概率论与数理统计概率论基础

概率论与数理统计概率论基础汇报人：AA2024-01-20CATALOGUE目录概率论基本概念一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布数字特征与特征函数统计量及其抽样分布参数估计方法与应用01概率论基本概念随机现象随机现象的某些基本结果组成的集合。随机事件必然事件不可能事件01020403在随机试验中，一定不会发生的事件。在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象。在随机试验中，一定会发生的事件。随机现象与随机事件随机试验所有可能结果的集合。样本空间包含、相等、互斥（互不相容）、对立等。事件的关系并（和）、交（积）、差、逆（对立事件）等。事件的运算样本空间与事件关系概率定义及性质概率定义表示随机事件发生可能性大小的数值。概率性质非负性、规范性（必然事件的概率为1）、可列可加性（互不相容事件的并的概率等于各事件概率之和）。古典概型与几何概型具有有限个样本点且每个样本点发生的可能性相同的随机现象。几何概型具有无限个样本点且每个样本点发生的可能性相同的随机现象。古典概型与几何概型的区别和联系古典概型是几何概型的特例，几何概型可以通过将无限个样本点转化为有限个样本点来应用古典概型的方法进行计算。古典概型02一维随机变量及其分布随机变量定义及分类设随机试验的样本空间为S，如果对于S中的每一个样本点e，都有一个实数X(e)与之对应，则称X=X(e)为随机变量。定义根据随机变量可能取值的性质不同，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。分类分布律离散型随机变量的分布律可以用分布列来表示，即列出随机变量X的所有可能取值及其对应的概率。常见离散型随机变量分布二项分布、泊松分布、几何分布等。定义如果随机变量X的所有可能取值是有限个或可列个，则称X为离散型随机变量。离散型随机变量及其分布律概率密度连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数f(x)来描述。f(x)表示在X=x处的“概率密度”，具有非负性和规范性。常见连续型随机变量分布均匀分布、指数分布、正态分布等。定义如果随机变量X的所有可能取值充满某个区间(a,b)，则称X为连续型随机变量。连续型随机变量及其概率密度定义设X是一个随机变量，g(x)是一个实函数，则Y=g(X)也是一个随机变量，其分布称为随机变量X的函数分布。离散型随机变量的函数分布可以通过直接计算或查表得到Y的分布列。连续型随机变量的函数分布可以通过求解概率密度函数f_Y(y)得到Y的分布，其中f_Y(y)可以通过对f_X(x)进行变换得到。010203随机变量函数分布03多维随机变量及其分布03联合分布律离散型多维随机变量的联合分布律，表示各随机变量取值的概率分布。01多维随机变量的定义描述多个随机试验结果的变量，通常表示为向量形式。02联合分布函数描述多维随机变量取值情况的函数，表示多个随机变量同时取某值的概率。多维随机变量定义及联合分布123多维随机变量中，某一随机变量的分布函数，即固定其他变量的取值而得到的该随机变量的分布函数。边缘分布函数在多维随机变量中，当某些随机变量的取值已知时，剩余随机变量的条件分布函数。条件分布函数连续型多维随机变量的条件概率密度函数，表示在给定条件下剩余随机变量的概率密度。条件概率密度函数边缘分布与条件分布独立性多维随机变量中各随机变量相互独立，即一个随机变量的取值不影响其他随机变量的取值。相关性多维随机变量中各随机变量之间存在某种关联或依赖关系。判断方法通过计算相关系数或协方差等统计量来判断多维随机变量之间的独立性或相关性。独立性及相关性判断多维随机变量函数分布多维正态分布、多维均匀分布等是常见的多维随机变量函数分布类型。常见分布由多维随机变量的各个分量通过某种函数关系构成的新的随机变量。多维随机变量函数的定义通过多维随机变量的联合分布函数或联合概率密度函数，结合函数关系式，可以求出多维随机变量函数的分布。分布求法04数字特征与特征函数数学期望是随机变量取值的平均值，具有线性性质、常数性质、独立性质等。数学期望的定义和性质方差是随机变量取值与其数学期望之差的平方的平均值，表示随机变量取值的离散程度。方差的定义和性质如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等。常见分布的数学期望和方差数学期望与方差计算协方差的定义和性质协方差表示两个随机变量的总体误差，用于衡量两个随机变量的线性相关程度。相关系数的定义和性质相关系数是协方差与两个随机变量标准差乘积的比值，用于消除量纲影响，更加客观地衡量两个随机变量的线性相关程度。协方差和相关系数的计算方法和应用如样本协方差和样本相关系数的计算和应用。协方差与相关系数计算01矩是描述随机变量分布形态的一个重要数字特征，包括原点矩和中心矩。矩的定义和性质02协方差矩阵是由随机向量的协方差构成的矩阵，用于描述随机向量各分量之间的线性相关程度。协方差矩阵的定义和性质03特征函数是描述随机变量或随机过程的重要工具，包括概率生成函数、矩生成函数和特征函数等。特征函数的定义和性质矩、协方差矩阵和特征函数大数定律的内容和意义大数定律表明当试验次数足够多时，频率将趋于概率，为概率论的应用提供了理论基础。中心极限定理表明当样本量足够大时，样本均值的分布将趋于正态分布，为数理统计中的参数估计和假设检验提供了重要依据。如利用大数定律估计未知参数、利用中心极限定理进行区间估计和假设检验等。中心极限定理的内容和意义大数定律和中心极限定理的应用大数定律和中心极限定理05统计量及其抽样分布统计量是样本空间上的实值函数，不依赖于任何未知参数。统计量定义及常见类型统计量定义所有样本观测值的平均值。样本均值衡量样本观测值变异程度的统计量。样本方差样本方差的平方根，用于标准化处理。样本标准差反映样本观测值分布特性的统计量。样本k阶原点矩反映样本观测值相对于均值的偏离程度的统计量。样本k阶中心矩正态分布具有对称性、可加性和稳定性等性质。正态分布的性质抽样分布的定义抽样分布的性质当总体分布为正态分布时，从总体中随机抽取n个样本，其样本均值服从的分布称为抽样分布。抽样分布的均值等于总体均值，抽样分布的标准差等于总体标准差除以根号n。由正态分布导出抽样分布t分布当总体分布为正态分布，但总体标准差未知时，用样本标准差代替总体标准差进行标准化处理得到的分布称为t分布。t分布的形状与自由度有关，自由度越大，t分布越接近正态分布。F分布两个独立的卡方分布除以各自的自由度得到的比值服从F分布。F分布常用于方差分析和回归分析中的假设检验。χ^2分布n个独立的标准正态分布的平方和服从自由度为n的χ^2分布。χ^2分布常用于检验总体方差是否等于某一已知值。t分布、F分布和χ^2分布如果对于总体分布的任何参数，给定样本的充分统计量的条件下，样本的其他信息不提供任何有关该参数的额外信息，则称该充分统计量为充分统计量。充分统计量如果对于总体分布的任何参数，不存在只依赖于样本观测值而不依赖于未知参数的函数，使得该函数与充分统计量独立，则称该充分统计量为完备统计量。完备统计量具有优良的性质，如一致性、无偏性和有效性等。完备统计量充分统计量与完备统计量06参数估计方法与应用无偏性估计量的数学期望等于被估计参数的真实值。一致性随着样本量的增加，点估计量的值越来越接近被估参数的真实值。有效性对于同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小方差的估计量更有效。点估计方法评价准则区间估计原理根据样本统计量来推断总体参数所在的一个区间范围，该区间以一定的概率包含总体参数的真值。置信区间构造选择合适的置信水平，根据样本统计量计算出置信区间的上下限。区间估计原理及置信区间构造VS当总体服从正态分布时，样本均值是总体均值的无偏估计，且样本均值服从正态分布。正态总体方