(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习7.8《空间距离及立体几何中的探索性问题》(原卷版)

§7.8空间距离及立体几何中的探索性问题考试要求1.会求空间中点到直线以及点到平面的距离.2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件．知识梳理1．点到直线的距离如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).2．点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度，因此PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up6(→))·n,|n|)))＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.()(2)点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度．()(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等．()(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.()教材改编题1．已知平面α的一个法向量n＝(﹣2，﹣2,1)，点A(﹣1,3,0)在α内，则P(﹣2,1,4)到α的距离为()A．10B．3C.eq\f(8,3)D.eq\f(10,3)2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为()A.eq\r(2)B．2C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(3\r(2),2)3．已知直线l经过点A(2,3,1)且向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(2),2)))为l的一个单位方向向量，则点P(4,3,2)到l的距离为________．题型一空间距离例1如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离．教师备选1.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为________．2．如图，已知△ABC为等边三角形，D，E分别为AC，AB边的中点，把△ADE沿DE折起，使点A到达点P，平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4.求直线DE到平面PBC的距离．思维升华点到直线的距离(1)设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝eq\r(|\o(PA,\s\up6(→))|2－\o(PA,\s\up6(→))·n2).(2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离.跟踪训练1(1)(多选)已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，则下列说法正确的是()A．点A到直线BE的距离是eq\f(\r(5),5)B．点O到平面ABC1D1的距离为eq\f(\r(2),4)C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为eq\f(\r(3),3)D．点P到直线AB的距离为eq\f(25,36)(2)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为________．答案eq\f(\r(14),2)题型二立体几何中的探索性问题例2已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F.(1)求证：点F为B1C1的中点；(2)若点M为棱A1B1上一点，且二面角M﹣CF﹣E的余弦值为eq\f(\r(5),3)，求eq\f(A1M,A1B1)的值．教师备选如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，B1C＝eq\r(6)，AB⊥B1C.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)在棱BB1上是否存在点P，使直线CP与平面ACC1A1所成角的正弦值为eq\f(4,5)，若不存在，请说明理由；若存在，求BP的长．思维升华(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．跟踪训练2如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面DAC夹角的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．课时精练1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝eq\f(π,2)，AB＝BC＝eq\f(1,3)AD＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝a，点F在AD上，且CF⊥PC.(1)求点A到平面PCF的距离；(2)求AD到平面PBC的距离．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD的中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值；(3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为eq\f(2\r(5),5)？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．3．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，AA1＝A1B1＝eq\f(1,2)AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD.(1)若点M是AD的中点，求证：C1M⊥A1C；(2)棱BC上是否存在一点E，使得平面EAD1与平面DAD1夹角的余弦值为eq\f(1,3)？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．4.(2022·潍坊模拟)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正