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文档简介
第二十一章一元二次方程
22.1二次函数的图象和性质
一、选择题(本题包括10小题,每小题只有1个选项符合题意)
1.二次函数丫=a*2-2乂-33<0)的图象一定不经过()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限.
2.抛物线y=-(x+I)2+3的顶点坐标是()
A.(-1,-3)B.(1,-3)C.(—1,3)D.(1,3)
3.己知抛物线y=ax2+3x+(a-2),a是常数且a<0,下列选项中可能是它大
致图象的是()
4.下列函数中,y的值随着x逐渐增大而减小的是()
2O
A.y=2xB.y=x2C.y=--D.y=-(x>0)
5.将抛物线y=(x+2尸向下平移2个单位后,所得抛物线解析式为()
A.y=x2B.y=x2—2C.y=(x+2)2+2D.y=(x4-2)2—2
6.如果抛物线y=ax2+bx+c经过点(_l,0)和(3,0),那么对称轴是直线
)
A.x=OB.x=lC.x=2D.x=3
7.函数y=(a-l)xall+x—3是二次函数时,则a的值是()
A.1B.-1C.±1D.0
8.将抛物线丫1=*2-2*-3先向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,与抛
物线丫2=ax2+bx+c重合,现有一直线丫3=2x+3与抛物线丫2=ax2+bx+c
相交,当丫2工丫3时,利用图象写出此时x的取值范围是()
A.x<—1B.x>3C.-1<x<3D.x>0
9.将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物
线的函数表达式为()
A.y=(x+I)2-13B.y=(x-5)2-3C.y=(x-5)2-13D.y=(x4-
l)2-3
10.小明将图中两水平线li与k的其中一条当成x轴,且向右为正方向;两铅垂线
k与L的其中一条当成y轴,且向上为正方向,并且在此平面直角坐标系上画出
二次函数y=-X2-2x+1的图象,则关于他选择X轴与y轴的叙述正确的是
()
A.k为x轴,b为y轴B.h为x轴,h为y轴
c.匕为x轴,1为y轴D.卜为x轴,k为y轴
二、解答题(本题包括4小题)
11.已知:抛物线y=-x2+bx+c经过B(3,0)、C(0,3)两点,顶点为A.
求:(1)抛物线的表达式;
(2)顶点A的坐标.
12.已知抛物线y=-2x2-4x4-1.
(1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)将这个抛物线平移,使顶点移到点P(2,0)的位置,写出所得新抛物线的表
达式和平移的过程.
13.在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=ax?+bx-|,经过点
A(-l,0)、B(5,0).
(1)求此抛物线顶点C的坐标;
(2)联结AC交y轴于点D,联结BD、BC,过点C作CH1BD,垂足为点H,
抛物线对称轴交x轴于G,联结HG,求HG的长.
14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=2乂2+4*+(:与丫轴交于点人(0,5),
与x轴交于点E,B,点B坐标为(5,0).
(1)求二次函数解析式及顶点坐标;
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P
在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形
APCD的面积最大?并求出最大面积.
参考答案
一、选择题
1.【答案】A
【解析】••,二次函数y=ax?-2x-3(a<0)的对称轴为直线x==一?=!<
2a2aa
0,•♦.其顶点坐标在第二或第三象限•当x=0时,y=-3,...抛物线一定经过第四
象限,•••此函数的图像一定不经过第一象限.故选A.
2.【答案】C
【解析】根据抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,(a/0),则抛物线的顶点坐标
为(h,k)可得:抛物线y=-(x+1)2+3的顶点坐标为(-1,3),所以C选项的
结论正确.故选C.
【点睛】抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,(a/0),则抛物线的顶点坐标为
(h,k).
3.【答案】B
【解析】•••抛物线丫=醛2+3乂+(a-2),a是常数且aVO,.•.图象开口向下,a-2V
0,.•.图象与y轴交于负半轴,•.'aVO,b=3,...抛物线对称轴在y轴右侧.故选
B.
4.【答案】D
【解析】A选项:函数y=2x的图象是y随着x增大而增大,故本选项错误;B选
项:函数函数y=x2的对称轴为x=0,当烂0时y随着x增大而减小,故本选项错
误;C选项:函数y=-|,当xVO或x>0时,y随着x增大而增大,故本选项
错误;D选项:函数y=:(x>0),当x>0时,y随着x增大而减小,故本选项
错误;故选D.
5.【答案】D
【解析】抛物线y=(x+2)2的顶点坐标为(-2,0),向下平移2个单位后的顶
点坐标是(-2,-2),所以,平移后得到的抛物线解析式为丫=(x+2)J2.故选
D.
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,利用顶点的变换确定出函数解析
式是此类题目常用的方法,一定要熟练掌握并灵活运用,平移规律“左加右减,
上加下减
6.【答案】B
【解析】:抛物线y=ax?+bx+c与x轴两交点的坐标为(-1,0)和(3,0),而
抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点是对称点,,抛物线的对称轴为直线x=l.故选
B.
【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质:二次函数丫=2*2+6*+。(a/0)的图
象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=-/;抛物线与y轴的
交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛
物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.
7.【答案】B
【解析】依题意,得a?+l=2且a-屏。,解得a=-l.故选B.
8.【答案】C
【解析】yi=x2-2x-3=(x-1)24则它的顶点坐标为(1,-4),所以抛物线
yi=x2-2x-3先向左平移1个单位,再向上平移4个单位后的解析式为y=x2,解方
程组匕::3得『二1或{;片,所以当出3故选C.
9.【答案】D
【解析】因为y=xz-4x-4=(x-2)2-8,所以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为(2,-
8),把点(2,-8)向左平移3个单位,再向上平移5个单位所得对应点的坐标
为(-L-3),所以平移后的抛物线的函数表达式为丫=(x+1)2一3.故选D.
10.【答案】D
【解析】y=-x2-2x+l=-(x+1)2+2,故抛物线的对称轴为:直线x=-l,顶点坐标
为:(-1,2),则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是:12为x轴,14为y
轴.故选D.
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象,正确求出二次函数的对称轴与顶点坐
标是解题关键.
二、解答题
11.【答案】(Dy=-x2+2%+3(2)(1,4)
【解析】(1)直接把B(3,0)、C(0,3)代入尸x2+bx+c得到关于b、c的
方程组,解方程组求出b、c,可确定抛物线的解析式;(2)把(1)的解析式进
行配方可得到顶点式,然后写出顶点坐标即可.
解:(1)把8(3,0)、C(0,3)代入y=T2+b%+cr9+3):c=0,
IC=3
解得{?二.
故抛物线的解析式为y=-%24-2%+3;
(2)y=-x2+2x+3=—(x2—2x+l)+3+l=—(x—l)2+4,
所以顶点A的坐标为(1,4).
12.【答案】(1)对称轴是直线x=-1,顶点坐标为(一1,3);(2)平移过程为:向
右平移3个单位,向下平移3个单位
【解析】(1)将抛物线整理成顶点式形式,然后解答即可;(2)根据向右平移
横坐标加,向下平移纵坐标减解答.
解:(l)y=-2x2—4%+1,=—2(x2+2%+1)+2+1,=—2(%+I)2+3,
所以,对称轴是直线为=-1,
顶点坐标为(一1,3);
(2)・・,新顶点P(2,0),
・•・y=-2(%—2>,
2—(-1)=2+1=3,
0—3=-3,
・•・平移过程为:向右平移3个单位,向下平移3个单位.
13.【答案】(1)C(2,-3)(2)HG=^V13.
【解析】(1)已知抛物线过A,B两点,可将A,B的坐标代入抛物线的解析式
中用待定系数法即可求出抛物线的解析式.然后可根据抛物线的解析式得出顶点
C的坐标.(2)本题介绍三种解法:方法一:分别求直线AC的解析式和BD的
解析式,直线AC:y=-x-l,直线BD:y=1x-l,可得D和P的坐标,证明
△BPGsaCPH和△HPGs^CPB,列比例式可得HG的长;方法二:如图2,
过点H作HM1.CG于M,先根据勾股定理的逆定理证明/BCD=90。,利用面积
法求CH的长,再证明△OBDSAMCH,列比例式可得CM的长,从而可得结
论;
方法三:直线AC:y=-x-l,求CH和BD的解析式,联立方程组可得H的坐标,
由勾股定理可得GH的长.
解:(1)把做一1,0)、8(5,0)代入抛物线解析式,
fa—b--=0a=-
3
得:<5,解得:3,
25a+5b--=0b=--
I3I3
••・抛物线的解析式为:y=^x2-|x-|=|(x-2)2-3,
••・顶点C(2,-3)
(2)方法一:设8。与CG相交于点P,
设直线AC的解析式为:y=kx+b
把/(一1,0)和C(2,-3)代入得:{系+「二
解得:4=一;
则直线AC:y=-x-1,
•••0(0,—1),
同理可得直线8。:y=1x-l,
3
•:乙CHP=乙PGB=90°,乙GPB=乙CPH
:.ABPGSACPH,
CP_PH
''~PB=~PG
:.AHPGSACPB,
aHG_PG.HG__g
,•BC一PB,••3>/2一|V26?
HG=—;
13
方法二:如图2,过点“作"MICG于M,
•••CD=2V2,BC=3V2,BD=V26,
BD2=CD2+BC2,
:.ABCD=90°,
11
••,SABCD=:BDCH=:BC.CD,
...CH=2V2X3V2=A726,
V2613
・・・Z.ABD=2HCG,
・•・△OBDs〉MCH,
1_5_V26630
———=6HM=—,CM=—
HMCM^V261313
9
•••GM=—,
13
由勾股定理得:GH=7HM2+GM2
方法三:直线AC:y=-x-1,
・・・D(0,-1),
直线BD:y=-%-1,
•••CH1BD,
^BD'kcH=-1,
直线C":y=-5x+7,
f35
联立解析式:\y=5X~1,解得:]"一=石6
(y=-5x+7(y=-^
14.【答案】⑴(2,9)⑵P(|,第
【解析】(1)用待定系数法求抛物线解析式,并利用配方法求顶点坐标;(2)
先求出直线AB解析式,设出点P坐标(x,-x2+4x+5),建立函数关系式S四边形
APCD=-2X2+10X,根据二次函数求出极值;可得
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