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小学六年级上册数学奥数知识点讲解第14课《典型试题分析》试题附答案

第十四讲典型试题分析

小学数学竞赛实际上就是解题能力的竞赛.多做好题是提高解题能力的有

效途径.本讲中精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分析与解答,希望对

开拓思路能起一点作用.

例1龟兔赛跑,全程5.2公里,兔子每小时跑20公里,乌龟每小时3公里,

乌龟不停地跑,但兔子却边跑边玩,它先跑1分钟后玩2吩钟,又跑2分钟然后

玩2吩钟,再跑3分钟然后玩2吩钟,…,问先到达终点的比后到达终点的快

多少分钟?

例2下图是两个互相啮合的齿轮,大的是主动轮,小的是从动轮,大齿轮

半径为105,小齿轮半径为90.现在两个齿轮的标志线在同一直线上,问大齿

轮至少转了多少整圈后,两条标志线又在同一直线上?

例3王师傅在某个特殊岗位上工作,他每上8天班后,就连续休息两天,如

果这个星期六和星期天他休息,那么至少再过几个星期后,他才能又在星期天

休息、?

例4祖父现在的年龄是小明年龄的6倍,几年后,祖父的年龄将是小明年龄

的5倍,又过几年以后,祖父年龄将是小明年龄的4倍,求祖父今年多少岁?

例5下图中8个顶点处标注数字a,b,c,d,e,f,g,h,

其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的;,求:

(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值

例6从1~100这100个不等的数中,每次取出2个数,要使它们的和大于

100,有多少种不同的取法?I

例7有A、B,C三人参加、颂全能比赛,在每一个项目中,第一名、第二

名和第三名分别得分Pl、P2和P3,它们都是自然数,并且P1〉P2〉P3,最后计

算总分时,A得22分,B与C均得9分,B跑百米第一,问:

①、得于多少?

②在跳高比赛中,谁得第二名?

一二-

百米BAc

XACB

余ACB

四ACB

项ACB

这个表的填充过程读者应自己独立地作一遍.

答案

第十四讲典型试题分析

小学数学竞赛实际上就是解题能力的竞赛.多做好题是提高解题能力的有

效途径.本讲中精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分析与解答,希望对

开拓思路能起一点作用.

例1龟兔赛跑,全程5.2公里,兔子每小时跑20公里,乌龟每小时3公里,

乌龟不停地跑,但兔子却边跑边玩,它先跑1分钟后玩2吩钟,又跑2分钟然后

玩20分钟,再跑3分钟然后玩20分钟,…,问先到达终点的比后到达终点的快

多少分钟?

分析只要分别求出乌龟和兔子到达终点各用了多少分钟.

解:乌龟到达终点所用时间为:

5.2+3=l(小时)

也就是:—X60=104(分钟).

如果兔子不停地跑,那么它到达终点所用时间为:

13

5.2*20=—(小时)

1Q7a

化为分钟:IfX60=g(分钟).

又由于?=15,

3

1+2+3+4+5+5

这就说明,兔子共停下来玩了5次,玩过第5次之后再跑,分钟,就到达终

点了,共用时间:

15-+20X5=H5y(分钟)

所以乌龟比兔子早到.

3?

115--104=lly(分钟).

例2下图是两个互相啮合的齿轮,大的是主动轮,小的是从动轮,大齿轮

半径为105,小齿轮半径为90.现在两个齿轮的标志线在同一直线上,问大齿

轮至少转了多少整圈后,两条标志线又在同一直线上?

分析这道题可以看成下面的问题:

在A点有甲、乙二人,同时、同速出发分别沿着两条跑道跑圈,问甲沿左

边大圈至少跑了多少圈后,乙沿右边小圈跑到了A点或B点?

解:由于要求乙到达A点或B点,所以乙跑的路程应该是小圆周长一半的

倍数;又由于乙与甲跑的路程相等,所以问题就变成了:

大圆周长的至少多少倍是小圆周长一半的倍数?设甲跑了n圈,则有

n*2兀X105口士修业/八八u--/e

———是整数,约分后可r得:

yu八

n.2KX1057n

90兀3

这就说明n至少取猥亍是整数.

答:主动轮至少转3圈,两条标志线又在一条直线上.

说明:变换问题的叙述方式,往住是发现解题思路的重要手段.

例3王师傅在某个特殊岗位上工作,他每上8天班后,就连续休息两天,如

果这个星期六和星期天他休息,那么至少再过几个星期后,他才能又在星期天

休息?

分析首先应该计算出至少过了多少天,王师傅又在星期天休息,由于他

是连续休息、2天,因此可能出现两种情况:星期六和星期天,星期天和星期

解:由于王师傅工作8天,休息、2天,所以每10天一循环,设过了n个10天

又是星期天,那么总天数就是10n天,又由于每过7天是一个星期天,这就要求

10n是7的倍数,因此连少等于7,总天数就是70天;另外一种情况是过了n个10

天是星期一,也可以使王师傅在星期天休息,同样的分析可以知道,10n-l是7

的倍数,这时连少等于5,总天数为

10X5-1=49(天).

由于49C70,

所以第二种情况在第一种情况之前出现,这就说明王师傅至少过49天才又

在星期天休息,而不难算出49天等于7个星期.

答:王师傅至少过7个星期又在星期天休息.

例4祖父现在的年龄是小明年龄的6倍,几年后,祖父的年龄将是小明年龄

的5倍,又过几年以后,祖父年龄将是小明年龄的4倍,求祖父今年多少岁?

分析在“年龄问题”中,有一条差不变原理要注意,也就是说无论什么

时候,祖、孙二人的年龄差都是一样的.

解:设祖、孙二人今年的年龄分别为高口y,根据己知条件:今年祖父年龄

是小明年龄的6倍,就有:

x-y=5y,

设过a年后,祖父年龄是小明年龄的5倍,由差不变原理知道:

x-y=4(y+a),

设过眸后,祖父年龄是小明年龄的4倍,同样道理又有:

x-y=3(y+b),综合上面三个式子有:

5y=4(y+a)

5y=3(y+b).

整理后得:

y=4a

2y=3b,

也就是8a=3b.

从这个式子看出应该有:

a=3,b=8,

从而就有y=4X3=12

x=6X12=72.

答:祖父今年72岁.

说明:事实上,从8a=3b这个公式看出诚为3的倍数,b为8的倍数,如果

取a=6、b=16或更大的话,将得出不合常理的结果.

例5下图中8个顶点处标注数字a,b,c,d,e,f,g,h,

其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的;,求:

(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值

解:由已知条件得:

3a=b+d+e

3b=a+c+f

3c=b+d+g

3d=a+c+h

把这四式相加,得

3(a+b+c+d)=2(a+b+c+d)+(e+f+g+h)

/.a+b+c+d=e+f+g+h

(a+b+c+d)一(e+f+g+h)=0.

例6从1~100这100个不等的数中,每次取出2个数,要使它们的和大于

100,有多少种不同的取法?

分析在这100个不等的数中,每次取出2个其中必有一个较小的,又这二

数之和要大于100,我们可以枚举较小数的所有可能取值情况来讨论.

解:较小数是1,有1种取法,即(1,100);

莪小数是2,有2种取法,即(2,99),(2,100);

较小数是50,有50种取法,即(50,51),(50,52),(50,53),

…,(50,100);

较小数是51,有49种取法,即(51,52),(51,53),(51,54),

…,(51,100);

较小数是99,有1种取法,即(99,100).

所以共有取法:

1+2+…+49+50+49+…+2+1

=2(1+2+…+49+50)-50

=2500(种).

例7有A、B、C三人参加,砌全能比赛,在每一个项目中,第一名、第二

名和第三名分别得分Pl、P2和P3,它们都是自然数,并且P1〉P2〉P3,最后计

算总分时,A得22分,B与C均得粉,B跑百米第一,问:

①M等于多少?

②在跳高比赛中,谁得第二名?

分析我们来分析如何求M,由于题中已知有百米和跳高两项比赛,所以

M至少是2,又由已知条件知有:

M(P1+P2+P3)=22+9X2=40

所以M是40的约数,M的可能取值只有2、4、5、8、10、20、40以下只需

依次枚举试验,淘汰非解.

解:由于Pl>3,P2>2,P1>1,因此M(1+2+3)<M(P1+P2+P3)

=40.也就是M46,这样一来M只有三种可能取值了:2、4、5.下面我们分

别讨论.

如果M=2,这时只有百米和跳高两项比赛,由于B在百米赛中得分P1,他

的总分只有粉,因此P1至多等于8,这样A无论如何也得不到22分,所以M声

如果M=4,这时有:

Pl+P2+P3=10

由于B得了一个第一,所以他至少得分:

P1+3P3又由于B的总分是9,所以我们有:

P1+3P3<9

由此不难看出Pl不能超过6,又由A得总分22知P1还不能小于6,所以Pl=

6,这样一来就有P2+P3=4,所以就有P3=l,P2=3.这是

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