考点13-轴对称-最短路径问题(解析版)

考点13轴对称——最短路径问题选择题（共12小题）1．（2020·四川成都）如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则此时的值最小．

易知，．∵，，∴．故选：B.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．（2020·银川）如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】作点M关于直线m的对称点，连接交直线m于P，则P处即为给水站位置．根据“两点之间，线段最短”可排除、、选项，可知选项管道最短．故选：．3．（2020·河北武安期末）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，AD是BC边上的中线且AD=6，是AD上的动点，是AC边上的动点，则的最小值是（）.A． B．16 C．6 D．10【答案】A【解析】解：如下图所示，作BG⊥AM于M，交AD于F，∵△ABC中，AB=AC=10，AD是BC边上的中线，∴△ABC是等腰三角形，，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴BF=CF．则有最小值时，有相同的最小值．根据垂线段最短可得出=≥，则取最小值时，．根据三角形的面积公式，可得：，解得：，即的最小值为．故答案选：A．4．（2020·河南永城）如图，在中，，，点、分别在边、上，，点是边上一动点，当的值最小时，，则为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，延长至点，使，过点作于点，交于点，则此时的值最小.在中，，.，，，.，.，，.，，.在中，，.，，.故选B.5．（2020·山西孝义）如图，等腰中，垂直平分，交于点，交于点，点是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如图，连接BG．

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC=3cm，

∵S△ABC=•BC•AD=6，

∴AD=2，

∵EF垂直平分AB，

∴BG=AG，

∴AG+DG=BG+GD，

∵BG+GD≥BD，，

∴GA+GD≥3，

∴GA+GD的最小值为3，

∴△ADG的最小值为2+3=5，

故选：B．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．（2020·安徽利辛月考）已知点M(-4，2)，若点N是y轴上一动点，则M，N两点之间的距离最小值为（

）A．-4 B．2 C．4 D．-2【答案】C【解析】解：过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短∴点N在y轴上的纵坐标为2，此时二者之间的距离最小值为0-（-4）=4故选C7．（2020·安徽安庆期末）如图，∠MON=45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为()A．80° B．90° C．110° D．120°【答案】B【解析】作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称∴A′P⊥OM，B′P⊥ON，A′A=AP，B′B=BP∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，∴∠MON+∠A′PB′=180°∴∠A′PB′=180°-45°=135°在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-135°=45°∴∠A′PA+∠BPB′=45°∴∠APB=135°-45°=90°故答案选择：B8．（2020·山西文水期末）如图，在△中，，、分别是底边和腰上的中线，点为上一动点，则的最小值等于（）A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长【答案】D【解析】解：如图，连接BP，则PE+PC=PE+BP，所以BE就是PE+PC的最小值，故选D.9．（2020·辽宁连山期中）如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】C【解析】如图：

连接AD交EF于点M，

∵等腰△ABC的底边BC长为6，

点D为BC边的中点，

∴AD⊥BC，BD=CD=3，

∵EF是腰AC的垂直平分线，连接CM，

∴AM=CM，

此时△CDM的周长为：CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD

CD的长为3固定，

∴根据两点之间线段最短，

△CDM的周长最小．

∵S△ABC=BC•AD，

∴×6•AD=36，

∴AD=12，

∴AD+CD=12+3=15．

故选：C．10．（2020·山西平遥月考）如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交、边于点、，点为边的中点，点为直线上一动点，则的最小值为（）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】C【解析】∵△ABC是等腰三角形，点D是BC的中点∴AD⊥BC∴AD=6∵EF是线段AC的垂直平分线∴点C关于直线EF的对称点为A∴AD的长为CM+MD的最小值∴CM+MD的最小值为6故答案选择：C.11．（2020·山东武城期中）如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10 B．15 C．20 D．30【答案】A【解析】设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．故选A．12．（2020·广东期中）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，△ABC的面积是16，AC边的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）A．4 B．5 C．10 D．8【答案】C【解析】连接AD，AM．

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴点C关于直线EF的对称点为点A，

∴MA=MC，

∵AD≤AM+MD，

∴AD的长为CM+MD的最小值，

∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．

故选C．填空题（共6小题）13．（2020·南京师范大学附属中学月考）如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是_____°．【答案】100【解析】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故答案为100．14．（2020·江苏省靖江市月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线且AD＝4，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为_____．【答案】【解析】解：作BM⊥AC于M，交AD于F，∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴B、C关于AD对称，∴BF＝CF，根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，即CF+EF≥BM，∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，∴BM＝＝＝，即CF+EF的最小值是，故答案为：．15．（2020·南通市月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，当S△ABC＝12，AC＝8时，BM+MN的最小值等于_____．【答案】3【解析】解：如图，作点B关于AD的对称点B′∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC＝8，S△ABC＝20，∴×8•BE＝12，解得BE＝3，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB＝AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N＝BE＝3，即BM+MN的最小值是3．故答案为：3．16．（2020·江苏省锡山高级中学）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝_____．【答案】30°【解析】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝4，∴∠COD＝2α．又∵△PEF的周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝4，∴OC＝OD＝CD＝4，∴△COD是等边三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故答案为30°17．（2020·广东肇庆期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为．【答案】100°【解析】作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH,∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A''=2(∠AA′M+∠A'')=2×60°=120°．故答案为120°.18．（2020·广西青秀期中）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一动点，连PC、PD，则PD+PC的最小值为_____．【答案】4【解析】如图，连接BP，∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB＝AC，∴AP垂直平分BC，∴CP＝BP，∴PD+PC＝PD+PB，∴当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，又∵△ABD是等边三角形，AB＝BD＝4，∴PD+PC的最小值为4，故答案为4．三．解析题（共6小题）19．（2020·江苏东台月考）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．【解析】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）如图所示：点P即为所求．20．（2020·华东师范大学青岛实验中学期中）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，BC边上的中线AD＝8．（1）证明：△ABC为等腰三角形；（2）点H在线段AC上，试求AH＋BH＋CH的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)19.6【解析】(1)证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC=6，∵AB=10，BD=6，AD=8，∴BD2+AD2=62+82=102，∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BC，∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．(2)解：∵AH+BH+CH=BH+AC=BH+10，∴当BH最小时，AH+BH+HC有最小值，由垂线段的性质可知：当BH⊥AC时，BH有最小值，∴，∴，∴BH=9.6，∴AH+BH+HC的最小值为：10+9.6=19.6．21．（2020·山东高唐期中）如图，在锐角中，，，平分，分别是和上的动点，求的最小值并说明理由.【答案】【解析】解：如图，作关于对称点为，作边上的高（在上），平分，为锐角三角形，必在上，关于的对称点为，，，即（垂线段最短），的面积是，，，，即的最小值为.22．（2020·辽宁连山期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，请在图中画出△AMN，写出画图过程并直接写出∠MAN的度数．【答案】作图见解析，∠MAN的度数为40°．【解析】解：如图所示：作点A关于BC和DC的对称点E和F，连接EF，与BC和DC相交于点M和N，连接AM和AN，根据对称性得：AM＝EM，AN＝FN，AM+AN+MN＝EM+FN+MN＝EF，根据两点之间线段最短，此时△AMN的周长最小，∵∠BAD＝110°，∴∠E+∠F＝180°﹣110°＝70°，∴∠EAM+∠FAN＝70°，∴∠MAN＝∠EAF-（∠EAM+∠FAN）＝40°．答：∠MAN的度数为40°．23．（2020·浙江萧山月考）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,证明详见解析.【解析】解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形．∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形．∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD．∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB．∴∠EAC=∠BDC．∠AFB是△ADF的外角．∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB．∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°．∴∠AFB=90°．如图3，