人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第13课 平面向量的应用 四（教师版）

第第页第13课平面向量的应用四平面向量的综合运用大题专项训练1．已知点A1,−2,0,B2,k,−3(1)若AB⊥a，求实数(2)求向量AC与向量a所成角的余弦值．【解题思路】（1）根据题意得到AB的坐标，结合两向量垂直坐标满足的公式，代入计算，即可得到结果.（2）根据题意，结合向量坐标公式，代入计算，即可得到结果.【解答过程】（1）因为A1,−2,0,B2,k,−3，则AB由AB⊥a，可得−3+4k+2（2）因为A1,−2,0,C2,0,2，则AC则AC=所以cos<2．已知向量a=2,1，b=(1)当k为何值时，ka+c(2)若向量d满足d−c⊥a+【解题思路】（1）直接利用向量平行的坐标公式求解；（2）直接利用向量垂直的坐标公式和求模公式求解.【解答过程】（1）由题中的条件可得ka+c若ka+c与2b−（2）设d=(x,y)，所以d又a+b=(1,2)，由d由d−c=5，可得(x−1)2+(y−2)2=53．已知e1=1,0，e2=0,1，(1)求λ的值；(2)求向量a与向量c=【解题思路】（1）根据题意求出a,b的坐标，由向量平行的判断方法可得关于（2）设a与c的夹角为θ，由向量夹角公式计算即可得到结果.【解答过程】（1）根据题意，e1=1,0，e2=则a=2,0因为a//b，则有λ（2）由（1）可知a=2,−2，c=1,2设a与则cosθ=4．已知A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角，向量m=sinA,sinB(1)求角C的大小；(2)若sinA+sinB=2sinC【解题思路】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小；（2）将sinA+sinB=2sinC【解答过程】（1）由已知得m⋅因为A+B+C=π，所以sinA+B=又m⋅n=∵0<C<π，则sinC≠0所以cosC=12（2）由已知sinA+sinB=2因为CA⋅AB−AC=由余弦定理得c2所以c2=4c2−3×365．如图，在△ABC中，AM=13(1)用a,b表示(2)若P为△ABC内部一点，且AP=512【解题思路】（1）由图中线段的位置及数量关系，用AC,AB表示出（2）用a,b表示AM+AN，得到【解答过程】（1）由题图，BC=MN=（2）由AM+又AP=512a+6．在△ABC中，CA=6，AB=8，∠BAC=π2，D为边(1)求AD⋅(2)若点P满足CP=λCAλ∈R【解题思路】（1）以A为坐标原点，边AC、AB所在的直线为x、y轴的正方向建立平面直角坐标系求出AD、CB的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；（2）根据点P在AC上，设Px,0，求出PB、PC的坐标，则PB【解答过程】（1）如图，以A为坐标原点，边AC、AB所在的直线为x、y轴的正方向建立平面直角坐标系，所以A0,0，B0,8，D为边BC中点，所以D3,4，AD=3,4则AD⋅（2）若点P满足CP=λCAλ∈R，则点P由（1），设Px,0，则PB=−x,8则PB⋅PC=−x,8⋅6−x,0=7．已知a=4，b=2，且a与b夹角为120(1)2a(2)a与a+(3)若向量2a−λb与λ【解题思路】（1）利用平面向量的模的运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解；（3）根据向量2a−λb【解答过程】（1）解：因为2a−b（2）因为a+所以a+b=2所以cos<a,a+b>=（3）因为向量2a−λb与λ因为向量a与b不共线，所以kλ=2λ=3k，解得λ=±8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且2cos(1)求cosA(2)若a=42，b=5，记e=BCBC，求向量BA在【解题思路】（1）由题设条件进行三角恒等变换即可得出cosA（2）先由正弦定理求出B，再由余弦定理建立关于c的方程，求出c，然后由投影向量的概念即可求得结果．【解答过程】（1）由2得cos即cosA−BcosB−sinA−Bsin（2）由cosA=−35，0<A<π得，sinA=由题知a>b，则A>B，故B=π根据余弦定理，有a2=b整理得c2+6c−7=0，解得c=1或故向量BA在BC方向上的投影向量为BAcos9.已知非零平面向量a，b的夹角为2π3，a(1)证明：a−(2)设t∈R，求a+t【解题思路】（1）首先将条件等式a=a+b两边同时平方，根据向量的数量积运算求得（2）将a+tb平方可得【解答过程】（1）由a=a+b=1又因为a，b的夹角为2π3，故a联立两式可得b2−b=0，结合所以a−b2（2）a+t所以当t=12时，a+tb2取最小值310.如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，(1)用AB，AC表示AD；(2)若AE=λAB，AF=μ【解题思路】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；（2）根据（1）的结论，转化用AE，AF表示AD，根据D,E,F三点共线找出等量关系；【解答过程】（1）在△ABD中，由AD=AB+BD,又所以AD=AB+BD（2）因为AD=13AB+23AC，又AE=λAB又D,E,F三点共线，且A在线外，所以有：13λ+211．已知向量m=3sin(1)求函数fx(2)在△ABC中，若fC=0，且AB=3,CD是△ABC的边AB上的高，求【解题思路】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换将函数fx化为正弦型函数，即可求函数f（2）根据函数fx，结合三角形解方程fC=0得角C的大小，根据△ABC【解答过程】（1）解：fx=m⋅∴fx的最小正周期为（2）解：∵f又0<C<π，∴−π又∵S△ABC=12由余弦定理得9=a2+b2−ab≥ab，当且仅当a=b=3时，“=12．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=ccos(1)若D为BC边上一点,DB=4,AB=5,且AB⋅BD=−12(2)若CA=3,CB=4,M为平面上一点,2CM=tCA+1−t【解题思路】(1)先根据正弦定理求出角C的值,再利用AB⋅BD=−12求出cos(2)根据已知条件可以求出CA⋅CB的值,,再把MA,MB用CA,【解答过程】（1）由a=ccosB+1即sinB+C=sinCcosB+cosCsinB=sinCcosB+12sin∵AB⋅BD=−12,即AB∵B∈0,π,∴sinB=45,在△ABC中,由正弦定理可得AC（2）∵2CM=tCA+1−tMB=∴MA⋅MB根据已知条件CA=3,CB=4,∴代入(*)式得:MA⋅MB=134t213.平面内向量OA=(2,5),OB=(7,1),OC=(1,1)（其中O(1)若PA∥PB，求(2)已知BC中点为D，当PA⋅PB取最小值时，若AD与CP相交于点M，求MP与【解题思路】（1）根据向量共线，设出坐标以及建立方程，可得答案；（2）根据中点坐标公式，利用向量数量积坐标公式，求得点的坐标，利用夹角的向量公式，可得答案.【解答过程】（1）由题意，可设OP=(λ,λ)，其中λ∈R因为PA∥PB，所以(2−λ)(1−λ)−(5−λ)(7−λ)=0，解得λ=11（2）由题意D(4,1),AD=(2,−4)，因为所以当λ=154时，PA⋅PB有最小值，此时因为MP与MD的夹角就是CP与AD的夹角，而AD⋅所以cos〈CP,AD〉=CP⋅平面向量的应用四随堂检测1．（1）若向量a=1,2，b=（2）已知a→=2,b【解题思路】(1)根据平面向量的数量积的坐标表示和几何意义求出2a+b⋅a(2)由a−b2【解答过程】（1）2a+b∴2a+b⋅设2a+b与a−b的夹角为θ(0≤θ≤π)（2）由题意知，a−所以a⋅b=2，设a,b2．已知向量a,b(1)求a→与b(2)求|2a【解题思路】（1）由cosa,b【解答过程】（1）因为a=2，b因为a,b∈（2）因为|2a→−3．已知a=4，b=3，(1)求a+(2)求a与b的夹角；【解题思路】（1）利用向量数量积的运算律可求得a⋅b，根据（2）利用向量夹角公式可求得cos<【解答过程】（1）∵2a−3∴a（2）由（1）知：a⋅b=−6，∴cos<4．已知平面向量a=(m,1),(1)若m=1,c=(−1,23)，求满足c=λa+μ(2)若a⊥b，求【解题思路】（1）利用向量相等列出关于λ和μ的方程组，解之即可求得λ和μ的值；（2）利用向量垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值．【解答过程】（1）当m=1时，a=(1,1),∴λa+μ∴λ−μ=−1λ+5μ=23，解之得λ=3（2）由a⊥b，可得a⋅b=解得：m=−1或m=3.5．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知csinAcosB=(