学案 1.2 命题及充要条件(2011.9.2)

1.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集，则“x∈C

”是“x∈A”的()BA.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件由A∪B=C，则A⊆C且B⊆C，故x∈A,则x∈C．2.已知P:x＋y≠2009；Q：x≠2000且y≠9,则P是Q的___________________条件.解:逆否命题是x＝2000或y＝9⇒x＋y＝2009不成立，既不充分又不必要做一做信心倍增显然其逆命题也不成立.【01】设A={x|x＞4,x<-2},B={x|a≤x<a+3},(1)若A∩B=∅,求实数a的取值范围;(2)若A∩B≠∅,求实数a的取值范围;-24作业讲评所以实数a的取值范围所以实数a的取值范围【01】设A={x|x＞4,x<-2},B={x|a≤x<a+3},(3)若A∩B=B,求实数a的取值范围;(4)若,求实数a的取值范围.(3)∵A∩B=B,∴B⊆A.-24-24所以实数a的取值范围所以实数a的取值范围作业讲评学案1.2命题、充要条件常用逻辑用语命题及其关系简单的逻辑联结词充分条件必要条件充要条件量词命题充分条件充要条件必要条件且∧全称量词

存在量词

全称命题特称命题或∨p∧qp∨qp⇒qp⇐qp⇔q

p

或

q非四种命题原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若

p则

q逆命题：若

q则

p互逆互逆互否互否互为逆否等价关系四种命题的相互关系1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题.其中____________的语句叫真命题，_____________的语句叫假命题.判断真假判断为真判断为假2.四种命题及其关系(1)四种命题原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互为逆否同真同假互为逆否同真同假互逆互逆互否互否2.四种命题及其关系(2)四种命题间的逆否关系原命题逆命题否命题逆否命题假真真真真真真真真假假假假假假假①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.(3)四种命题的真假关系①p

q,相当于P

Q,即从集合角度理解：(1)若p

q,则p是q的充分条件.3.充分条件与必要条件(2)若q

p,则p是q的必要条件.PQP(Q)或②q

p,相当于Q

P,即QPP(Q)或(3)若q

p,则p是q的充要条件.③p

q,相当于P=Q,即P(Q)4.充分(必要、充要)条件的判别方法①分清条件与结论②找推式(尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件）③下结论(指出条件是结论的什么条件）(1)定义法判断(2)集合法判断(利用集合之间的包含关系)(3)转化法判断(等价命题)(4)传递法判断从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.(1)定义法：判断p是q的什么条件，实际上就是判断p⇒q或q⇒p是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断.①若p⇒q，则p是q的充分条件；②若q⇒p，则p是q的必要条件；③若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；⑤若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；⑥若p⇏q且q

⇏

p，则p是q的既不充分也不必要条件.4.充分(必要、充要)条件的判别方法(2)集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若AB，则p是q的充分非必要条件；③若A⊇B，则p是q的必要条件；④若AB，则p是q的必要非充分条件；⑤若A=B，则p是q的充要条件；⑥若A⊈B，且A⊉B，则p是q的既非充分条件也非必要条件.4.充分(必要、充要)条件的判别方法(3)用命题的等价性判断：(“若p，则q”)①原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；②原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；③原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；④原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.同时要注意反例法的运用.(4)传递法判断4.充分(必要、充要)条件的判别方法【自我检测】CAA【自我检测】CD①③真D题型三与充要条件有关的参数问题解：设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝{x|≤x≤1}，

B＝{x|a≤x≤a＋1}.故所求实数a的取值范围是从而p是q的充分不必要条件，即

【1】设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若

p是

q的必要而不充分条件,求实数a的取值范围.解：由|4x-3|≤1,得0.5≤x≤1.由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，得a≤x≤a+1.因为

p是

q的必要而不充分条件,所以p是q的充分而不必要条件,解得0≤a≤0.5.故所求的实数a的取值范围是[0,0.5].题型三求参数的范围有关充要条件的题目在各省市的高考题中出现的比较多，通过对考试大纲和高考真题的分析研究，可以发现高考考题的常见类型为“直接考查条件和结论之间的充要关系”另一类题目，考查角度比较独特，如(2008·全国卷Ⅱ)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：题型一充分条件、必要条件的判断例1.下列各小题中，p是q的充要条件的是()①p:m<-2或m>6,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点；②p:,q:y=f(x)是偶函数；③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;④p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UAA.①②B.②③C.③④D.①④D充要条件的判断：（1）分清命题的条件与结论；（2）常用方法有：定义法,集合法,变换法(命题的等价变换)等.练一练

【1】a＞b成立的充分不必要的条件是()

A.ac＞bcB.DC.a+c＞b+cD.ac2＞bc2

【2】已知p:|2x-3|≥1;q:,则

p是

q的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件AA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.不充分也不必要条件B【3】练一练【4】“sinA>sinB”是“A>B”的________________条件.既不充分又不必要充要【5】在△ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的_____条件.【6】在△ABC中,“B=60°”是“A,B,C成等差数列”的__________条件.充要例2.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明：(1)充分性：因为m≥2，所以∆＝m2－4≥0，

所以方程x2＋mx＋1＝0有实根.设x2＋mx＋1＝0的两个实根为x1、x2，由根与系数的关系知x1x2＝1＞0.所以x1、x2同号.又因为x1＋x2＝－m≤－2，

所以x1、x2同为负根.题型二充要条件的证明证明：(2)必要性:因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1,x2均为负，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2所以m≥2.综合(1)(2)知命题得证.例2.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.题型二充要条件的证明(1)充分性：①若xy=0，则有x=0或y=0，或x=0且y=0.此时显然|x+y|=|x|+|y|.题型二充要条件的证明

充分性即证：xy≥0⇒|x+y|=|x|+|y|,必要性即证：|x+y|=|x|+|y|⇒

xy≥0.②若xy＞0，则x,y同号,当x＞0且y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|;当x＜0且y＜0时，|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|.综上所述，由xy≥0可知|x+y|=|x|+|y|.设x,y∈R,求证：|x+y|=|x|+|y|的充要条件是xy≥0.设x,y∈R,求证：|x+y|=|x|+|y|的充要条件是xy≥0.(2)必要性：因为|x+y|=|x|+|y|，且x,y∈R，所以(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2,可得xy=|xy|，可得xy≥0.故|x+y|=|x|+|y|可知xy≥0.

综合(1)(2)知命题成立.充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”“结论”是证明命题的充分性，由“结论”“条件”是证明命题的必要性.题型二充要条件的证明解得0<a≤1.

2.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.解:(1)a=0适合.

(2)a≠0时，显然方程没有零根.①若方程有两异号实根，则a<0；②若方程有两个负的实根，则因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1.综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1.反之，若a≤1,则方程至少有一个负的实根，题型三与充要条件有关的参数问题解：设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝{x|≤x≤1}，

B＝{x|a≤x≤a＋1}.故所求实数a的取值范围是从而p是q的充分不必要条件，即

【1】设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若

p是

q的必要而不充分条件,求实数a的取值范围.解：由|4x-3|≤1,得0.5≤x≤1.由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0，得a≤x≤a+1.因为

p是

q的必要而不充分条件,所以p是q的充分而不必要条件,解得0≤a≤0.5.故所求的实数a的取值范围是[0,0.5].题型三求参数的范围例1．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限的一个充分但不必要条件是(

)【解析】∵f

'(x)＝a(x＋2)(x－1)，∴函数f(x)在x＝－2和x＝1处取得极值，如图所示.B函数f(x)的图象经过四个象限的充要条件是f(－2)·f(1)<0，解之得，在四个选项中只有题型四综合题型点击进入B

练一练题型四综合题型1.命题的定义用语言、符号、或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.2.命题的条件和结论命题具有“若p,则q”的形式.其中p叫命题的条件;则q叫命题的结论.原命题为:若p则q,则它的：逆命题为:若q则p(交换原命题的条件和结论).否命题为:若┐p则┐q

(同时否定原命题的条件和结论).逆否命题:若┐q则┐p

(即交换原命题的条件和结论,并且同时否定).复习回顾3.四种命题的定义例1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：题型一四种命题的相互关系（1）若A∪B=U，则A=∁UB.逆命题否命题逆否命题若A=∁UB,则A∪B=U若A∪B≠U,则A≠∁UB若A≠∁UB,则A∪B≠U真命题真命题假命题写成“若p，则q”的形式写出逆命题、否命题、逆否命题判断真假思维启迪(2)若x+y=5,则x=3且y=2.逆命题：若x=3且y=2，则x+y=5,真命题.否命题：若x+y≠5，则x≠3或y≠2，真命题.逆否命题：若x≠3或y≠2，则x+y≠5,假命题.题型一四种命题的相互关系例1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：判断：若x+y≠5，则x≠3或y≠2.【1】若命题p的逆命题是