生年龄的众数是20岁。（2）组距数列确定众数——先观察确定众数所在的组，然后用比例插值法推算众数的近似值。式中，、——众数组的下限、上限；△1——众数组次数与前一组次数之差；△2——众数组次数与后一组次数之差；——众数组的组距。例：根据下表资料求某市居民家庭人均月收入的众数。表2-3-8某市居民家庭人均月收入统计表家庭人均月收入人数比重300元以下300—600600—900900—12001200—15001500—18001800—21002100—24002400以上209017025039022014060101.48%6.67%12.59%18.52%28.89%16.3%10.37%4.44%0.74%合计1350100%解：观察上表易知，众数所在组为1200—1500这个组。下限公式：＝1335.48(元)上限公式：＝1335.48(元)七、各种平均数之间的关系1、根据同一资料计算算术平均数、调和平均数和几何平均数，必然有：2、算术平均数和中位数、众数三者之间的关系与总体分布的特征有关：（1）当总体呈对称分布时，（2）当总体分布呈左偏时，（3）当总体分布呈右偏时，Me=M0=MeM0M0Me图2-3-1算术平均数和中位数、众数三者之间的关系英国统计学家皮尔逊提出的经验公式：在次数分布呈轻微偏斜的条件下，有：25，标志变异指标，测定数据离散状况，反映总体各单位标志值差别大小的指标。（标志变异指标的数值越大，说明数据越发分散，总体内部的差异越大，用平均数代表整体的代表性越差。反之亦然。）标志变异指标的作用：评价平均数代表性的好坏；反映社会生产和经济活动过程的均衡性、协调性、产品质量的稳定性；揭示总体变量分布的离中趋势。26，（知道特点）全距：是总体各单位标志值中的最大值和最小值之差，特点：计算简便，易于理解；但计算粗略，易受到极值的影响，不能全面反映总体各单位标志的变异程度。四分位差：把一个变量数列分为四等分，得到三个四分位数，其中第三个四分位数Q3与第一个四分位数Q1之差就是四分位差。平均差：是各单位标志值与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。27，（概念，计算，特点）标准差：是各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根。标准差的平方即方差（）。标准差的计算公式：未分组资料：分组资料：特点：统计含义明确，对所有变量值的离散趋势有较充分的代表性；数学处理上比平均差更合理，更优越，而且标准差比平均差更灵敏。方差的简化计算公式：离散系数（标志变异系数）：以上几种标志变异绝对指标的共同点：可比性较差——都有与平均指标相同的计量单位；其数值大小不仅受数据离散程度的影响，还受数列平均水平大小的影响。离散系数：以标志变异绝对指标除以其平均数而得到。最常用的是标准差系数：标准差系数：×100%（当计量单位不同或平均数不等时）例、根据平均数及标准差的性质，回答下列问题：（1）已知一组数据的平均数为600，标准差系数为30%，其方差是多少？（2）已知一组数据的平均数为15，各个数据平方的平均数为234，其标准差系数为多少？（3）已知一组数据的方差为50，各个数据的平方的平均数为150，其平均数是多少？（1）（2）∵∴（3）27，动态数列（时间数列）：是将某种现象在时间上变化发展的一系列统计指标，按时间的先后顺序排列而形成的数列。动态数列的基本构成要素动态数列（注：只有时期数列相加有意义）28，增长量=报告期水平-基期水平增长量二者关系：某期的累计增长量等于相应各期的逐期增长量之和。平均增长量——逐期增长量数列的序时平均数平均增长量=平均增长量29，动态数列的速度分析指标（掌握4个速递分析指标和2个水平分析指标，出选择题，计算题）：一、发展速度=定基发展速度==（总速度）环比发展速度==（逐期发展速度）定基发展速度和环比发展速度的关系：1、2、例、已知某地区2003年粮食产量的环比发展速度为105%，2004年为106%，2005年为102%，2006年为97%，2007年的定基发展速度为112%，则2007年的环比发展速度为多少？解：设2007年的环比发展速度为，因为所以，二、增长速度==发展速度-1定基增长速度==定基发展速度-1（总增长速度）环比增长速度==环比发展速度-1（逐期增长速度）注意：1、发展速度大于1则增长速度为正值，现象是增长的；发展速度小于1则增长速度为负值，现象是降低的；2、定基增长速度和环比增长速度不能直接进行换算。例、已知2002年比2001年增长6%，2003年比2002年增长8%，2004年比2003年增长2%，2005年比2004年下降4%，2006年比2005年增长3%，则2006年比2001年增长多少？解：所以，2006年比2001年增长15.46%。年距增长速度==年距发展速度-1三、平均增长速度——各期环比增长速度的平均数平均增长速度=平均发展速度-1四、平均发展速度——各期环比发展速度的平均数1、水平法（几何平均法）基本原理：假定现象在各期都以同一平均发展速度发展，到最末一期的总速度（或水平）正好与现象在研究期末的总速度（或水平）——最末一期的定基发展速度相等。对动态数列a0,a1,a2,……,an，令表示平均发展速度，根据上述基本原理，有：即例、某企业五年计划规定：计划末期甲产品产量要翻两番，则年均增长多少才能实现计划？（）2、累计法（方程式法）基本原理是：从最初水平出发，每期按平均发展速度计算的各期发展水平累计总和数应等于各期实际发展水平的总和数。根据累计法的基本原理有：计算和运用平均发展速度应注意：1、根据统计研究目的选择计算方法；2、要注意社会经济现象本身的特点；（1）当现象随着时间的发展比较稳定地逐年上升或逐年下降时，一般采用水平法计算平均发展速度。（2）当现象的发展不是有规律地逐年上升或下降，而是经常表现为升降交替，一般采用累计法计算平均发展速度。3、采取分段平均速度来补充说明总平均速度。30，*最小平方法：（*计算题*）*（如何用最小平方法建立直线趋势方程）最小平方法：在对原数列进行初步分析的基础上，根据其发展趋势的类型，用数学方法配合一个恰当的方程式，以测定现象的长期趋势。思想：各变量值到该直线（曲线）的铅直距离之和为最小。用数学语言表达得其数学依据为：动态数列的实际值y与对应的趋势值yc的离差平方和为最小。即：最小值1、直线方程——现象的逐期增长量大体相等直线的一般方程为：（t为动态数列的时间顺序值）定理：在函数y=f(x)的极值点上，一阶导数0。根据最小平方法的数学依据和上述定理，可得未知参数的求解公式为：时间数列项数为奇数项时，令t的取值依次为：……，-3，-2，-1，0，1，2，3，……；数列项数为偶数项时，令t依次为……，-7，-5，-3，-1，1，3，5，7，……，可使，则上述方程组可简化为：，31，测定季节变动的方法有两种按月平均法：长期趋势不明显，季节变动显著，无明显持续上升或下降趋势；移动平均法：长期趋势以及季节变动都很显著。各月季节比率之和应等于1200%，各季度季节比率之和应等于400%32，狭义的指数专指综合反映不能直接相加和对比的复杂社会经济现象综合变动程度的相对数。33，编制综合指数的要点注：1，同度量因素的选择是把不能直接相加和对比的指标转化为可以相加和对比的指标。2，为了反映同度量因素的变动情况要把同度量因素的时期确定下来。3，编制综合指数的一般原则是：编制数量指标综合指数时，应以基期的质量指标作为同度量因素；编制质量指标指数时，应以报告期的数量指标作为同度量因素。（我国一般编制派氏质量指标综合指数）34，平均指标指数的计算（编制）方法（P.s.计算题见课本244页11题）：首先计算出质量指标或是数量指标的个体指数，然后根据研究目的，采用不同的总量指标为权数对个体指数进行加权算术平均或是加权调和平均，来综合反映现象的总动态。一、平均指标指数的基本形式1、加权算术平均数指数——主要用来编制数量指标总指数加权算术平均数指数：以基期的总量指标为权数，对数量指标个体指数（）进行加权算术平均。计算公式为：其中q为基期，p为报告期2、加权调和平均数指数——主要用来编制质量指标总指数加权调和平均数指数：以报告期的总量指标为权数，对质量指标个体指数（）进行加权调和平均。其计算公式为：平均数指数实际上是综合指数的两种变形。一般情况是：①在缺少综合指数公式的分子资料时，以分母资料为权数，变形为加权算术平均数指数；②在缺少综合指数公式的分母资料时，以分子资料为权数，变形为加权调和平均数指数。35，（不要求计算，掌握3个指数的编制即可）平均指标对比指数：用指数编制原理对平均水平的变动进行影响因素分析。编制前提：报告期和基期的平均数均为加权算术平均数，即，可变构成指数：可变固定构成指数：固定（是组中值，质量指标）结构影响指数：