新高考数学一轮复习讲义+分层练习 2.7《对数与对数函数》教案 (原卷版)

第七节对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，eq\f(1,2)的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.1.对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1).(2)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0).(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).3.对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.eq\a\vs4\al([常用结论])1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()(2)log2x2＝2log2x.()(3)函数y＝lneq\f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x)的定义域相同.()(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，(eq\f(1,a),-1)，函数图象不在第二、三象限.()二、教材改编1.(log29)·(log34)＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.2D.42.已知a＝2eq\s\up5(－\f(1,3))，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)，则()A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.c＞b＞a D.c＞a＞b3.函数y＝eq\r(logeq\s\up-5(\f(2,3))（2x－1）)的定义域是________.4.函数y＝loga(4﹣x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________.考点1对数式的化简与求值对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1.设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，则m等于()A.eq\r(10)B.10C.20D.1002.计算：(lgeq\f(1,4)﹣lg25)÷100eq\s\up5(－\f(1,2))＝________.3.计算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.4.已知log23＝a，3b＝7，则log3eq\r(7)2eq\r(21)的值为________.考点2对数函数的图象及应用对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(1)在同一直角坐标系中，函数y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x＋eq\f(1,2))(a＞0，且a≠1)的图象可能是()ABCD(2)当0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，则a的取值范围是()A.(0，eq\f(\r(2),2)) B.(eq\f(\r(2),2)，1)C.(1，eq\r(2)) D.(eq\r(2)，2)[母题探究]1.(变条件)若本例(2)变为：若不等式x2﹣logax＜0对x∈(0，eq\f(1,2))恒成立，求实数a的取值范围.2.(变条件)若本例(2)变为：当0＜x≤eq\f(1,4)时，eq\r(x)＜logax，求实数a的取值范围.1.函数y＝ln(2﹣|x|)的大致图象为()ABCD2.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a＞1，c＞1 B.a＞1，0＜c＜1C.0＜a＜1，c＞1 D.0＜a＜1，0＜c＜13.设方程10x＝|lg(﹣x)|的两个根分别为x1，x2，则()A.x1x2＜0 B.x1x2＝0C.x1x2＞1 D.0＜x1x2＜1考点3对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论.(2)底数与1的大小关系.(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.比较大小(1)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A.a＜c＜b B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b(2)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)，则a，b，c的大小关系为()A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.c＞b＞a D.c＞a＞b对数值大小比较的主要方法(1)化同底数后利用函数的单调性.(2)化同真数后利用图象比较.(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较.解简单对数不等式(1)若logaeq\f(3,4)＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________.(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________.和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f(x)＝loga(3﹣ax).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.1.已知函数f(x)＝log0.5(x2﹣ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为()A.(﹣∞，4] B.[4，＋∞)C.[﹣4，4] D.(﹣4，4]2.函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________.3.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,logeq\s\up-5(\f(1,2))（－x），x＜0.))若f(a)＞f(﹣a)，则实数a的取值范围是________.对数与对数函数一、选择题1.函数y＝eq\r(log3（2x－1）＋1)的定义域是()A.[1，2] B.[1，2)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.(eq\f(2,3)，＋∞)2.若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A.log2x B.eq\f(1,2x)C.logeq\f(1,2)x D.2x﹣23.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.c＜a＜b D.b＜c＜a4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1C.lg10.1 D.10﹣10.15.设函数f(x)＝loga|x|(a＞0，且a≠1)在(﹣∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是()A.f(a＋1)＞f(2) B.f(a＋1)＜f(2)C.f(a＋1)＝f(2) D.不能确定二、填空题6.计算：lg0.001＋lneq\r(e)＋2eq\s\up8(－1＋log23)＝________.7.函数f(x)＝loga(x2﹣4x﹣5)(a＞1)的单调递增区间是________.8.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是________.三、解答题9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3﹣x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间[0，eq\f(3,2)]上的最大值.10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＝logeq\s\up-2(\f(1,2))x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2﹣1)＞﹣2.1.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则()A.(a﹣1)(b﹣1)＜0 B.(a﹣1)(a﹣b)＞0C.(b﹣1)(b﹣a)＜0 D.(b﹣1)(b﹣a)＞02.已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10﹣x)，则()A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数3.关于函数f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0，x∈R)有下列命题：①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；②在区间(﹣∞，0)上，函数y＝f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数f(x)是