大学数学-初等数论

大学数学初等数论线性代数射影几何概率统计初等数论赵争

序言

数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等局部是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数〔即整数〕分布以及数论函数等内容，统称初等数论〔ElementaryNumberTheory〕。初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的?几何原本?中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之奉献，现在一般数论书中的“中国剩余定理〞正是我国古代?孙子算经?中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理〞。

欧几里德高斯费马欧拉拉格朗日毕达格拉斯由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的开展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时间促进着数论的开展。数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中最根本的概念和理论，希望大家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些根本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍数、辗转相除法等，有较深入的了解。

第一章整数的整除性

§1.1整除的概念一、根本概念1、自然数、整数2、正整数、负整数3、奇数、偶数一个性质：整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数

二、整除1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在一个整数q使得等式：a=bq成立，那么称b能整除a或a能被b整除，记作b∣a；如果这样的q不存在，那么称b不能整除a。2、整除的性质〔1〕如果b∣a，c∣b，那么c∣a.〔2〕如果b∣a，那么cb∣ca.〔3〕如果c∣a，那么对任何整数d，c∣da.〔4〕如果c∣a，c∣b，那么对任意整数m，n，有c∣ma+nb.〔5〕如果a∣b，b∣a，那么a=±b.3、质数、合数4、带余除法定理：设a，b是两个整数，其中b＞0，那么存在两个唯一的整数q及r，使得a=bq+r，0≤r＜b成立.我们称r是b除a的余数。可以看出：b整除a的充要条件是r=0。§1.2最大公因数和辗转相除法一、最大公因数1、定义设a1，a2，…，an是n个不全为零的整数，假设整数d是它们之中每一个的因数，那么d就叫做a1，a2，…，an的一个公因数。整数的公因数中最大的一个叫做它们的最大公因数，记作〔a1，a2，…，an〕。2、互质设a1，a2，…，an是n个不全为零的整数，假设〔a1，a2，…，an〕=1，那么称a1，a2，…，an是互质的。注：三个互质比一定两两互质。比方〔3，4，6〕=1，但〔3，6〕=3，〔4，6〕=2.3、最大公因数的性质〔1〕当b∣a时，〔a，b〕=b.〔2〕a，b的一切公因数都是〔a，b〕的因数.〔3〕假设a，b是正整数，m是任一正整数，那么有〔am，bm〕=〔a，b〕m.〔4〕假设〔a，b〕=1，c为任一正整数，那么有〔ac，b〕=〔c，b〕〔5〕假设〔a，b〕=1，b∣ac，那么有b∣c.〔6〕假设a，b，c是任意三个正整数，那么〔a，b〕=d的充分必要条件是：4、辗转相除法一个推论假设a，b是正整数，且〔a，b〕=d，那么必存在整数m和n，使得d=ma+nb注：证明可由带余除法逆向代入证得。例1：求〔735000，238948〕.解：因为735000=238948×3+18156，238948=18156×13+292018156=2920×6+6362920=636×4+376636=376×1+260376=260×1+116260=116×2+28116=28×4+428=4×7所以〔735000，238948〕=4.例2：求〔2605，-5125〕.解：因为5125=2605×1+2520，2605=2520×1+852520=85×29+5585=55×1+3055=30×1+2530=25×1+525=5×5所以〔2605，-5125〕=5.例3：求〔2605，3245，7250〕.解：先求2065和3245的最大公因数。因为3245=2605×1+1180，2605=1180×1+8851180=885×1+295885=295×3所以〔2605，3245〕=295.再求295与7250的最大公因数。7250=295×24+170，295=170×1+125170=125×1+45125=45×2+3545=35×1+1035=10×3+510=5×2所以〔2605，3245，7250〕=〔295，7250〕=5.练习求〔125，610〕.求〔51306，1224〕.求〔538，244，555〕.§1.3最小公倍数

一、定义二、最小公倍数的性质1、定理：例1：求[3468,24871].解：由辗转相除法得：〔3468，24871〕=17.所以[3468,24871]==5073684.例2：求[128，234，524].习题1、求[21，35].2、求[123，321].3、求[125，725，1125，2021].§1.4整数可除性的检验一、整数的表示1、十进制的整数的意义：各位数字的加权和。2、一般表示：进位制进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。进位制常见的进位制：

二进制广泛用于计算机

三进制用于军队编制

十进制最常用

十二进制时辰、月份、一打物品

十六进制广泛用于计算机

六十进制秒、分,角度

二、可除性判别方法判别方法1：〔整数被2整除〕如果一个整数的末尾数字能被2整除，那么该数能被2整除。即：假设2∣a0，，那么2∣N.判别方法2：〔整数被5整除〕如果一个整数的末尾数字能被5整除，那么该数能被5整除。即：假设5∣a0，，那么5∣N.判别方法3：〔整数被3整除〕如果一个整数的各位数字之和能被3整除，那么该数能被3整除。即：假设3∣an+an-1+…a1+a0，，那么3∣N.判别方法4：〔整数被9整除〕如果一个整数的各位数字之和能被9整除，那么该数能被9整除。即：假设9∣an+an-1+…a1+a0，，那么9∣N.二、可除性判别方法判别方法5：〔整数被11整除〕如果一个整数将其最后三位数字去掉后得到的位数少3位的新整数与该整数末三位数字组成的数之差能被11整除，那么该整数能11整除.即如果，那么11︱N.判别方法6：〔整数被13整除〕如果一个整数将其最后三位数字去掉后得到的位数少3位的新整数与该整数末三位数字组成的数之差能被11整除，那么该整数能11整除.即如果，那么13︱N.第二章不定方程§2.1二元一次不定方程一、齐次方程二、非齐次方程例1三、有整数解的充要条件两个推论推论1：如果〔a，b〕=1，那么方程〔1〕有整数解.推论2：如果〔a，b〕∣c，那么方程〔1〕没有整数解.例2：判断以下不定方程有没有整数解。四、整数别离法解不定方程步骤：1、把不定方程变形，用系数绝对值较大的未知数表示系数绝对值较小的未知数；2、把1中的代数式别离成一个整式和一个分式之和；3、通过观察和其它方法使分式值为整数从而筛选得到不定方程的整数解。例3例4:解以下不定方程五、不定方程组例2：求解不定方程组习题§2.2多元一次不定方程一、三元一次不定方程1、解的存在性定理：三元一次不定方程ax+by+cz=d有整数解的充分必要条件是〔a，b，c)∣d，其中a，b，c，d都是正整数.2、三元一次不定方程的通解一般解法第三章同余

§3.1同余的概念和性质二、同余的性质定理同余关系是等价关系，即(1)自反性a≡a(modm)。(2)对称性假设a≡b(modm)，那么b≡a(modm)。(3)传递性假设a≡b(modm)，b≡c(modm)，那么a≡c(modm)。定理设a、b、c、d为整数，m为正整数，假设a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么：(1)ax＋cy≡bx＋dy(modm)，x、y为任意整数，即同余式可以相加；(2)ac≡bd(modm)，即同余式可以相乘；(3)an≡bn(modm)，n＞0；(4)f(a)≡f(b)(modm)，f(x)为任一整系数多项式。证明(1)因为a≡b(modm)，c≡d(modm)，所以m|(a－b)，m|(c－d)，于是m|((a－b)x＋(c－d)y)，即m|((ax＋cy)－(bx＋dy))，故ax＋cy≡bx＋dy(modm)。(2)因为a≡b(modm)，c≡d(modm)，所以m|(a－b)，m|(c－d)，于是m|((a－b)c＋(c－d)b)，即m|(ac－bd)，故ac≡bd(modm)。(3)因为a≡b(modm)，那么存在整数q使得a－b＝mq。于是：an－bn＝(b＋mq)n－bn＝(bn＋bn-1(mq)1＋…＋b1(mq)n-1＋(mq)n)－bn＝mp，其中p是一整数。所以an≡bn(modm)。(4)由(1)和(3)可证。定理假设ac≡bc(modm)，且(c，m)＝d，那么a≡b(modm/d