人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第09课 平面向量的应用一（原卷版）

第第页第09课平面向量的应用一6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理学习目标核心素养1.掌握余弦定理及其推论.(重点)2.掌握余弦定理的综合应用.(难点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点)1.借助余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用，培养数学运算素养.1.余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达a2＝b2＋c2﹣2bccos_A，b2＝a2＋c2﹣2accos_B，c2＝a2＋b2﹣2abcos_C变形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)思考：在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC是锐角三角形吗？[提示]不一定.因为△ABC中a不一定是最大边，所以△ABC不一定是锐角三角形.2.解三角形(1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.1.在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq\r(3)，C＝150°，则c等于()A.eq\r(39)B.8eq\r(3)C.10eq\r(2)D.7eq\r(3)2.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A.60°B.45°C.120°D.30°3.在△ABC中，a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，则B＝________.4.在△ABC中，若a2﹣c2＋b2＝ab，则cosC＝________.已知两边与一角解三角形【例1】(1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝60eq\r(3)cm，A＝eq\f(π,6)，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝eq\r(5)，AC＝5，且cosC＝eq\f(9,10)，则BC＝________.已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角.1.在△ABC中，a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，B＝45°，解这个三角形.已知三边解三角形【例2】在△ABC中，已知a＝2eq\r(6)，b＝6＋2eq\r(3)，c＝4eq\r(3)，求A，B，C.1.已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一.2.若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解.2.已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC中各角的度数.余弦定理的综合应用[探究问题]在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则C＝eq\f(π,2)成立吗？反之若C＝eq\f(π,2)，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？[提示]因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2﹣c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，即cosC＝0，所以C＝eq\f(π,2)，反之若C＝eq\f(π,2)，则cosC＝0，即eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝0，所以a2＋b2﹣c2＝0，即c2＝a2＋b2.【例3】在△ABC中，若(a﹣c·cosB)·sinB＝(b﹣c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状.1.(变条件)将例题中的条件“(a﹣ccosB)·sinB＝(b﹣ccosA)·sinA”换为“acosA＋bcosB＝ccosC”其它条件不变，试判断三角形的形状.2.(变条件)将例题中的条件“(a﹣ccosB)·sinB＝(b﹣ccosA)·sinA”换为“lga﹣lgc＝lgsinB＝﹣lgeq\r(2)且B为锐角”判断△ABC的形状.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.1.余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例.2.用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)已知三边解三角形.(2)已知两边及一角解三角形.3.已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍.1.判断正误(1)余弦定理适用于任意三角形.()(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形.()(3)在△ABC中，已知两边和它们的夹角，△ABC不唯一.()2.在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，则△ABC的最小角为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)3.在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________.4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝eq\r(3)a，则cosA＝________.5.在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x﹣6＝0的根，求第三边c的长.第2课时正弦定理(1)学习目标核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明.(难点)2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养.2.借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养.正弦定理思考：如图，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)，eq\f(b,sinB)，eq\f(c,sinC)各自等于什么？[提示]eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝c.1.在△ABC中，下列式子与eq\f(sinA,a)的值相等的是()A.eq\f(b,c)B.eq\f(sinB,sinA)C.eq\f(sinC,c)D.eq\f(c,sinC)2.在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于()A.5eq\r(2)B.10eq\r(3)C.eq\f(10\r(3),3)D.5eq\r(6)3.在△ABC中，A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于________.4.在△ABC中，若a＝3，b＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,3)，则C＝________.定理证明【例1】在钝角△ABC中，证明正弦定理.[证明]如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°﹣A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).故eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).1.本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固.2.要证eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力.1.如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明eq\f(a,sinA)＝2R.用正弦定理解三角形【例2】已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.1.正弦定理实际上是三个等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.2.适用正弦定理的两种情形：(1)已知三角形的任意两角与一边.(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角.2.已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，求A，C，a.三角形形状的判断[探究问题]1.已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理.[提示]如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2RsinA，即eq\f(a,sinA)＝2R，同理eq\f(b,sinB)＝2R，eq\f(c,sinC)＝2R，所以eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.2.由eq\f(a,sinA)＝2R，eq\f(b,sinB)＝2R，eq\f(c,sinC)＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？[提示]由eq\f(a,sinA)＝2R，eq\f(b,sinB)＝2R，eq\f(c,sinC)＝2R可以得到的变形：sinA＝eq\f(a,2R)，a＝2RsinA；sinB＝eq\f(b,2R)，b＝2RsinB；sinC＝eq\f(c,2R)，c＝2RsinC.由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化.【例3】在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.(变条件)将本例题条件“sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C”改为“b＝acosC”其它条件不变，试判断△ABC的形状.[解]∵b＝acosC，由正弦定理，得sinB＝sinAcosC.(*)∵B＝π﹣(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sinAcosC.∴cosAsinC＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，A＝eq\f(π,2)，即△ABC是直角三角形.1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系.2.注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)等.1.正弦定理的表示形式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k＞0).2.正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.1.判断正误(1)正弦定理不适用直角三角形.()(2)在△ABC中，bsinA＝asinB总成立.()(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.()2.在△ABC中，若sinA＞sinB，则有()A.a＜bB.a≥bC.a＞bD.a，b的大小无法判定3.在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不等边三角形4.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，B＝60°，那么A等于()A.135°B.90°C.45°D.30°5.已知在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，解这个三角形.第3课时正弦定理(2)学习目标核心素养1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题.(重点)2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.(难点)1.通过三角形个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理的素养.2.借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养.1.正弦定理及其变形(1)定理内容：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为外接圆半径).(2)正弦定理的常见变形：①sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；②eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R；③a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；④sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).思考：在△ABC中，已知acosB＝bcosA.你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?[提示]可借助正弦定理把边化成角：2RsinAcosB＝2RsinBcosA，移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosB﹣cosAsinB＝0.2.三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)absinC，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.(2)S△ABC＝eq\f(1,2)ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长.(3)S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)＝eq\f(1,2)rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长.1.在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形2.在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有()A.一解B.两解C.无解D.无法确定3.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为()A.3B.3eq\r(3)C.6D.6eq\r(3)三角形解的个数的判断【例1】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.(1)a＝10，b＝20，A＝80°；(2)a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°.已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.1.△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是.三角形的面积【例2】在△ABC中，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝eq\f(1,2)ab·sinC＝eq\f(1,2)ac·sinB＝eq\f(1,2)bc·sinA.2.(1)在△ABC中，若a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，则b＝.(2)在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于.正弦定理的综合应用[探究问题]1.你能用坐标法证明S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB吗？[提示](以已知a，b，C为例)以△ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为(bcosC，bsinC).过点A作BC边上的高AE，则根据三角函数的定义可得AE＝bsinC，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)·BC·AE＝eq\f(1,2)·a·bsinC＝eq\f(1,2)absinC.同理可得S＝eq\f(1,2)bcsinA，S＝eq\f(1,2)acsinB.故S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB.2.应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？[提示](1)在△ABC中，A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝﹣cosC；eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)﹣eq\f(C,2)⇒sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).(2)若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞eq\f(π,2)，A＋C＞eq\f(π,2)，B＋C＞eq\f(π,2)；A＋B＞eq\f(π,2)⇔A＞eq\f(π,2)﹣B⇔sinA＞cosB，cosA＜sinB.【例3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝﹣sin2C.(1)求C的大小；(2)若c＝2eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，求△ABC的面积.(变条件，结论)将例题中的条件“m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝﹣sin2C”换为“若a＋c＝2b,2cos2B﹣8cosB＋5＝0”求角B的大小并判断△ABC的形状.借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式.1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2.结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用.1.判断正误(1)在△ABC中，A＝30°，a＝2，b＝2eq\r(3)，则B＝60°.()(2)在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，但无法确定具体值.()(3)由两边和一角就可求三角形的面积.()2.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝eq\r(3)，B＝60°，则△ABC的面积为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.1D.eq\r(3)3.在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，则eq\f(b,c)＝.4.在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，则sinA＝，a＝.5.在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求eq\f(2sinA－sinB,sinC)的值.平面向量的应用一课时跟踪练习1.钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围为()A.eq\f(3,2)＜a＜3B.eq\f(3,2)≤a＜3C.eq\f(3,2)≤a≤3D.eq\f(3,2)＜a≤32.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝eq\r(3)a，B＝30°，那么角C等于()A.120°B.105°C.90°D.75°3.已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2﹣1和2x＋1(x＞1)，则△ABC的最大角为()A.150°B.120°C.60°D.75°4.如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定5.在△ABC中，A＝60°，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB的取值范围是()A.[3eq\r(3)，6]B.(2,4eq\r(3))C.(3eq\r(3)，4eq\r(3)]D.(3,6]6.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3eq\r(3)，BD＝5，sin∠ABC＝eq\f(2\r(3),5)，则CD的长度等于________.7.在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.8.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且eq\f(2a－c,c)＝eq\f(tanB,tanC)，则角B的大小为________.9.△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝eq\f(12,13).(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)若c﹣b＝1，求a的值.10.在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断三角形的形状.11.在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求eq\f(a,b)的取值范围.平面向量的应用一随堂检测1.在△ABC中，已知a＝eq\r(5)