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文档简介

第二十一章一元二次方程

22.1二次函数的图象和性质

一、选择题(本题包括10小题,每小题只有1个选项符合题意)

1.二次函数丫=a*2-2乂-33<0)的图象一定不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限.

2.抛物线y=-(x+I)2+3的顶点坐标是()

A.(-1,-3)B.(1,-3)C.(—1,3)D.(1,3)

3.己知抛物线y=ax2+3x+(a-2),a是常数且a<0,下列选项中可能是它大

致图象的是()

4.下列函数中,y的值随着x逐渐增大而减小的是()

2O

A.y=2xB.y=x2C.y=--D.y=-(x>0)

5.将抛物线y=(x+2尸向下平移2个单位后,所得抛物线解析式为()

A.y=x2B.y=x2—2C.y=(x+2)2+2D.y=(x4-2)2—2

6.如果抛物线y=ax2+bx+c经过点(_l,0)和(3,0),那么对称轴是直线

)

A.x=OB.x=lC.x=2D.x=3

7.函数y=(a-l)xall+x—3是二次函数时,则a的值是()

A.1B.-1C.±1D.0

8.将抛物线丫1=*2-2*-3先向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,与抛

物线丫2=ax2+bx+c重合,现有一直线丫3=2x+3与抛物线丫2=ax2+bx+c

相交,当丫2工丫3时,利用图象写出此时x的取值范围是()

A.x<—1B.x>3C.-1<x<3D.x>0

9.将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物

线的函数表达式为()

A.y=(x+I)2-13B.y=(x-5)2-3C.y=(x-5)2-13D.y=(x4-

l)2-3

10.小明将图中两水平线li与k的其中一条当成x轴,且向右为正方向;两铅垂线

k与L的其中一条当成y轴,且向上为正方向,并且在此平面直角坐标系上画出

二次函数y=-X2-2x+1的图象,则关于他选择X轴与y轴的叙述正确的是

()

A.k为x轴,b为y轴B.h为x轴,h为y轴

c.匕为x轴,1为y轴D.卜为x轴,k为y轴

二、解答题(本题包括4小题)

11.已知:抛物线y=-x2+bx+c经过B(3,0)、C(0,3)两点,顶点为A.

求:(1)抛物线的表达式;

(2)顶点A的坐标.

12.已知抛物线y=-2x2-4x4-1.

(1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标;

(2)将这个抛物线平移,使顶点移到点P(2,0)的位置,写出所得新抛物线的表

达式和平移的过程.

13.在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=ax?+bx-|,经过点

A(-l,0)、B(5,0).

(1)求此抛物线顶点C的坐标;

(2)联结AC交y轴于点D,联结BD、BC,过点C作CH1BD,垂足为点H,

抛物线对称轴交x轴于G,联结HG,求HG的长.

14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=2乂2+4*+(:与丫轴交于点人(0,5),

与x轴交于点E,B,点B坐标为(5,0).

(1)求二次函数解析式及顶点坐标;

(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P

在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形

APCD的面积最大?并求出最大面积.

参考答案

一、选择题

1.【答案】A

【解析】••,二次函数y=ax?-2x-3(a<0)的对称轴为直线x==一?=!<

2a2aa

0,•♦.其顶点坐标在第二或第三象限•当x=0时,y=-3,...抛物线一定经过第四

象限,•••此函数的图像一定不经过第一象限.故选A.

2.【答案】C

【解析】根据抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,(a/0),则抛物线的顶点坐标

为(h,k)可得:抛物线y=-(x+1)2+3的顶点坐标为(-1,3),所以C选项的

结论正确.故选C.

【点睛】抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,(a/0),则抛物线的顶点坐标为

(h,k).

3.【答案】B

【解析】•••抛物线丫=醛2+3乂+(a-2),a是常数且aVO,.•.图象开口向下,a-2V

0,.•.图象与y轴交于负半轴,•.'aVO,b=3,...抛物线对称轴在y轴右侧.故选

B.

4.【答案】D

【解析】A选项:函数y=2x的图象是y随着x增大而增大,故本选项错误;B选

项:函数函数y=x2的对称轴为x=0,当烂0时y随着x增大而减小,故本选项错

误;C选项:函数y=-|,当xVO或x>0时,y随着x增大而增大,故本选项

错误;D选项:函数y=:(x>0),当x>0时,y随着x增大而减小,故本选项

错误;故选D.

5.【答案】D

【解析】抛物线y=(x+2)2的顶点坐标为(-2,0),向下平移2个单位后的顶

点坐标是(-2,-2),所以,平移后得到的抛物线解析式为丫=(x+2)J2.故选

D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,利用顶点的变换确定出函数解析

式是此类题目常用的方法,一定要熟练掌握并灵活运用,平移规律“左加右减,

上加下减

6.【答案】B

【解析】:抛物线y=ax?+bx+c与x轴两交点的坐标为(-1,0)和(3,0),而

抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点是对称点,,抛物线的对称轴为直线x=l.故选

B.

【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质:二次函数丫=2*2+6*+。(a/0)的图

象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=-/;抛物线与y轴的

交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛

物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.

7.【答案】B

【解析】依题意,得a?+l=2且a-屏。,解得a=-l.故选B.

8.【答案】C

【解析】yi=x2-2x-3=(x-1)24则它的顶点坐标为(1,-4),所以抛物线

yi=x2-2x-3先向左平移1个单位,再向上平移4个单位后的解析式为y=x2,解方

程组匕::3得『二1或{;片,所以当出3故选C.

9.【答案】D

【解析】因为y=xz-4x-4=(x-2)2-8,所以抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标为(2,-

8),把点(2,-8)向左平移3个单位,再向上平移5个单位所得对应点的坐标

为(-L-3),所以平移后的抛物线的函数表达式为丫=(x+1)2一3.故选D.

10.【答案】D

【解析】y=-x2-2x+l=-(x+1)2+2,故抛物线的对称轴为:直线x=-l,顶点坐标

为:(-1,2),则关于他选择x轴与y轴的叙述正确的是:12为x轴,14为y

轴.故选D.

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象,正确求出二次函数的对称轴与顶点坐

标是解题关键.

二、解答题

11.【答案】(Dy=-x2+2%+3(2)(1,4)

【解析】(1)直接把B(3,0)、C(0,3)代入尸x2+bx+c得到关于b、c的

方程组,解方程组求出b、c,可确定抛物线的解析式;(2)把(1)的解析式进

行配方可得到顶点式,然后写出顶点坐标即可.

解:(1)把8(3,0)、C(0,3)代入y=T2+b%+cr9+3):c=0,

IC=3

解得{?二.

故抛物线的解析式为y=-%24-2%+3;

(2)y=-x2+2x+3=—(x2—2x+l)+3+l=—(x—l)2+4,

所以顶点A的坐标为(1,4).

12.【答案】(1)对称轴是直线x=-1,顶点坐标为(一1,3);(2)平移过程为:向

右平移3个单位,向下平移3个单位

【解析】(1)将抛物线整理成顶点式形式,然后解答即可;(2)根据向右平移

横坐标加,向下平移纵坐标减解答.

解:(l)y=-2x2—4%+1,=—2(x2+2%+1)+2+1,=—2(%+I)2+3,

所以,对称轴是直线为=-1,

顶点坐标为(一1,3);

(2)・・,新顶点P(2,0),

・•・y=-2(%—2>,

2—(-1)=2+1=3,

0—3=-3,

・•・平移过程为:向右平移3个单位,向下平移3个单位.

13.【答案】(1)C(2,-3)(2)HG=^V13.

【解析】(1)已知抛物线过A,B两点,可将A,B的坐标代入抛物线的解析式

中用待定系数法即可求出抛物线的解析式.然后可根据抛物线的解析式得出顶点

C的坐标.(2)本题介绍三种解法:方法一:分别求直线AC的解析式和BD的

解析式,直线AC:y=-x-l,直线BD:y=1x-l,可得D和P的坐标,证明

△BPGsaCPH和△HPGs^CPB,列比例式可得HG的长;方法二:如图2,

过点H作HM1.CG于M,先根据勾股定理的逆定理证明/BCD=90。,利用面积

法求CH的长,再证明△OBDSAMCH,列比例式可得CM的长,从而可得结

论;

方法三:直线AC:y=-x-l,求CH和BD的解析式,联立方程组可得H的坐标,

由勾股定理可得GH的长.

解:(1)把做一1,0)、8(5,0)代入抛物线解析式,

fa—b--=0a=-

3

得:<5,解得:3,

25a+5b--=0b=--

I3I3

••・抛物线的解析式为:y=^x2-|x-|=|(x-2)2-3,

••・顶点C(2,-3)

(2)方法一:设8。与CG相交于点P,

设直线AC的解析式为:y=kx+b

把/(一1,0)和C(2,-3)代入得:{系+「二

解得:4=一;

则直线AC:y=-x-1,

•••0(0,—1),

同理可得直线8。:y=1x-l,

3

•:乙CHP=乙PGB=90°,乙GPB=乙CPH

:.ABPGSACPH,

CP_PH

''~PB=~PG

:.AHPGSACPB,

aHG_PG.HG__g

,•BC一PB,••3>/2一|V26?

HG=—;

13

方法二:如图2,过点“作"MICG于M,

•••CD=2V2,BC=3V2,BD=V26,

BD2=CD2+BC2,

:.ABCD=90°,

11

••,SABCD=:BDCH=:BC.CD,

...CH=2V2X3V2=A726,

V2613

・・・Z.ABD=2HCG,

・•・△OBDs〉MCH,

1_5_V26630

———=6HM=—,CM=—

HMCM^V261313

9

•••GM=—,

13

由勾股定理得:GH=7HM2+GM2

方法三:直线AC:y=-x-1,

・・・D(0,-1),

直线BD:y=-%-1,

•••CH1BD,

^BD'kcH=-1,

直线C":y=-5x+7,

f35

联立解析式:\y=5X~1,解得:]"一=石6

(y=-5x+7(y=-^

14.【答案】⑴(2,9)⑵P(|,第

【解析】(1)用待定系数法求抛物线解析式,并利用配方法求顶点坐标;(2)

先求出直线AB解析式,设出点P坐标(x,-x2+4x+5),建立函数关系式S四边形

APCD=-2X2+10X,根据二次函数求出极值;可得

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