新高考数学一轮复习讲义+分层练习 2.9《函数与方程》教案 (原卷版)

第九节函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数.1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210eq\o([常用结论])有关函数零点的3个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点.()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2﹣4ac＜0时没有零点.()二、教材改编1.已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433﹣7424.5﹣36.7﹣123.6则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个 B.3个C.4个 D.5个2.函数f(x)＝lnx＋2x﹣6的零点所在的区间是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)3.函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________.4.函数f(x)＝xeq\s\up8(\f(1,2))﹣(eq\f(1,2))x的零点个数为________.考点1函数零点所在区间的判定判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程.(2)零点存在性定理.(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断.1.函数f(x)＝lnx﹣eq\f(2,x2)的零点所在的区间为()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)2.若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)＋(x﹣b)(x﹣c)＋(x﹣c)(x﹣a)的两个零点分别位于区间()A.(a，b)和(b，c)内B.(﹣∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，＋∞)内D.(﹣∞，a)和(c，＋∞)内3.已知函数f(x)＝lnx＋2x﹣6的零点在(eq\f(1,2)k,eq\f(1,2)k+1)(k∈Z)内，那么k＝________.考点2函数零点个数的判断函数零点个数的讨论，基本解法有(1)直接法，令f(x)＝0，在定义域范围内有多少个解则有多少个零点.(2)定理法，利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3)图象法，一般是把函数分拆为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.(1)函数f(x)＝2sinx﹣sin2x在[0,2π]的零点个数为()A.2 B.3C.4 D.5(2)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x＞0，,2x＋1，x≤0))的零点个数为()A.0 B.1C.2 D.3(3)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x﹣3，则f(x)的零点个数为()A.1 B.2C.3 D.41.函数f(x)＝2x|log0.5x|﹣1的零点个数为()A.1 B.2C.3 D.42.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，x＞0，,－x2＋bx＋c，x≤0，))若f(0)＝﹣2，f(﹣1)＝1，则函数g(x)＝f(x)＋x的零点个数为________.考点3函数零点的应用根据函数零点的情况求参数的3种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.根据函数零点个数求参数已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是________.根据函数有无零点求参数已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤0，,ex，x＞0，))则使函数g(x)＝f(x)＋x﹣m有零点的实数m的取值范围是________.根据零点的范围求参数若函数f(x)＝(m﹣2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(﹣1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________.1.函数f(x)＝2x﹣eq\f(2,x)﹣a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3) D.(0,2)2.方程logeq\s\up-5(\f(1,2))(a﹣2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________.3.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x＜1，,log\f(1,2)x，x≥1，))若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________.函数与方程一、选择题1.设f(x)＝lnx＋x﹣2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)2.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x＞0))的零点个数为()A.3B.2C.7D.03.已知a是函数f(x)＝2x﹣log0.5x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足()A.f(x0)＝0 B.f(x0)＞0C.f(x0)＜0 D.f(x0)的符号不确定4.已知函数f(x)＝x﹣eq\r(x)(x＞0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx的零点分别为x1，x2，x3，则()A.x1＜x2＜x3 B.x2＜x1＜x3C.x2＜x3＜x1 D.x3＜x1＜x25.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≤0，,\f(1,x)，x＞0，))则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是()A.(1,2) B.(﹣∞，﹣2]C.(﹣∞，1)∪(2，＋∞) D.(﹣∞，1]∪[2，＋∞)二、填空题6.函数f(x)＝ax＋1﹣2a在区间(﹣1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________.7.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是﹣2和3，则不等式af(﹣2x)＞0的解集是________.8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,x2＋x，x≤0，))若函数g(x)＝f(x)﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是________.三、解答题9.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点.(1)求m的值.(2)求函数的零点.10.设函数f(x)＝|1-eq\f(1,x)|(x＞0).(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围.1.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)﹣log3|x|的零点有()A.多于4个 B.4个C.3个 D.2个2.已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx﹣1)2的图象与y＝eq\r(x)＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是()A.(0,1]∪[2eq\r(3)，＋∞) B.(0,1]∪[3，＋∞)C.(0，eq\r(2)]∪[2eq\r(3)，＋∞) D.(0，eq\r(2)]∪[3，＋∞)3.已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ﹣x)只有一个零点，则实数λ＝________.4.已知函数f(x)＝﹣x2﹣2x，g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x＞0，,x＋1，x≤0.))(1)求g(f(1))的值；(2)若方程g(f(x))﹣a＝0有4个实数根，求实数a的取