小学六年级上册 数学《奥数》知识点讲解第14课 典型试题分析 试题附答案

小学六年级上册数学奥数知识点讲解第14课《典型试题分析》试题附答案

第十四讲典型试题分析

小学数学竞赛实际上就是解题能力的竞赛.多做好题是提高解题能力的有

效途径.本讲中精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分析与解答，希望对

开拓思路能起一点作用.

例1龟兔赛跑，全程5.2公里，兔子每小时跑20公里，乌龟每小时3公里，

乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分钟后玩2吩钟，又跑2分钟然后

玩2吩钟，再跑3分钟然后玩2吩钟，…，问先到达终点的比后到达终点的快

多少分钟？

例2下图是两个互相啮合的齿轮，大的是主动轮，小的是从动轮，大齿轮

半径为105,小齿轮半径为90.现在两个齿轮的标志线在同一直线上，问大齿

轮至少转了多少整圈后，两条标志线又在同一直线上？

例3王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上8天班后，就连续休息两天，如

果这个星期六和星期天他休息，那么至少再过几个星期后，他才能又在星期天

休息、？

例4祖父现在的年龄是小明年龄的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄

的5倍，又过几年以后，祖父年龄将是小明年龄的4倍，求祖父今年多少岁？

例5下图中8个顶点处标注数字a,b,c,d,e,f,g,h,

其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的;，求：

(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值

例6从1~100这100个不等的数中，每次取出2个数，要使它们的和大于

100,有多少种不同的取法？I

例7有A、B,C三人参加、颂全能比赛，在每一个项目中，第一名、第二

名和第三名分别得分Pl、P2和P3,它们都是自然数，并且P1〉P2〉P3,最后计

算总分时，A得22分，B与C均得9分，B跑百米第一，问：

①、得于多少？

②在跳高比赛中，谁得第二名？

一二-

百米BAc

XACB

余ACB

四ACB

项ACB

这个表的填充过程读者应自己独立地作一遍.

答案

第十四讲典型试题分析

小学数学竞赛实际上就是解题能力的竞赛.多做好题是提高解题能力的有

效途径.本讲中精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分析与解答，希望对

开拓思路能起一点作用.

例1龟兔赛跑，全程5.2公里，兔子每小时跑20公里，乌龟每小时3公里，

乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分钟后玩2吩钟，又跑2分钟然后

玩20分钟，再跑3分钟然后玩20分钟，…，问先到达终点的比后到达终点的快

多少分钟？

分析只要分别求出乌龟和兔子到达终点各用了多少分钟.

解：乌龟到达终点所用时间为：

5.2+3=l（小时）

也就是：—X60=104（分钟）.

如果兔子不停地跑，那么它到达终点所用时间为:

13

5.2*20=—（小时）

1Q7a

化为分钟：IfX60=g（分钟）.

又由于?=15,

3

1+2+3+4+5+5

这就说明，兔子共停下来玩了5次，玩过第5次之后再跑,分钟，就到达终

点了，共用时间：

15-+20X5=H5y（分钟）

所以乌龟比兔子早到.

3?

115--104=lly（分钟）.

例2下图是两个互相啮合的齿轮，大的是主动轮，小的是从动轮，大齿轮

半径为105,小齿轮半径为90.现在两个齿轮的标志线在同一直线上，问大齿

轮至少转了多少整圈后，两条标志线又在同一直线上？

分析这道题可以看成下面的问题：

在A点有甲、乙二人，同时、同速出发分别沿着两条跑道跑圈，问甲沿左

边大圈至少跑了多少圈后，乙沿右边小圈跑到了A点或B点？

解：由于要求乙到达A点或B点，所以乙跑的路程应该是小圆周长一半的

倍数；又由于乙与甲跑的路程相等，所以问题就变成了：

大圆周长的至少多少倍是小圆周长一半的倍数？设甲跑了n圈，则有

n*2兀X105口士修业/八八u--/e

———是整数，约分后可r得：

yu八

n.2KX1057n

90兀3

这就说明n至少取猥亍是整数.

答：主动轮至少转3圈，两条标志线又在一条直线上.

说明：变换问题的叙述方式，往住是发现解题思路的重要手段.

例3王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上8天班后，就连续休息两天，如

果这个星期六和星期天他休息，那么至少再过几个星期后，他才能又在星期天

休息？

分析首先应该计算出至少过了多少天，王师傅又在星期天休息，由于他

是连续休息、2天，因此可能出现两种情况：星期六和星期天，星期天和星期

解：由于王师傅工作8天，休息、2天，所以每10天一循环，设过了n个10天

又是星期天，那么总天数就是10n天，又由于每过7天是一个星期天，这就要求

10n是7的倍数，因此连少等于7,总天数就是70天；另外一种情况是过了n个10

天是星期一，也可以使王师傅在星期天休息，同样的分析可以知道，10n-l是7

的倍数，这时连少等于5,总天数为

10X5-1=49（天）.

由于49C70,

所以第二种情况在第一种情况之前出现，这就说明王师傅至少过49天才又

在星期天休息，而不难算出49天等于7个星期.

答：王师傅至少过7个星期又在星期天休息.

例4祖父现在的年龄是小明年龄的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄

的5倍，又过几年以后，祖父年龄将是小明年龄的4倍，求祖父今年多少岁？

分析在“年龄问题”中，有一条差不变原理要注意，也就是说无论什么

时候，祖、孙二人的年龄差都是一样的.

解：设祖、孙二人今年的年龄分别为高口y,根据己知条件：今年祖父年龄

是小明年龄的6倍，就有：

x-y=5y,

设过a年后，祖父年龄是小明年龄的5倍，由差不变原理知道：

x-y=4(y+a),

设过眸后，祖父年龄是小明年龄的4倍，同样道理又有：

x-y=3(y+b),综合上面三个式子有：

5y=4(y+a)

5y=3(y+b).

整理后得：

y=4a

2y=3b,

也就是8a=3b.

从这个式子看出应该有：

a=3,b=8,

从而就有y=4X3=12

x=6X12=72.

答：祖父今年72岁.

说明：事实上，从8a=3b这个公式看出诚为3的倍数，b为8的倍数，如果

取a=6、b=16或更大的话，将得出不合常理的结果.

例5下图中8个顶点处标注数字a,b,c,d,e,f,g,h,

其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的;，求：

(a+b+c+d)-(e+f+g+h)的值

解：由已知条件得：

3a=b+d+e

3b=a+c+f

3c=b+d+g

3d=a+c+h

把这四式相加，得

3(a+b+c+d)=2(a+b+c+d)+(e+f+g+h)

/.a+b+c+d=e+f+g+h

(a+b+c+d)一(e+f+g+h)=0.

例6从1~100这100个不等的数中，每次取出2个数，要使它们的和大于

100,有多少种不同的取法？

分析在这100个不等的数中，每次取出2个其中必有一个较小的，又这二

数之和要大于100,我们可以枚举较小数的所有可能取值情况来讨论.

解：较小数是1,有1种取法,即（1,100）；

莪小数是2,有2种取法,即（2,99）,（2,100）；

较小数是50,有50种取法,即（50,51）,（50,52）,（50,53）,

…，（50,100）；

较小数是51,有49种取法,即（51,52）,（51,53）,（51,54）,

…，（51,100）；

较小数是99,有1种取法,即（99,100）.

所以共有取法：

1+2+…+49+50+49+…+2+1

=2（1+2+…+49+50）-50

=2500（种）.

例7有A、B、C三人参加，砌全能比赛，在每一个项目中，第一名、第二

名和第三名分别得分Pl、P2和P3,它们都是自然数，并且P1〉P2〉P3,最后计

算总分时，A得22分，B与C均得粉，B跑百米第一，问：

①M等于多少？

②在跳高比赛中，谁得第二名？

分析我们来分析如何求M,由于题中已知有百米和跳高两项比赛，所以

M至少是2,又由已知条件知有：

M(P1+P2+P3)=22+9X2=40

所以M是40的约数，M的可能取值只有2、4、5、8、10、20、40以下只需

依次枚举试验，淘汰非解.

解：由于Pl>3,P2>2,P1>1,因此M(1+2+3)<M(P1+P2+P3)

=40.也就是M46,这样一来M只有三种可能取值了：2、4、5.下面我们分

别讨论.

如果M=2,这时只有百米和跳高两项比赛，由于B在百米赛中得分P1,他

的总分只有粉，因此P1至多等于8,这样A无论如何也得不到22分，所以M声

如果M=4,这时有：

Pl+P2+P3=10

由于B得了一个第一，所以他至少得分：

P1+3P3又由于B的总分是9,所以我们有:

P1+3P3<9

由此不难看出Pl不能超过6,又由A得总分22知P1还不能小于6,所以Pl=

6,这样一来就有P2+P3=4,所以就有P3=l,P2=3.这是