人教A版2024年高一数学寒假提高讲义 第07课 平面向量的数乘运算与数量积（原卷版）

第第页第07课平面向量的数乘运算与数量积6.2.3向量的数乘运算学习目标核心素养1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)1.通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养.2.通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养.1.向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(﹣λ)a＝λ(﹣a)＝﹣(λa)；λ(a﹣b)＝λa﹣λb.(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.2.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.思考：定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]定理中a≠0不能漏掉.若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.1.若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()A.b＝2aB.b＝﹣2aC.a＝2bD.a＝﹣2b2.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是()A.eq\o(AB,\s\up14(→))＝3eq\o(BC,\s\up14(→))B.eq\o(AC,\s\up14(→))＝2eq\o(BC,\s\up14(→))C.eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up14(→))D.eq\o(AC,\s\up14(→))＝2eq\o(CB,\s\up14(→))3.化简：2(3a＋4b)﹣8a＝________.4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝λeq\o(AO,\s\up14(→))，则λ＝________.向量的线性运算【例1】(1)若3(x＋a)＋2(x﹣2a)﹣4(x﹣a＋b)＝0，则x＝________.(2)化简下列各式：①3(6a＋b)﹣9(a＋eq\f(1,3)b)；②eq\f(1,2)[(3a＋2b)-(a﹣eq\f(1,2)b)]﹣2(eq\f(1,2)a＋eq\f(3,8)b)；③2(5a﹣4b＋c)﹣3(a﹣3b＋c)﹣7a.向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解—把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解.在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.1.(1)化简eq\f(2,3)[(4a﹣3b)＋eq\f(1,3)b﹣eq\f(1,4)(6a﹣7b)]；(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x﹣2y＝a，﹣4x＋3y＝b，求向量x，y.向量共线定理[探究问题]1.如何证明向量a与b共线？[提示]要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可.2.如何证明A，B，C三点在同一直线上？[提示]要证三点A，B，C共线，只需证明eq\o(AB,\s\up14(→))与eq\o(BC,\s\up14(→))或eq\o(AB,\s\up14(→))与eq\o(AC,\s\up14(→))共线即可.【例2】(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1﹣8e2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝2e1﹣e2，求证：A，B，D三点共线；(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq\o(OP,\s\up14(→))＝xeq\o(OA,\s\up14(→))＋yeq\o(OB,\s\up14(→))，求x＋y的值.1.本例(1)中把条件改为“eq\o(AB,\s\up14(→))＝e1＋2e2，eq\o(BC,\s\up14(→))＝﹣5e1＋6e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝7e1﹣2e2”，则A，B，C，D中哪三点共线？2.本例(1)中条件“eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1﹣8e2”改为“eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？3.试利用本例(2)中的结论判断下列三点是否共线.①eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up14(→))；②eq\o(OP,\s\up14(→))＝﹣2eq\o(OA,\s\up14(→))＋3eq\o(OB,\s\up14(→))；③eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\f(4,5)eq\o(OA,\s\up14(→))﹣eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up14(→)).1.证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(AC,\s\up14(→))(或eq\o(BC,\s\up14(→))＝λeq\o(AB,\s\up14(→))等)即可.(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使eq\o(OA,\s\up14(→))＝xeq\o(OB,\s\up14(→))＋yeq\o(OC,\s\up14(→))且x＋y＝1.2.利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0).而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值.用已知向量表示未知向量【例3】(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，则eq\o(DE,\s\up14(→))＝()A.eq\f(1,2)a﹣bB.eq\f(1,2)a＋bC.a＋eq\f(1,2)bD.a﹣eq\f(1,2)b(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq\o(BC,\s\up14(→))＝a，eq\o(BD,\s\up14(→))＝b，试用a，b分别表示eq\o(DE,\s\up14(→))，eq\o(CE,\s\up14(→))，eq\o(MN,\s\up14(→)).1.本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up14(→)).2.本例(1)中，若点F为边AB的中点，设a＝eq\o(DE,\s\up14(→))，b＝eq\o(DF,\s\up14(→))，用a，b表示eq\o(DB,\s\up14(→)).用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法.(2)方程法.当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系.2.如图所示，四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，eq\o(DC,\s\up14(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(MN,\s\up14(→)).1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ﹣a是没有意义的.2.λa几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍，向量eq\f(a,|a|)表示与向量a同向的单位向量.3.判断两个向量是否共线，关键是能否找到一个实数λ，使b＝λa.若λ存在，则共线；λ不存在，则不共线.4.共线向量定理的应用①证明向量共线：对于向量a与b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线(平行).②证明三点共线：若存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(AC,\s\up14(→))，则A、B、C三点共线.③求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.特别注意：①证明三点共线问题，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.②若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.5.注意记住以下结论并能运用(1)若A，B，P三点共线，则eq\o(OP,\s\up14(→))＝xeq\o(OA,\s\up14(→))＋yeq\o(OB,\s\up14(→))且x＋y＝1.(2)在△ABC中，若D为BC的中点，则eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))).(3)在△ABC中，若G为△ABC的重心，则eq\o(GA,\s\up14(→))＋eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(GC,\s\up14(→))＝0.1.判断正误(1)若b＝λa，则a与b共线.()(2)若λa＝0，则a＝0.()(3)(﹣7)·6a＝﹣42a.()(4)若eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(CD,\s\up14(→))(λ≠0)，则A，B，C，D四点共线.()2.对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝﹣2e；②a＝e1﹣e2，b＝﹣2e1＋2e2；③a＝4e1﹣eq\f(2,5)e2，b＝e1﹣eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1﹣2e2.其中，向量a，b一定共线的有()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④3.设a，b是两个不共线的向量.若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.4.如图所示，已知eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up14(→))，用eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))表示eq\o(OP,\s\up14(→)).6.2.4向量的数量积学习目标核心素养1.平面向量的数量积.(重点)2.投影向量的概念.(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)1.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养.2.通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养.1.两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向.②当θ＝π时，向量a，b反向.③当θ＝eq\f(π,2)时，向量a，b垂直，记作a⊥b.2.平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量.3.投影向量设a，b是两个非零向量，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(CD,\s\up14(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up14(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up14(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up14(→))，这种变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up14(→))叫做向量a在向量b上的投影向量.4.向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝﹣|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.5.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？[提示](a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线.因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立.1.已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(,3),2)C.1D.﹣eq\f(1,2)2.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)3.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，且a与b的夹角为60°，那么a·b等于________.4.已知|b|＝3，a在b方向上的投影是eq\f(2,3)，则a·b为________.向量数量积的计算及投影【例1】(1)已知单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，a＝2e1﹣e2，则a在e1上的投影是________.(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：①(a＋b)·(a﹣b)；②(2a＋b)·(a﹣b).求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.求投影的两种方法：(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cosθ.(2)b在a方向上的投影为eq\f(a·b,|a|)，a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|).1.(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：①a·b；②(2a﹣b)·(a＋3b).(2)设正三角形ABC的边长为eq\r(,2)，eq\o(AB,\s\up14(→))＝c，eq\o(BC,\s\up14(→))＝a，eq\o(CA,\s\up14(→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a.与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq\r(10)，求|b|.求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a﹣b)＝a2﹣b2等.2.若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a﹣2b|＝eq\r(7)，则|b|＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(7),2)C.1D.2与向量垂直、夹角有关的问题[探究问题]1.设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？[提示]a⊥b⇔a·b＝0.2.|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？[提示]|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.当且仅当|cosθ|＝1，即cosθ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).【例3】(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________.(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a﹣5b互相垂直，a﹣4b与7a﹣2b互相垂直，求a与b的夹角.1.将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围.2.将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq\f(π,3)”，求k的值.1.求向量夹角的方法(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求解.(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解.(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角.2.要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cosθ＞0时，θ∈[0，eq\f(π,2))；当cosθ＜0时，θ∈(eq\f(π,2)，π]，当cosθ＝0时，θ＝eq\f(π,2).1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0≤θ＜eq\f(π,2)时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，eq\f(π,2)＜θ≤π时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝eq\f(π,2)时).2.两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝eq\r(,a2).3.要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立.这是因为|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.1.判断正误(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0.()(3)若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b.()(4)若a·b＝a·c，则b＝c.()2.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝﹣1，则a·(2a﹣b)＝()A.4B.3C.2D.03.已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________.4.已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a﹣b|.平面向量的数乘运算与数量积课时跟踪练习1.若eq\o(AB,\s\up16(→))＝3e1，eq\o(CD,\s\up16(→))＝﹣5e1，且|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝|eq\o(BC,\s\up16(→))|，则四边形ABCD是()A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.不等腰的梯形2.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若eq\o(AC,\s\up16(→))＝a，eq\o(BD,\s\up16(→))＝b，则eq\o(AF,\s\up16(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b3.如图所示，向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))的终点A，B，C在一条直线上，且eq\o(AC,\s\up16(→))＝﹣3eq\o(CB,\s\up16(→)).设eq\o(OA,\s\up16(→))＝p，eq\o(OB,\s\up16(→))＝q，eq\o(OC,\s\up16(→))＝r，则以下等式中成立的是()A.r＝﹣eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)qB.r＝﹣p＋2qC.r＝eq\f(3,2)p﹣eq\f(1,2)qD.r＝﹣q＋2p4.若非零向量a，b满足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a﹣b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4)D.π5.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c满足(a﹣c)·(b﹣c)＝0，则|c|的最大值是()A.1B.2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)6.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up16(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up16(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up16(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.7.设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a﹣b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________.8.在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，eq\o(CP,\s\up16(→))＝2eq\o(PD,\s\up16(→)).(1)若四边形ABCD是矩形，求eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BP,\s\up16(→))的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(BP,\s\up16(→))＝6，求eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(AD,\s\up16(→))夹角的余弦值.平面向量的数乘运算与数量积课堂检测1．下列各式计算正确的个数是()①(﹣7)·5a＝﹣35a；②a﹣2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b﹣(a＋b)＝0.A．0B．1C．2D．32．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量eq\o(CD,\s\up16(→))＝()A.eq\o(BC,\s\up16(→))﹣eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))B．﹣eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\