概率与数理统计

概率与数理统计汇报人：AA2024-01-19概率论基本概念一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念假设检验与方差分析回归分析初步目录01概率论基本概念随机事件在一定条件下并不总是发生，而且人们事先不能确知其是否发生的事件。概率表示随机事件发生可能性大小的数值。概率的性质非负性、规范性、可加性。随机事件与概率几何概型如果样本空间是一个区域，且每个样本点发生的可能性只与该区域的面积、体积等几何量有关，则称这种试验为几何概型。古典概型与几何概型的区别主要在于样本空间和样本点的等可能性不同。古典概型如果每个样本点发生的可能性相等，则称这种试验为古典概型。古典概型与几何概型条件概率在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记作P(B|A)。独立性如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。条件概率与独立性的关系如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B)。条件概率与独立性03020102一维随机变量及其分布定义取值可数的随机变量称为离散型随机变量。常见离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、几何分布等。分布律描述离散型随机变量取各个值的概率，常用分布列表示。离散型随机变量及分布律取值充满某个区间的随机变量称为连续型随机变量。定义描述连续型随机变量在某个点的“概率强度”，具有非负性和规范性。概率密度正态分布、均匀分布、指数分布等。常见连续型随机变量分布连续型随机变量及概率密度定义：随机变量的函数是指将随机变量的取值通过某种函数关系进行变换后得到的新的随机变量。离散型随机变量的函数分布：通过分布律的变换求得。连续型随机变量的函数分布：通过概率密度的变换和积分求得，需注意变换后的取值范围和概率密度的规范性。010203随机变量的函数分布03多维随机变量及其分布二维随机变量的定义设$X$和$Y$是两个随机变量，则称$(X,Y)$为二维随机变量。联合分布函数对于任意实数$x,y$，二元函数$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数。联合概率密度函数如果存在非负函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，则称$f(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数。010203二维随机变量及联合分布第二季度第一季度第四季度第三季度边缘分布函数边缘概率密度函数条件分布函数条件概率密度函数边缘分布与条件分布二维随机变量$(X,Y)$关于$X$的边缘分布函数定义为$F_X(x)=P{Xleqx}$，关于$Y$的边缘分布函数定义为$F_Y(y)=P{Yleqy}$。如果$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$，则$X$的边缘概率密度函数为$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$，$Y$的边缘概率密度函数为$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。设$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，关于$Y=y$的条件分布函数定义为$F_{X|Y}(x|y)=frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$，关于$X=x$的条件分布函数定义为$F_{Y|X}(y|x)=frac{F(x,y)}{F_X(x)}$。如果$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$，则关于$Y=y$的条件概率密度函数为$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$，关于$X=x$的条件概率密度函数为$f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)}$。随机变量的独立性如果对于任意实数$x,y$，都有$P{Xleqx,Yleqy}=P{Xleqx}P{Yleqy}$，则称随机变量$X$与$Y$相互独立。判断独立性的方法通常可以通过判断联合分布函数是否等于边缘分布函数的乘积来判断两个随机变量是否独立。如果等于，则独立；如果不等于，则不独立。独立性的性质如果两个随机变量相互独立，则它们的任意函数也相互独立。此外，如果一组随机变量两两独立，则它们的任意部分也两两独立。两个随机变量独立的定义04数理统计基本概念研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个分布函数来描述。总体从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本样本中包含的个体数目，通常用n表示。样本容量总体与样本统计量样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。抽样分布统计量的概率分布，描述了统计量在多次抽样中的分布情况。常见抽样分布正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。统计量与抽样分布03评价标准无偏性、有效性、一致性等。01点估计用一个具体的数值来估计总体参数的方法，如样本均值估计总体均值。02区间估计用一个区间来估计总体参数的方法，该区间以一定的概率包含总体参数的真值。参数估计方法05假设检验与方差分析原假设通常是研究者想要推翻的假设，而备择假设则是研究者希望证实的假设。原假设与备择假设检验统计量是根据样本数据计算出的用于判断原假设是否成立的统计量，而拒绝域则是当检验统计量落在某个特定范围内时，我们拒绝原假设的区域。检验统计量与拒绝域显著性水平是事先设定的用于判断原假设是否成立的标准，而P值则是在原假设下观察到当前样本数据或更极端数据的概率。显著性水平与P值假设检验基本原理用于比较样本均值与已知总体均值是否有显著差异。单样本t检验用于比较两个独立样本均值是否有显著差异，包括等方差和异方差两种情况。双样本t检验用于比较同一组受试者在两个不同条件下的差异，例如前后测量或对照实验。配对样本t检验单样本和双样本t检验方差分析的目的01用于研究不同因素对实验结果的影响程度，以及各因素之间的交互作用。方差分析的基本思想02将总变异分解为各因素引起的变异和随机误差引起的变异，通过比较各因素引起的变异与随机误差的大小来判断因素对实验结果的影响是否显著。方差分析的步骤03包括建立假设、构造检验统计量、确定拒绝域、计算P值并作出决策等步骤。方差分析简介06回归分析初步根据研究目的，明确自变量（解释变量）和因变量（被解释变量）。确定自变量和因变量通过绘制自变量和因变量的散点图，观察两者之间的线性关系。绘制散点图设定一元线性回归模型的形式为y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。建立回归模型利用最小二乘法等方法，估计出模型参数a和b的值。估计模型参数一元线性回归模型建立提出假设计算检验统计量确定显著性水平作出决策回归方程显著性检验设定原假设H0为回归系数a=0，即自变量对因变量无影响。根据样本数据计算F统计量或t统计量。设定显著性水平α，通常取0.05或0.01。将计算得到的检验统计量与临界值进行比较，若检验统计量大于临界值，则拒绝原假设，认为自变量