三年级奥数找规律

斐波那契的兔子（数列）

知识图谱

d课堂引入］

。屋子数列等

第14讲斐波那契的兔子:一.斐波那契的兔子

旧』纠改

斐波那契的兔子

知识精讲

—.数列

1.定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列.

注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是

不同的数列；

（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

2.数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项,……，

第n项（末项）.

二.常见的数列

1.兔子数列（斐波那契数列）：从第3项开始，每一项都等于前两项之和的数列.

2.等差数列：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数的数列.

3.等比数列：从第二项起，每一项除以它的前一项的商等于同一个数的数列.

三点剖析

本讲主要培养学生的综合创新能力，其次还会注重培养学生的运算能力、观察推理能力和实践应用能力.本讲

内容是在整数基本计算与找规律的基础上，进一步了解一列数中数与数之间的关系和规律.后续课程还会学习一些

简单数列的计算.

课堂引人

例题1、最近，唐小果在家附近的小公园里，总能看见好多小兔子，唐小果就想了解一下兔子繁殖.在上网

浏览时遇到了这样一个问题：假设每生产一对兔子必须是一雌兔一雄兔，并且所有的兔子都能进行相互交配，所生

下来的兔子都能保证成活.那么有一对兔子，每一个月可以生下一对小兔子，而且假定小兔子在出生的第二个月就

可以再生小兔子，那么过三个月后，有多少对兔子？过半年后？9个月呢？带着这个问题，小果就去找她的小伙伴

那第三个月，原来的兔子会再生产一对小兔

子，第一个月出生的小兔子也可以再生产一

对小兔子，但第二个月出生的小兔子，还不

能生产，所以总共有5对兔子.

\/

’这不就是“斐波那契的兔子问题”吗？

』'-----------------------------------------

聪明的你，知道半年后有多少兔子吗？

例题2、写出课堂引入中每个月的兔子数量组成的这列数，观察有什么特点？

兔子数列等

例题1、斐波那契数列(Fibonaccisequence),又称黄金分割数列、因数学家列昂那多•斐波那契(Leonardoda

Fibonacciy以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子.如果所有兔子都不死，那

么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔子的对数共有两对；三个月以后，老

兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对.

以此类推我们利用表格找一找规律:

经过月数01234567…

幼崽对数10112358•••

成兔对数011235813…

总体对数1123581321…

幼崽对数=前一个月成年兔子对数；

成年兔子对数=前一个月成年兔子对数+前一个月幼崽对数；

总体对数=本月成年兔子对数+本月幼崽对数；

我们不难发现幼崽对数、成兔对数、总体对数都构成一个数列.

（1）一年后，幼崽对数、成兔对数、总体对数各是多少个？15个月之后呢？

（2）相邻两个月之间兔子对数的差是多少呢？

（3）兔子对数有什么规律吗？试着自己总结一下.

例题2、一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.古希腊著名

科学家毕达哥拉斯把数1,3,6,10,15,21……这些数量的（石子），都可以排成三角形，像这样的数称为三角形

数.

（1）第8个图形中有多少个石子？第15个呢？

（2）相邻两个图形的石子数有什么关系吗？这列数有什么规律吗？

例题3、中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位.中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的

篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.杨辉，字谦光，北宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章

算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图.

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

1

11

121

1331

14641

15101051

（I）第10行有几个数？分别是多少？

（2）杨辉三角有什么特点？相邻两行有什么关系吗？

随练1、斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用.例如：树木的生长，由于新生的枝条，往往需

要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝.所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新

枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休

息”.这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”.

观察下图，第一年、第二年、第三年、第四年……第八年各有多少分枝？这些数之间有什国么规律？

等差等比数列

例题1、根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯

文写的.据说，有位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训.他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游

戏.国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情.

国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宗师，作为对他忠心的奖赏，他需要

得到什么赏赐.宗师开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放

4粒，第四个格子上放8粒……

（1）第8个格子上放了几粒麦子？第10个格子呢？

（2）前5个格子一共放了多少粒麦子？前8个格子呢？

（3）这组数列中，相邻两个数有什么规律吗？

例题2、数列在生活中也有很多的应用，被用于解决实际问题.如：

（1）一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，塔群坐西面东,

依山临水，塔基下曾出土西夏文题记的帛书和佛祯，可能建于西夏时期是喇嘛式实心塔群.佛塔依山势自上而下，

按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，总计一百零八座，形成总体平面呈三角形的

巨大塔群，因塔数而得名.

那么，按照这样的规律，第15行有多少个佛塔？第20行呢？

（2）在校技能节比赛中，值周班的同学负责收集同学们喝完水的矿泉水瓶.学校8点开场比赛，每一个小时清点

一次收集到的矿泉水瓶，9点钟共收到了120个，10点钟收到了240个，11点钟收到了480个，按这个规律，到下

午1点钟，共收到了多少个矿泉水瓶？

（3）学校礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问第20排有多少个座位？第

10排呢？第1排呢？

数列在生活中的应用真

不少呢！

例题3、二分裂一般指生殖方式，无丝分裂、有丝分裂、减数分裂是真核有性生殖的细胞的分裂方式，原核

生物如细菌以无性或者遗传重组二种方式繁殖，最主要的方式是以二分裂这种无性繁殖的方式：一个细菌细胞壁横

向分裂，形成两个子代细胞.

（1）开始有一个细菌，假设一个细菌分裂成两个子代细胞需要30秒，3分钟后有多少个细胞？

（2）一个生物瓶中装有1个细菌，假设一个细菌分裂成两个子代细胞需要10秒，半小时后，整个瓶中都是细菌,

那么什么时候生物瓶中有半瓶的细菌细胞？

仔细观察题目，看清

要求哦~

随练1、下图是用火柴棒拼出的一列图形，依次类推，则第十个图形中的火柴棒的根数有根，第"个图

形中的火柴棒的根数有根.

随练2、如图一个堆放钢管的K形架的最下面一层放一根钢管，往上每一层都比它下面一层多放一个，最上面一

层放30根钢管，求这个V形架上共放着多少根钢管？

易错纠改

例题1、将一条长方形的纸条对折一次可以得到1条折痕，保持折痕平行时对折两次可以得到3条折痕，对

折三次可以得到7条折痕，对折四次可以得到15条折痕，对折十次可以得到多少条折痕？

聪明的你知道是多少吗？

拓展

1、分析并口述题目的做题思路及方法.

找规律填数：0,3,8,15,24,(),48,63.

2、一根绳子弯成如图形状，当用剪刀沿一条虚线剪断时，绳子被剪成5段；沿两条虚线剪断时，绳子被剪成9

段；沿三条虚线剪断时，绳子被剪成13段；以此方法，沿10条虚线剪断时，绳子被剪成多少段？

IIIIII

(1)(2)(3)

3、下面是由大小相同的小正方体木块叠放而成的图形，第一个图中有1个木块，第二个图中有6个木块，第三

个图中有15个木块，第四个图中有28个木块，按照这样的规律摆放