建筑力学课件

靜力學基本概念第一節力和平衡的概念力的定義

力是物體間相互間的機械作用。力的效應

使物體的機械運動狀態發生改變，叫做力的運動效應或外效應。使物體的形狀發生改變，叫做力的變形效應或內效應。力的三要素

力的大小、方向、作用點稱為力的三要素。F力的單位力的國際單位是牛頓(N)或千牛頓（kN）。力的表示法力是一個向量，用帶箭頭的直線段來表示，如右圖所示（虛線為力的作用線）。

力系:

作用於同一個物體上的一組力。

力系的分類:

各力的作用線都在同一平面內的力系稱平面力系，否則稱為空間力系。平面力系的分類平面匯交力系：各力作用線匯交於同一點的力系。平面力偶系：若干個力偶（一對大小相等、指向相反、作用線平行的兩個力稱為一個力偶）組成的力系。平面力偶系平面匯交力系平面力系的分類平面平行力系：各力作用線平行的力系。平面一般力系：除了平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。平面一般力系平面平行力系等效指兩個力(系)對物體的作用效果完全相同。平衡力系作用在平衡物體上的一個力系。合力與分力若一個力與一個力系等效。則這個力稱為該力系的合力，而力系中的各個力稱為該合力的一個分力。第二節靜力學基本公理二力平衡公理作用在同一剛體上的兩個力，使剛體平衡的必要和充分條件是，這兩個力大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。

上述的二力平衡公理對於剛體是充分的也是必要的，而對於變形體只是必要的，而不是充分的。如圖1.5所示的繩索的兩端若受到一對大小相等、方向相反的拉力作用可以平衡，但若是壓力就不能平衡。

受二力作用而處於平衡的杆件或構件稱為二力杆件（簡稱為二力杆）或二力構件。加減平衡力系公理

在作用於剛體上的任意力系中，加上或去掉任何平衡力系，並不改變原力系對剛體的作用效果。力的可傳性原理

作用於剛體上的力可沿其作用線移動到剛體內任意一點，而不會改變該力對剛體的作用效應。力的平行四邊形法則

作用在物體上同一點的兩個力，可以合成為仍作用於該點的一個合力，合力的大小和方向由以原來的兩個力為鄰邊所構成的平行四邊形的對角線向量來表示。三力平衡匯交定理

一剛體受共面不平行的三力作用而平衡時，此三力的作用線必匯交於一點。作用與反作用定律

兩個相互作用物體之間的作用力與反作用力大小相等，方向相反，沿同一直線且分別作用在這兩個物體上。第三節約束與約束反力

限制物體運動的物體稱為約束物體，簡稱約束。約束必然對被約束物體有力的作用，以阻礙被約束物體的運動或運動趨勢。這種力稱為約束反力，簡稱反力

約束反力位於約束與被約束物體的連接或接觸處，其方向必與該約束所能阻礙物體的運動方向相反。運用這個準則，可確定約束反力的方向和作用點的位置。1．柔體約束

用柔軟的皮帶、繩索、鏈條阻礙物體運動而構成的約束叫柔體約束。這種約束作用是將物體拉住，且柔體約束只能受拉力，不能受壓力，所以約束反力一定通過接觸點，沿著柔體中心線背離被約束物體的方向，且恒為拉力，如圖1.14中的力。2．光滑接觸面約束當兩物體在接觸處的摩擦力很小而略去不計時，其中一個物體就是另一個物體的光滑接觸面約束。這種約束不論接觸面的形狀如何，都只能在接觸面的公法線方向上將被約束物體頂住或支撐住，所以光滑接觸面的約束反力過接觸點，沿著接觸面的公法線指向被約束的物體，只能是壓力，如圖1.15中的力。

3、光滑圓柱鉸鏈約束（簡稱鉸約束）

光滑圓柱鉸鏈約束的約束性質是限制物體平面移動（不限制轉動），其約束反力是互相垂直的兩個力（本質上是一個力），指向任意假設。XYR4．鏈杆約束鏈杆就是兩端鉸接而中間不受力的剛性直杆，由此所形成的約束稱為鏈杆約束。這種約束只能限制物體沿鏈杆軸線方向上的移動。鏈杆可以受拉或者是受壓，但不能限制物體沿其他方向的運動和轉動，所以，鏈杆約束的約束反力沿著鏈杆的軸線，其指向假設。

工程上將結構或構件連接在支承物上的裝置，稱為支座。在工程上常常通過支座將構件支承在基礎或另一靜止的構件上。支座對構件就是一種約束。支座對它所支承的構件的約束反力也叫支座反力。支座的構造是多種多樣的，其具體情況也是比較複雜的，只有加以簡化，歸納成幾個類型，才便於分析計算。建築結構的支座通常分為固定鉸支座，可動鉸支座，和固定(端)支座三類。1．固定鉸支座圖1.18(a)是固定鉸支座的示意圖。構件與支座用光滑的圓柱鉸鏈聯接，構件不能產生沿任何方向的移動，但可以繞銷釘轉動，可見固定鉸支座的約束反力與圓柱鉸鏈約束相同，即約束反力一定作用於接觸點，通過銷釘中心，方向未定。固定鉸支座的簡圖如圖1.18(b)所示。約束反力如圖1.18(c)所示，可以用FRA和一未知方向角α表示，也可以用一個水準力FXA和垂直力FYA表示。2．可動鉸支座圖l.20(a)是可動鉸支座的示意圖。構件與支座用銷釘連接，而支座可沿支承面移動，這種約束，只能約束構件沿垂直於支承面方向的移動，而不能阻止構件繞銷釘的轉動和沿支承面方向的移動。所以，它的約束反力的作用點就是約束與被約束物體的接觸點、約束反力通過銷釘的中心，垂直於支承面，方向可能指向構件，也可能背離構件，視主動力情況而定。這種支座的簡圖如1.20(b)所示，約束反力如圖1.20(c)所示。3．固定端支座整澆鋼筋混凝土的雨篷，它的一端完全嵌固在牆中，一端懸空如圖1.22(a)，這樣的支座叫固定端支座。在嵌固端，既不能沿任何方向移動，也不能轉動，所以固定端支座除產生水準和豎直方向的約束反力外，還有一個約束反力偶(力偶將在第三章討論)。這種支座簡圖如圖1.22(b)所示，其支座反力表示如圖1.22(c)所示。

第四節物體的受力分析與受力圖研究力學問題，首先要瞭解物體的受力狀態，即對物體進行受力分析，反映物體受力狀態的圖稱為受力圖。受力圖的繪製步驟為：

1.取分離體；

2.畫已知力；

3.畫約束反力。例1.2重量為的小球，按圖1.23(a)所示放置，試畫出小球的受力圖。解(1)根據題意取小球為研究對象。(2)畫出主動力：主動力為小球所受重力。(3)畫出約束反力：約束反力為繩子的約束反力以及光滑面的約束反力。小球的受力圖如圖1.23(b)所示。例1.3

畫圖（a）所示結構ACDB的受力圖。解：(1)取結構ACDB為研究對象。(2)畫出主動力：主動力為FP。(3)畫出約束反力：約束為固定鉸支座和可動鉸支座，畫出它們的約束反力，如圖（b）所示。

第五節

結構的計算簡及荷載分類

任何建築物在施工過程中以及建成後的使用過程中，都要受到各種各樣的作用，這種作用造成建築物整體或局部發生變形、位移甚至破壞。例如，建築物各部分的自重、人和設備的重力、風力、地震，溫度變化等等。其中建築物的自重、人和設備的重力、風力等作用稱為直接作用，在工程上稱為荷載；而地震，溫度變化等作用稱為間接作用。工程中，有時不嚴格區分直接作用或間接作用，對引起建築物變形、位移甚至破壞的作用一概稱之為荷載。

荷載的分類:

在工程中，作用在結構上的荷載是多種多樣的。為了便於力學分析，需要從不同的角度，將它們進行分類。1、荷載按其作用時間的長短分為永久荷載（恒載）、可變荷載（活載）和偶然荷載。

3、荷載按作用位置是否變化分為移動荷載和固定荷載。

2、荷載按作用在結構上的性質分為靜力荷載和動力荷載。4、荷載按其作用在結構上的分佈情況分為分佈荷載和集中荷載。

集中荷載:分佈範圍很小，可近似認為作用在一點的荷載；

線分佈荷載:沿直線或曲線分佈的荷載（單位：KN/m）；

面分佈荷載:沿平面或曲面分佈的荷載（單位：KN/m2）；

體分佈荷載:沿物體內各點分佈的荷載（單位：KN/m3）。平面力系的分類平面匯交力系：各力作用線匯交於一點的力系。平面力偶系：若干個力偶（一對大小相等、指向相反、作用線平行的兩個力稱為一個力偶）組成的力系。力系的分類平面力系：各力的作用線都在同一平面內的力系，否則為空間力系。平面平行力系：各力作用線平行的力系。平面一般力系：除了平面匯交力系、平面力偶系、平面平行力系之外的平面力系。對所有的力系均討論兩個問題：1、力系的簡化（即力系的合成）問題；2、力系的平衡問題。

設任意的力F1、F2、F3、F4的作用線匯交於A

點，構成一個平面匯交力系。由力的平行四邊形法則，可將其兩兩合成，最終形成一個合力R

，由此可得結論如下：平面匯交力系的合成與平衡（幾何法）1、平面匯交力系的合成結果是一個合力R；2、平面匯交力系的幾何平衡條件是合力：R=0

AF2F1F4F3R

當投影Fx

、Fy

已知時，則可求出力

F

的大小和方向：力在坐標軸上的投影可根據下式計算：平面匯交力系的合成與平衡（解析法）合力投影定理合力在任一軸上的投影，等於它的各分力在同一軸上的投影的代數和。對於由n個力F1、F2、Fn組成的平面匯交力系，可得：從而，平面匯交力系的合力R的計算式為：從而得平面匯交力系的（解析）平衡條件為：當物體處於平衡狀態時，平面匯交力系的合力R必須為零，即：上式的含義為：所有X方向上的力的總和必須等於零，所有y方向上的力的總和必須等於零。運用平衡條件求解未知力的步驟為：

1、合理確定研究對象並畫該研究對象的受力圖；

2、由平衡條件建立平衡方程；

3、由平衡方程求解未知力。實際計算時，通常規定與坐標軸正向一致的力為正。即水準力向右為正，垂直力向上為正。例1圖示三角支架，求兩杆所受的力。解：取B節點為研究對象，畫受力圖NBCPNBA由∑Y=0，建立平衡方程：由∑X=0，建立平衡方程：解得：負號表示假設的指向與真實指向相反。解得：

解：1.取滑輪B的軸銷作為研究對象，畫出其受力圖。例2

圖(a)所示體系，物塊重

P=20kN，不計滑輪的自重和半徑，試求杆AB和BC所受的力。

在力的作用下，物體將發生移動和轉動。力的轉動效應用力矩來衡量，即力矩是衡量力轉動效應的物理量。

討論力的轉動效應時，主要關心力矩的大小與轉動方向，而這些與力的大小、轉動中心（矩心）的位置、動中心到力作用線的垂直距離（力臂）有關。力的轉動效應——力矩M可由下式計算：M=±FP·d

式中：FP

是力的數值大小，d

是力臂，逆時針轉取正號，常用單位是KN-m

。力矩用帶箭頭的弧線段表示。

集中力引起的力矩直接套用公式進行計算；對於均佈線荷載引起的力矩，先計算其合力，再套用公式進行計算。例1

求圖中荷載對A、B兩點之矩(a)(b)解：圖（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m圖（b）：

MA=-4×2×1=-8kN·mMB=4×2×1=8kN·m力矩的特性1、力作用線過矩心，力矩為零；2、力沿作用線移動，力矩不變。合力矩定理一個力對一點的力矩等於它的兩個分力對同一點之矩的代數和。例2

圖中力對A點之矩解：將力F沿X方向和Y方向等效分解為兩個分力，由合力矩定理得：由於dx=0，所以：力偶和力偶矩力偶——大小相等的二個反向平行力稱之為一個力偶。

力偶的作用效果是引起物體的轉動，和力矩一樣，產生轉動效應。式中：F是力的大小；

d是力偶臂，是力偶中兩個力的作用線之間的距離；逆時針為正，順時針為負。常用單位為KN·m。

力偶的轉動效應用力偶矩表示，它等於力偶中任何一個力的大小與力偶臂d的乘積，加上適當的正負號，即力偶的圖例力偶特性一：力偶的轉動效應與轉動中心的位置無關，所以力偶在作用平面內可任意移動。力偶特性二：力偶的合力為零，所以力偶的效應只能與轉動效應平衡，即只能與力偶或力矩平衡，而不能與一個力平衡。

作用線既不匯交也不完全平行的平面力系稱為平面一般力系，也叫平面任意力系。對於平面一般力系，討論兩個問題：

1、力系的合成；

2、力系的平衡。

下麵討論平面一般力系的合成，先介紹力的等效平移定理。

設圓盤A點處作用一個P力，討論P力的等效平移問題。

力的等效平移原理等效平移一個力，必須附加一個力偶，其力偶矩等於原來的力對新作用點之矩。力系向任意一點O的簡化

應用力的等效平移定理，將平面一般力系中的各個力（以三個力為例）全部平行移到作用面內某一給定點O

。從而這力系被分解為一個平面匯交力系和一個平面力偶系。這種等效變換的方法稱為力系向給定點O的簡化。點O稱為簡化中心。

A3OA2A1F1F3F2M1OM2M3==MOR

匯交力系F1

、F2

、F3

的合成結果為一作用在點O的力R。這個力矢R

稱為原平面任意力系的主矢。

附加力偶系的合成結果是一個作用在同一平面內的力偶

M，稱為原平面任意力系對簡化中心O

的主矩。

因此，平面任意力系向任意一點的簡化結果為一個主矢R

和一個主矩M

，這個結果稱為平面任意力系的一般簡化結果。

幾點說明：

1、平面任意力系的主矢的大小和方向與簡化中心的位置無關。

2、平面任意力系的主矩的大小與轉向與簡化中心O的位置有關。因此，在說到力系的主矩時，一定要指明簡化中心。主矢方向角的正切：主矩M可由下式計算：主矢、主矩的計算：主矢按力多邊形規則作圖求得或用解析法計算。平面任意力系的解析平衡條件

平面任意力系的一般簡化結果為一個主矢R和一個主矩M。當物體平衡時，主矢和主矩必須同時為零。由主矢R=0，即：得：由主矩M=0，得：

這三個平衡條件是互相獨立的，對於一個研究對象可以求解三個未知力，且最多求解三個未知力。

三者必須同時為零，從而得平面任意力系下的解析平衡條件為：

應用平衡條件求解未知力的步驟為：

1、確定研究對象，畫受力圖；

2、由平衡條件建立平衡方程；

3、由平衡方程求解未知力。例1

已知q=2KN/m，求圖示結構A支座的反力。解：取AB杆為研究對象畫受力圖。由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：例2

求圖示結構的支座反力。解：取AB杆為研究對象畫受力圖。由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：由∑y=0

：由∑MA=0

：由∑X=0

：例3

求圖示結構的支座反力。解：取整個結構為研究對象畫受力圖。

物體系統的平衡問題

以上討論的都是單個物體的平衡問題。對於物體系統的平衡問題，其要點在於如何正確選擇研究對象，一旦確定了研究對象，則計算步驟與單個物體的計算步驟完全一樣。下麵舉例講解如何正確選擇研究對象的問題。例4求圖示結構的支座反力。解：

一個研究對象最多有三個平衡條件，因此研究對象上最多只能有三個未知力。注意到BC杆有三個未知力，而AB

杆未知力超過三個，所以應先取BC杆為計算對象，然後再取AB杆為計算對象。

由∑X=0：由∑y=0：由∑MB=0：BC杆：由∑X=0：由∑y=0：由∑MA=0：AB杆：注意作用與反作用關係，所以：例5求圖示三鉸拱的支座反力。由∑y=0：

由∑MA=0：取整體為研究對象，畫受力圖：解：由∑X=0：

第一節變形固體及其基本假設一、變形固體工程上所用的構件都是由固體材料製成的，如鋼、鑄鐵、木材、混凝土等，它們在外力作用下會或多或少地產生變形，有些變形可直接觀察到，有些變形可以通過儀器測出。在外力作用下，會產生變形的固體稱為變形固體。

在靜力學中，由於研究的是物體在力作用下平衡的問題。物體的微小變形對研究這種問題的影響是很小的，可以作為次要因素忽略。因此，認為物體在外力作用下，大小形狀都不發生變化，而把物體視為一個剛體來進行理論分析。在材料力學中，由於主要研究的是構件在外力作用下的強度、剛度和穩定性的問題。對於這類問題，即使是微小的變形往往也是主要影響的因素之一，必須予以考慮而不能忽略。因此，在材料力學中，必須將組成構件的各種固體視為變形固體。

變形固體在外力作用下會產生兩種不同性質的變形：一種是外力消除時，變形隨著消失，這種變形稱為彈性變形；另一種是外力消除後，不能消失的變形稱為塑性變形。一般情況下，物體受力後，即有彈性變形，又有塑性變形。但工程中常用的材料，當外力不超過一定範圍時，塑性變形很小，忽略不計，認為只有彈性變形，這種只有彈性變形的變形固體稱為完全彈性體。只引起彈性變形的外力範圍稱為彈性範圍。本書主要討論材料在彈性範圍內的變形及受力。

二、變形固體的基本假設

變形固體有多種多樣，其組成和性質是非常複雜的。對於用變形固體材料做成的構件進行強度、剛度和穩定性計算時，為了使問題得到簡化，常略去一些次要的性質，而保留其主要的性質，因此，對變形固體材料作出下列的幾個基本假設。

1．均勻連續假設假設變形固體在其整個體積內毫無空隙的充滿了物體，並且各處的材料力學性能完全相同。

實際上，變形固體是由很多微粒或晶體組成的，各微粒或晶體之間是有空隙的，且各微粒或晶體彼此的性質並不完全相同。但是由於這些空隙與構件的尺寸相比是極微小的，同時構件包含的微粒或晶體的數目極多，排列也不規則，所以，物體的力學性能並不反映其某一個組成部分的性能，而是反映所有組成部分性能的統計平均值。因而可以認為固體的結構是密實的，力學性能是均勻的。有了這個假設，物體內的一些物理量，才可能是連續的，才能用連續函數來表示。在進行分析時，可以從物體內任何位置取出一小部分來研究材料的性質，其結果可代表整個物體，也可將那些大尺寸構件的試驗結果應用於物體的任何微小部分上去。

2．各向同性假設假設變形固體沿各個方向的力學性能均相同。實際上，組成固體的各個晶體在不同方向上有著不同的性質。但由於構件所包含的晶體數量極多，且排列也完全沒有規則，變形固體的性質是這些晶粒性質的統計平均值。這樣，在以構件為對象的研究問題中，就可以認為是各項同性的。工程使用的大多數材料，如鋼材、玻璃、銅和澆灌很好的混凝土，可以認為是各向同性的材料。根據這個假設當獲得了材料在任何一個方向的力學性能後，就可將其結果用於其他方向。

在工程實際中，也存在了不少的各向異性材料。例如軋製鋼材、木材、竹材等，它們沿各方向的力學性能是不同的。很明顯，當木材分別在順紋方向、橫紋方向和斜紋方向受到外力作用時，它所表現出的強度或其他的力學性質都是各不相同的。因此，對於由各向異性材料製成的構件，在設計時必須考慮材料在各個不同方向的不同力學性質

3．小變形假設在實際工程中，構件在荷載作用下，其變形與構件的原尺寸相比通常很小，可以忽略不計，所以在研究構件的平衡和運動時，可按變形前的原始尺寸和形狀進行計算。在研究和計算變形時，變形的高次冪項也可忽略不計。這樣，使計算工作大為簡化，而又不影響計算結果的精度。總的來說，在材料力學中是把實際材料看作是連續、均勻、各向同性的彈性變形固體，且限於小變形範圍。

第二節杆件變形的基本形式作用在杆上的外力是多種多樣的，因此，杆件的變形也是多種多樣的。但總不外乎是由下列四種基本變形之一，或者是幾種基本變形形式的組合。

一、軸向拉伸和軸向壓縮在一對大小相等、方向相反、作用線與杆軸線重合的外力作用下，杆件的主要變形是長度改變。這種變形稱為軸向拉伸（圖5－1（a））或軸向壓縮（圖5－1（b））。

二、剪切在一對相距很近、大小相等、方向相反的橫向外力作用下，杆件的主要變形是橫截面沿外力作用方向發生錯動。這種變形形式稱為剪切（圖5－1（c））。

三、扭轉在一對大小相等、方向相反、位於垂直於杆軸線的兩平面內的外力偶作用下，杆的任意橫截面將繞軸線發生相對轉動，而軸線仍維持直線，這種變形形式稱為扭轉（圖5－1（d））。

四、彎曲在一對大小相等、方向相反、位於杆的縱向平面內的外力偶作用下，杆件的軸線由直線彎曲成曲線，這種變形形式稱為彎曲（圖5－1（e））。6.1軸向拉伸與壓縮的概念在工程中以拉伸或壓縮為主要變形的杆件，稱為：拉、壓杆若杆件所承受的外力或外力合力作用線與杆軸線重合的變形，稱為軸向拉伸或軸向壓縮。6.2軸向拉(壓)杆的內力與軸力圖6.2.1拉壓杆的內力

唯一內力分量為軸力其作用線垂直於橫截面沿杆軸線並通過形心。通常規定：軸力使杆件受拉為正，受壓為負。

6.2.2軸力圖

用平行於軸線的座標表示橫截面的位置，垂直於杆軸線的座標表示橫截面上軸力的數值，以此表示軸力與橫截面位置關係的幾何圖形，稱為軸力圖。作軸力圖時應注意以下幾點：

1、軸力圖的位置應和杆件的位置相對應。軸力的大小，按比例畫在座標上，並在圖上標出代表點數值。

2、習慣上將正值（拉力）的軸力圖畫在座標的正向；負值（壓力）的軸力圖畫在座標的負向。例題6.1

一等直杆及受力情況如圖（a）所示，試作杆的軸力圖。如何調整外力，使杆上軸力分佈得比較合理。解：1）求AB段軸力1–1截面：

2–2截面：

3–3截面：

（4）按作軸力圖的規則，作出軸力圖，（5）軸力的合理分佈：如果杆件上的軸力減小，應力也減小，杆件的強度就會提高。該題若將C截面的外力和D截面的外力對調，軸力圖如（f）圖所示，杆上最大軸力減小了，軸力分佈就比較合理。6.3軸向拉(壓)時橫截面上的應力一、應力的概念內力在一點處的集度稱為應力

應力與截面既不垂直也不相切，力學中總是將它分解為垂直於截面和相切於截面的兩個分量

與截面垂直的應力分量稱為正應力表示；

（或法向應力），用與截面相切的應力分量稱為剪應力表示。（或切向應力），用應力的單位是帕斯卡，簡稱為帕，符號為“Pa”。1kPa=103Pa、1MPa=106Pa、1GPa=109Pa1MPa=106N/m2=106N/106mm2=1N/mm26.3.1橫截面上的應力平面假設：受軸向拉伸的杆件，變形後橫截面仍保持為平面，兩平面相對的位移了一段距離。軸向拉壓等截面直杆，橫截面上正應力均勻分佈

正應力與軸力有相同的正、負號，即：拉應力為正，壓應力為負。例6.2一階梯形直杆受力如圖所示，已知橫截面面積為試求各橫截面上的應力。解：計算軸力畫軸力圖利用截面法可求得階梯杆各段的軸力為F1=50kN,F2=-30kN,F3=10kN,F4=-20kN。軸力圖。（2）、計算各段的正應力AB段：BC段：CD段：DE段：例6.3

石砌橋墩的墩身高

其橫截面尺寸如圖所示。如果載荷材料的重度求墩身底部橫截面上的壓應力。墩身橫截面面積：墩身底面應力：（壓）

6.3.2應力集中的概念應力集中的程度用最大局部應力

與該截面上的名義應力

的比值表示

比值K稱為應力集中因數。

在設計時，從以下三方面考慮應力集中對構件強度的影響:

1.在設計脆性材料構件時，應考慮應力集中的影響。

2.在設計塑性材料的靜強度問題時，通常可以不考慮應力集中的影響。

3.設計在交變應力作用下的構件時，製造構件的材料無論是塑性材料或脆性材料，都必須考慮應力集中的影響。6.4軸向拉(壓)時的變形6.4.1軸向變形與胡克定律長為的等直杆，在軸向力作用下，伸長了軸向正應變為：試驗表明：當杆內的應力不超過材料的某一極限值，則正應力和正應變成線性正比關係

稱為胡克定律

英國科學家胡克（RobetHooke，1635~1703）於1678年首次用試驗方法論證了這種線性關係後提出的。胡克定律：

EA稱為杆的拉壓剛度

上式只適用於在杆長為l長度內FN、E、A均為常值的情況下，即在杆為l長度內變形是均勻的情況。6.4.2橫向變形、泊松比則橫向正應變為：

當應力不超過一定限度時，橫向應變與軸向應變之比的絕對值是一個常數。

法國科學家泊松（1781~1840）於1829年從理論上推演得出的結果。

，

橫向變形因數或泊松比表4-1給出了常用材料的E、值。

材料名稱牌號E低碳鋼Q235200~2100.24~0.28中碳鋼452050.24~0.28低合金鋼16Mn2000.25~0.30合金鋼40CrNiMoA2100.25~0.30灰口鑄鐵60~1620.23~0.27球墨鑄鐵150~180鋁合金LY12710.33硬鋁合金380混凝土15.2~360.16~0.18木材（順紋）9.8~11.80.0539木材（橫紋）0.49~0.98表6.1常用材料的E、值6.4.3拉壓杆的位移等直杆在軸向外力作用下，發生變形，會引起杆上某點處在空間位置的改變，即產生了位移。

F1=30kN，F2=10kN,AC段的橫截面面積

AAC=500mm2,CD段的橫截面面積ACD=200mm2，彈性模量E=200GPa。試求：

（1）各段杆橫截面上的內力和應力；（2）杆件內最大正應力；（3）杆件的總變形。

解：(1)、計算支反力=－20kN(2)、計算各段杆件橫截面上的軸力AB段：

FNAB=FRA=－20kNBD段：

FNBD=F2=10kN(3)、畫出軸力圖，如圖（c）所示。

(4)、計算各段應力AB段：

BC段：CD段：

(5)、計算杆件內最大應力（6）計算杆件的總變形整個杆件伸長0.015mm。=0.015mm橫截面面積為，鋼材的彈性模量節點B的鉛垂位移和水準位移？例6.5

圖示托架，已知，圓截面鋼杆AB的直徑，杆BC是工字鋼，其。求托架在F力作用下，解：（1）取節點B為研究對象，求兩杆軸力（2）求AB、BC杆變形（3）求B點位移，利用幾何關係求解。水準位移：

鉛垂位移：

總位移：

6.4

圖示鋼制階梯形直杆，各段橫截面面積分別鋼材的彈性模量試求：

（1）各段的軸力，指出最大軸力發生在哪一段，最大應力發生在哪一段；（2）計算杆的總變形；為：6.5材料在拉伸與壓縮時的力學性能材料的力學性能：是材料在受力過程中表現出的各種物理性質。在常溫、靜載條件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和壓縮時的力學性能。6.5.1標準試樣為比例試樣。國際上使用的比例係數k的值為5.65。

試樣原始標距與原始橫截面面積有關係者若k為5.65的值不能符合這一最小標距要求時，可以採取較高的值（優先採用11.3的值）。採用圓形試樣，換算後和兩種

試樣按照GB/T2975的要求切取樣坯和製備試樣。

6.5.2低碳鋼拉伸時的力學性能低碳鋼為典型的塑性材料。在應力–應變圖中呈現如下四個階段：段）1、彈性階段（段為直線段，點對應的應力P表示

稱為比例極限，用正應力和正應變成線性正比關係，即遵循胡克定律，彈性模量E和的關係：

2、屈服階段（段）過b點，應力變化不大，應變急劇增大，曲線上出現水準鋸齒形狀，材料失去繼續抵抗變形的能力，發生屈服現象

工程上常稱下屈服強度為材料的屈服極限，表示。

用材料屈服時，在光滑試樣表面可以觀察到與軸線成的紋線，稱為滑移線。

3、強化階段（段）材料晶格重組後，又增加了抵抗變形的能力，要使試件繼續伸長就必須再增加拉力，這階段稱為強化階段。處的應力，稱為強度極限()曲線最高點冷作硬化現象，在強化階段某一點處，緩慢卸載，則試樣的應力–應變曲線會沿著回到點。

冷作硬化使材料的彈性強度提高，而塑性降低的現象4、局部變形階段（段）試樣變形集中到某一局部區域，由於該區域橫截面的收縮，形成了圖示的“頸縮”現象

最後在“頸縮”處被拉斷。

代表材料強度性能的主要指標：和強度極限

屈服極限可以測得表示材料塑性變形能力的兩個指標：伸長率和斷面收縮率。（1）伸長率。

低碳鋼的伸長率約為（26～30）%的材料稱為塑性材料(鋼、鋁、化纖等)；

的材料稱為脆性材料(灰鑄鐵、玻璃、陶瓷、混凝土等)。（2）斷面收縮率

低碳鋼的斷面收縮率約為50%～

60%左右

4.5.3其他材料拉伸時的力學性能灰口鑄鐵是典型的脆性材料，其應力–應變圖是一微彎的曲線，如圖示沒有明顯的直線。無屈服現象，拉斷時變形很小，強度指標只有強度極限其伸長率對於沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常以產生0.2%的塑性應變所對應的應力值作為屈服極限表示。

稱為名義屈服極限，用（2002年的標準稱為規定殘餘延伸強度，為0.2%時的應力。）

表示，例如，表示規定殘餘延伸率用6.5.4材料壓縮時的力學性能

金屬材料的壓縮試樣，一般製成短圓柱形，圓柱的高度約為直徑的1.5~3倍，試樣的上下平面有平行度和光潔度的要求

非金屬材料，如混凝土、石料等通常製成正方形。低碳鋼是塑性材料，壓縮時的應力–應變圖，如圖示。

在屈服以前，壓縮時的曲線和拉伸時的曲線基本重合，屈服以後隨著壓力的增大，試樣被壓成“鼓形”，最後被壓成“薄餅”而不發生斷裂，所以低碳鋼壓縮時無強度極限。鑄鐵是脆性材料，壓縮時的應力–應變圖，如圖示，試樣在較小變形時突然破壞，壓縮時的強度極限遠高於拉伸強度極限（約為3~6倍），破壞~的傾角。

斷面與橫截面大致成鑄鐵壓縮破壞屬於剪切破壞。

建築專業用的混凝土，壓縮時的應力–應變圖，如圖示。混凝土的抗壓強度要比抗拉強度大10倍左右。

6.6安全因數、許用應力、強度條件6.6.1安全因數與許用應力塑性材料，當應力達到屈服極限時，構件已發生明顯的塑性變形，影響其正常工作，稱之為失效，因此把屈服極限作為塑性材料的極限應力。脆性材料，直到斷裂也無明顯的塑性變形，斷裂是失效的唯一標誌，因而把強度極限作為脆性材料的極限應力。根據失效的準則，將屈服極限與強度極限通稱為極限應力()把極限應力除以一個大於1的因數，得到的應力值稱為許用應力()大於1的因數n稱為安全因數。

許用拉應力()、許用壓應力用()工程中安全因數n的取值範圍，由國家標準規定，一般不能任意改變。6.6.2強度條件為了保障構件安全工作，構件內最大工作應力必須小於許用應力。公式稱為拉壓杆的強度條件

利用強度條件，可以解決以下三類強度問題：1、強度校核：在已知拉壓杆的形狀、尺寸和許用應力及受力情況下，檢驗構件能否滿足上述強度條件，以判別構件能否安全工作。3、計算許用載荷：已知拉壓杆的截面尺寸及所用材料的許用應力，計算杆件所能承受的許可軸力，再根據此軸力計算許用載荷，運算式為：

2、設計截面：已知拉壓杆所受的載荷及所用材料的許用應力，根據強度條件設計截面的形狀和尺寸，運算式為：在計算中，若工作應力不超過許用應力的5%，在工程中仍然是允許的。例題6.6

已知：一個三角架，AB杆由兩根80×80×7等邊角鋼組成，橫截面積為A1，長度為2m，AC杆由兩根10號槽剛組成，橫截面積為A2，鋼材為3號鋼，容許應力求：許可載荷？解：（1）對A節點受力分析：（2）、計算許可軸力查型鋼表：

由強度計算公式：

（3）計算許可載荷：

例題6.7

起重吊鉤的上端借螺母固定，若吊鉤螺栓內徑材料許用應力試校核螺栓部分的強度。

解：計算螺栓內徑處的面積吊鉤螺栓部分安全。例題6.8

圖示一托架，AC是圓鋼杆，許用拉應力，BC是方木杆，

試選定鋼杆直徑d？解：（1）軸力分析。並假設鋼杆的軸力為研究對象。取結點6.7連接件的強度計算連接構件用的螺栓、銷釘、焊接、榫接等這些連接件，不僅受剪切作用，而且同時還伴隨著擠壓作用。6.7.1剪切實用計算稱為剪切面。

在外力作用下，鉚釘的截面將發生相對錯動，在剪切面上與截面相切的內力，如圖所示。稱為剪力()

在剪切面上，假設切應力均勻分佈，得到名義切應力，即：

剪切極限應力，可通過材料的剪切破壞試驗確定。

極限應力除以安全因數。即得出材料的許用應力剪切強度條件表示為：剪切計算主要有以下三種：1、剪切強度校核；2、截面設計；3、計算許用荷載。例題6.9

正方形截面的混凝土柱，其橫板，邊長為200mm，其基底為邊長1m的正方形混凝土板，柱承受軸向壓力

設地基對混凝土板的支反力為均勻分佈，混凝土的許用切應力試設計混凝土板的最小厚度為多少時，才不至於使柱穿過混凝土板？解：（1）混凝土板的受剪面面積（2）剪力計算（3）、混凝土板厚度設計(4)、取混凝土板厚度才能在鋼板上沖出一個直徑的圓孔。例題6.10

鋼板的厚度，其剪切極限應力，問要加多大的沖剪力F，解：（1）鋼板受剪面面積

（2）剪斷鋼板的沖剪力

例題6.11

為使壓力機在超過最大壓力作用時，重要機件不發生破壞，在壓力機沖頭內裝有保險器（壓塌塊）。設極限切應力，已知保險器（壓塌塊）中的尺寸

試求保險器（壓塌塊）中的尺寸值。解：為了保障壓力機安全運行，應使保險器達到最大衝壓力時即破壞。利用保險器被剪斷，以保障主機安全運行的安全裝置，在壓力容器、電力輸送及生活中的高壓鍋等均可以見到。

6.7.2擠壓實用計算連接件與被連接件在互相傳遞力時，接觸表面是相互壓緊的，接觸表面上的總壓緊力稱為擠壓力，相應的應力稱為擠壓應力()。假定擠壓應力在計算擠壓面上均勻分佈，表示為：

上式計算得到的名義擠壓應力與接觸中點處的最大理論擠壓應力值相近。按名義擠壓應力公式得到材料的極限擠壓應力。從而確定了許用擠壓應力。擠壓強度條件為：對於塑性材料：試求擠壓應力切應力和拉應力例題6.12

圖示木屋架結構端節點A的單榫齒連已知：的作用。及支座A的反力弦杆AB的拉力接詳圖。該節點受上弦杆AC的壓力，下使上弦杆與下弦杆的接觸面力發生擠壓；的水準分力使下弦杆的端部沿剪切面發生力剪切，在下弦杆截面削弱處截面，產生拉伸。解：（1）求截面的擠壓應力計算擠壓面面積：

7.1扭轉的概念及外力偶矩的計算扭轉的概念

軸是以扭轉變形為主要變形的直杆作用於垂直杆軸平面內的力偶使杆引起的變形，稱扭轉變形。變形後杆件各橫截面之間繞杆軸線相對轉動了一個角度，稱為扭轉角，用表示外力偶矩的計算

已知軸所傳遞的功率和軸的轉速。導出外力偶矩、功率和轉速之間的關係為：式中m----作用在軸上的外力偶矩，單位為Nm

N-----軸傳遞的功率，單位為KW

n------軸的轉速，單位為r/min。7.2

圓軸扭轉時橫截面上的內力及扭矩圖7.2.1扭矩平衡條件

內力偶矩T稱為扭矩

扭矩的單位：或扭矩的正負號規定為：自截面的外法線向截面看，逆時針轉向為正，順時針轉向為負

扭矩圖常用與軸線平行的x座標表示橫截面的位置，以與之垂直的座標表示相應橫截面的扭矩，把計算結果按比例繪在圖上，正值扭矩畫在x軸上方，負值扭矩畫在x軸下方。這種圖形稱為扭矩圖。主動輪，輸入功率

，B、C、D為從動輪，輸出功率分別為，試求各段扭矩。，例題7.1

圖示傳動軸，轉速，A輪為解：1、計算外力偶矩為負值說明實際方向與假設的相反。

，2、分段計算扭矩，分別為（圖c）（圖d）（圖e）3、作扭矩圖

1、變形幾何關係7.3

等直圓軸扭轉時橫截面上的切應力7.3.1

實心圓軸橫截面上的應力

⑴變形後，圓軸上所有的橫截面均保持為平面，即平面假設；

⑵橫截面上的半徑仍保持為直線；

⑶各橫截面的間距保持不變。2、物理關係

3、靜力學關係

稱截面的極慣性矩

得到圓軸扭轉橫截面上任意點切應力公式當時，表示圓截面邊緣處的切應力最大

它是與截面形狀和尺寸有關的量。式中稱為抗扭截面係數。7.3.2極慣性矩和抗扭截面係數實心圓截面的極慣性矩：

抗扭截面係數為：空心圓極慣性矩軸：式中為空心圓軸內外徑之比。空心圓的抗扭截面係數極慣性矩的量綱是長度的四次方，常用的單位為mm4抗扭截面係數的量綱是長度的三次方，常用單位為mm3工程上要求圓軸扭轉時的最大切應力不得超過材料的許用切應力，即7.4

等直圓軸扭轉時的強度計算7.4.1圓軸扭轉強度條件上式稱為圓軸扭轉強度條件。塑性材料

脆性材料試驗表明，材料扭轉許用切應力例題7.2

汽車的主傳動軸，由45號鋼的無縫鋼管製成，外徑，，壁厚試校核該軸的強度。工作時的最大扭矩，若材料的許用切應力，解：1、計算抗扭截面係數主傳動軸的內外徑之比2、計算軸的最大切應力抗扭截面係數為3、強度校核主傳動軸安全

解：1、求實心軸的直徑，要求強度相同，即實心軸的最大切應力也為，即

例題7.3

如把上題中的汽車主傳動軸改為實心軸，要求它與原來的空心軸強度相同，試確定實心軸的直徑，並比較空心軸和實心軸的重量。

2、在兩軸長度相等、材料相同的情況下，兩軸重量之比等於兩軸橫截面面積之比，即：討論：由此題結果表明，在其他條件相同的情況下，空心軸的重量只是實心軸重量的31%，其節省材料是非常明顯的。7.5.1

圓軸扭轉時的變形7.5

等直圓軸扭轉時的變形及剛度條件軸的扭轉變形用兩橫截面的相對扭轉角：相距長度為l的兩橫截面相對扭轉角為

當扭矩為常數，且也為常量時，它表示軸抵抗扭轉變形的能力。式中稱為圓軸扭轉剛度，

相對扭轉角的正負號由扭矩的正負號確定，即正扭矩產生正扭轉角，負扭矩產生負扭轉角。若兩橫截面之間T有變化，或極慣性矩變化，亦或材料不同（切變模量G變化），則應通過積分或分段計算出各段的扭轉角，然後代數相加，即：對於受扭轉圓軸的剛度通常用相對扭轉角沿杆長度的變化率用表示，稱為單位長度扭轉角。即：

7.5.2圓軸扭轉剛度條件對於建築工程、精密機械，剛度的剛度條件：將上式中的弧度換算為度，得：在工程中的單位習慣用（度/米）表示，

，對於等截面圓軸，即為：許用扭轉角的數值，根據軸的使用精密度、生產要求和工作條件等因素確定。對於精密機器的軸對一般傳動軸

例題7.4

圖示軸的直徑

，切變模量

試計算該軸兩端面之間的扭轉角。解：兩端面之間扭轉為角：例題7.5

主傳動鋼軸，傳遞功率，轉速，傳動軸的許用切應力許用單位長度扭轉角切變模量

求傳動軸所需的直徑？

解：1、計算軸的扭矩2、根據強度條件求所需直徑

在建築力學以及建築結構的計算中，經常要用到與截面有關的一些幾何量。例如軸向拉壓的橫截面面積A、圓軸扭轉時的抗扭截面係數WP和極慣性矩IP。等都與構件的強度和剛度有關。以後在彎曲等其他問題的計算中，還將遇到平面圖形的另外一些如形心、靜矩、慣性矩、抗彎截面係數等幾何量。這些與平面圖形形狀及尺寸有關的幾何量統稱為平面圖形的幾何性質。第一節

重心和形心

一、

重心的概念地球上的任何物體都受到地球引力的作用，這個力稱為物體的重力。可將物體看作是由許多微小部分組成，每一微小部分都受到地球引力的作用，這些引力匯交於地球中心。但是，由於一般物體的尺寸遠比地球的半徑小得多，因此，這些引力近似地看成是空間平行力系。這些平行力系的合力就是物體的重力。由實驗可知，不論物體在空間的方位如何，物體重力的作用線始終是通過一個確定的點，這個點就是物體重力的作用點，稱為物體的重心。

二、一般物體重心的座標公式

1、一般物體重心的座標公式如圖8—1所示，為確定物體重心的位置，將它分割成n個微小塊，各微小塊重力分別為Gl、G2、……Gn，其作用點的座標分別為(X1、Y1，、z1)、(X2、Y2、z2)…(Xn，Yn、Zn)，各微小塊所受重力的合力W即為整個物體所受的重力G＝ΣGi，其作用點的座標為C(xc，yc、zc)。對y軸應用合力矩定理，有：

同理，對y軸取矩可得：

將物體連同座標轉90o而使座標面oxz成為水平面，再對x軸應用合力矩定理，可得：

因此，一般物體的重心座標的公式為：

第二節靜矩一、定義任意平面幾何圖形如圖A-1所示。在其上取面積微元dA，該微元在Oxy坐標系中的座標為x、y。定義下列積分：

（8-4）

分別稱為圖形對於x軸和y軸的截面一次矩或靜矩，其單位為

。

如果將dA視為垂直於圖形平面的力，則ydA和zdA分別為dA對於z軸和y軸的力矩；

和

則分別為dA對z軸和y軸之矩。圖8-6圖形的靜矩與形心圖形幾何形狀的中心稱為形心,若將面積視為垂直於圖形平面的力，則形心即為合力的作用點。設z、y為形心座標，則根據合力之矩定理(8-5)第三節

慣性炬、慣性積、慣性半徑一、慣性炬、慣性積、慣性半徑的定義1、慣性矩平面圖形對某坐標軸的二次矩，如圖8-9所示。

(8-7)2、慣性積（8-8）

3、慣性半徑量綱為長度的四次方，恒為正。相應定義

(8-9)

為圖形對軸和對軸的慣性半徑。

二、平行移軸公式

由於同一平面圖形對於相互平行的兩對直角坐標軸的慣性矩或慣性積並不相同，如果其中一對軸是圖形的形心軸時，如圖8-11所示，可得到如下平行移軸公式（8-10）

簡單證明之：

其中為圖形對形心軸的靜矩，其值應等於零，則得同理可證（8-10）中的其他兩式。

第四節

形心主慣性軸和形心主慣性矩的概念

從式(8-10)的第三式可以看出，對於確定的點(座標原點)，當坐標軸旋轉時，隨著角度α的改變，慣性積也發生變化，並且根據慣性積可能為正，也可能為負的特點，總可以找到一角度α0以及相應的x0、y0軸，圖形對於這一對坐標軸的慣性積等於零。為確定α0，令式(A-19)中的第三式為零，即由此解得或(8-11)如果將式(8-11)對α求導數並令其為零，即同樣可以得到式(8-10)或(8-11)的結論。這表明:當α改變時,、

的數值也發生變化，而當α=α0時，二者分別為極大值和極小值。定義

過一點存在這樣一對坐標軸，圖形對於其慣性積等於零，這一對坐標軸便稱為過這一點的主軸。圖形對主軸的慣性矩稱為主軸慣性矩，簡稱主慣性矩。顯然，主慣性矩具有極大或極小的特徵。

根據式(8-11)和(8-12)，即可得到主慣性矩的計算式:

(8-12)需要指出的是對於任意一點(圖形內或圖形外)都有主軸，而通過形心的主軸稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。工程計算中有意義的是形心主軸和形心主矩。9.1工程中梁彎曲的概念梁平面彎曲的概念

以軸線變彎為主要特徵的變形形式稱為彎曲變形或簡稱彎曲。以彎曲為主要變形的杆件稱為梁。

當梁上所有外力均作用在縱向對稱面內時，變形後的梁軸線也仍在縱向對稱平面內，這種在變形後樑的軸線所在平面與外力作用面重合的彎曲稱為平面彎曲。

9.1.2單跨靜定梁的類型

梁的約束反力能用靜力平衡條件完全確定的梁，稱為靜定梁。根據約束情況的不同，單跨靜定梁可分為以下三種常見形式：

(1)簡支梁。梁的一端為固定鉸支座，另一端為可動鉸支座。

(2)懸臂梁。梁的一端固定，另一端自由。

(3)外伸梁。簡支梁的一端或兩端伸出支座之外。9.2梁的內力—剪力和彎矩9.2.1梁的­剪力和彎矩梁在外力作用下，其任一橫截面上的內力可用截面法來確定。現分析距A端為x處橫截面m-m上的內力。如果取左段為研究對象，則右段梁對左段梁的作用以截開面上的內力來代替。存在兩個內力分量：內力FQ與截面相切，稱為剪力，內力偶矩M稱為彎矩，9.2.2剪力和彎矩的正負號規定即微段有左端向上而右端向下的相對錯動時，橫截面上的剪力FQ為正號，反之為負號。當微段的彎曲為向下凸即該微段的下側受拉時，橫截面上的彎矩為正號，反之為負號。

9.2.3計算指定截面上的剪力和彎矩例題9.1

外伸梁受荷載作用，圖中截面1-l和2-2都無限接近於截面A，截面3-3和4-4也都無限接近於截面D。求圖示各截面的剪力和彎矩。解：1.根據平衡條件求約束反力2.求截面1-1的內力3.求截面2-2的內力4.求截面3-3的內力5.求截面4-4的內力比較截面1-1和2-2的內力發現說在集中力的兩側截面剪力發生了突變，突變值等該集中力的值。

比較截面3-3和4-4的內力在集中力偶兩側橫截面上剪力相同，而彎矩突變值就等於集中力偶矩。梁的內力計算的兩個規律：

（1）梁橫截面上的剪力FQ，在數值上等於該截面一側（左側或右側）所有外力在與截面平行方向投影的代數和。即：若外力使選取研究對象繞所求截面產生順時針方向轉動趨勢時，等式右邊取正號；反之，取負號。此規律可簡化記為“順轉剪力為正”，或“左上，右下剪力為正”。相反為負。（2）橫截面上的彎矩M，在數值上等於截面一側（左側或右側）梁上所有外力對該截面形心O的力矩的代數和。即：

若外力或外力偶矩使所考慮的梁段產生向下凸的變形(即上部受壓，下部受拉)時，等式右方取正號，反之，取負號。此規律可簡化記為“下凸彎矩正”或“左順，右逆彎矩正”，相反為負。例題9.2

一外伸梁，所受荷載如圖示，試求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和彎矩。解：1.根據平衡條件求出約束力反力2.求指定截面上的剪力和彎矩截面C：根據截面左側梁上的外力得：截面B左、B右：取右側梁計算，得：在集中力作用截面處，應分左、右截面計算剪力；在集中力偶作用截面處，也應分左、右截面計算彎矩。9.3

梁的內力圖—剪力圖和彎矩圖9.3.1剪力方程和彎矩方程在一般情況下，則各橫截面上的剪力和彎矩都可以表示為座標x的函數，FQ=FQ(x)M=M(x)梁的剪力方程梁的彎矩方程9.3.2剪力圖和彎矩圖

以梁橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標，以垂直於梁軸線方向的剪力或彎矩為縱坐標，分別繪製表示FQ(x)和M(x)的圖線。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖，簡稱FQ圖和M圖。繪圖時一般規定正號的剪力畫在x軸的上側，負號的剪力畫在x軸的下側；正彎矩畫在x軸下側，負彎矩畫在x軸上側，即把彎矩畫在梁受拉的一側。例題9.3

圖所示，懸臂梁受集中力F作用，試作此梁的剪力圖和彎矩圖解：1.列剪力方程和彎矩方程

(0＜x＜l)

(0≤x＜l)

2.作剪力圖和彎矩圖

由剪力圖和彎矩圖可知：例題9.4

簡支梁受均布荷載作用，如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力由對稱關係，可得：最大剪力發生在梁端，其值為FQ,max=2.列剪力方程和彎矩方程3.作剪應力圖和彎矩圖最大彎矩發生在跨中，它的數值為Mmax例題9.5

簡支梁受集中作用如圖示，作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力2.列剪力方程和彎矩方程

（0<x<a）

(0≤x≤a)

AC段：例題9.6

簡支梁受集中力偶作用，如圖示，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力2.列剪應力方程和彎矩方程AB段：（0<x<l）CB段：

(a<x<l)

(0≤x≤l)3.作剪力圖和彎矩圖CB段：

(a<x≤l)AC段：

(0≤x≤a)3.繪出剪力圖和彎矩圖

例題9.6

簡支梁受集中力偶作用，如圖示，試畫梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求約束反力2.列剪應力方程和彎矩方程AB段：（0<x<l）CB段：

(a<x<l)

(0≤x≤l)3.作剪力圖和彎矩圖9.4.1分佈荷載集度與剪力、彎矩(q與FQ、M)之間的微分關係9.4彎矩、剪力與分佈荷載集度之間的關係微段的平衡，得彎矩圖上某點的斜率等於相應截面上的剪力。

二階導數的正負可用來判定曲線的凹凸向，

若q(x)<0,彎矩圖為下凸曲線，若q(x)>0,彎矩為上凸曲線，彎矩圖的凹凸方向與q(x)指向一致.

9.4.2常見梁剪力圖、彎矩圖與荷載三者間的關係1.剪力圖與荷載的關係(1)在均布荷載作用的區段，當x座標自左向右取時，若q(x)方向向下，則FQ圖為下斜直線；若q(x)方向向上，FQ圖為上斜直線。剪力圖上某點的斜率等於梁上相應位置處的荷載集度；

(2)無荷載作用區段，即q(x)=0，

FQ圖為平行x軸的直線。(3)在集中力作用處，FQ圖有突變，突變方向與外力一致，且突變的數值等於該集中力的大小。(4)在集中力偶作用處，其左右截面的剪力FQ圖是連續無變化。2.彎矩圖與荷載的關係在均布荷載作用的區段，M圖為拋物線。(2)當q(x)朝下時，M圖為上凹下凸。當q(x)朝上時，M圖為上凸下凹。(3)在集中力作用處，M圖發生轉折。如果集中力向下，則M圖向下轉折；反之，則向上轉折。(4)在集中力偶作用處，M圖產生突變，順時針方向的集中力偶使突變方向由上而下；反之，由下向上。突變的數值等於該集中力偶矩的大小。(1)任一截面處彎矩圖切線的斜率等於該截面上的剪力。(2)當FQ圖為斜直線時，對應梁段的M圖為二次拋物線。當FQ圖為平行於x軸的直線時，M圖為斜直線。3.彎矩圖與剪力圖的關係(3)剪力等於零的截面上彎矩具有極值；反之，彎矩具有極值的截面上，剪力不，一定等於零。左右剪力有不同正、負號的截面，彎矩也具有極值。解：1.求約束反力例題9.7

簡支梁如圖所示，試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關係作此梁的剪力圖和彎矩圖。2.畫FQ圖各控制點處的FQ值如下：FQA右=FQC左=15kNFQC右=FQD=15kN－10kN=5kNFQD=5kNFQB左=－15kN3.畫M圖MA=0,MC=15kN×2m=30kN.mMD=15kN×4m－10kN×2m=40kN.mM­D右=15kN×4m－5kN×4m×2m=20kN.mMB=0例題9.8

一外伸梁如圖示。試用荷載集度、剪力和彎矩間的微分關係作此梁的FQ、M圖。解：1.求約束力2.畫內力圖(1)剪力圖ACB段：

FQA右=FQC=FQB左=－5kNFQ圖為一水準直線

BD段：FQ圖為右下斜直線。FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0作梁的剪力圖

(2)彎矩圖

AC段：FQ<0，故M圖為一右上斜直線

MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m

CB段：

FQ<0,故M圖為一右上斜直線，在C處彎矩有突變。MC右=－5kN×2m+12kN.mMB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.mBD段：

段內有向下均布荷載，M圖為下凸拋物線，MB=－8KN.m，ME=－4×1×0.5=－2KN.m,MD=09.5用疊加法作梁的彎矩圖疊加法是先求出單個荷載作用下的內力（剪力和彎矩），然後將對應位置的內力相加，即得到幾個荷載共同作用下的內力的方法。例題9.9簡支梁所受荷載如圖，試用疊加法作M圖。解：1.荷載分解2.作分解荷載的彎矩圖3.疊加作力偶和均布荷載共同作用下的彎矩圖注意：彎矩圖的疊加，不是兩個圖形的簡單疊加，而是對應點處縱坐標的相加。

9.6應力狀態與強度理論9.6.1應力狀態的概念一點的應力狀態是研究通過受力構件內任一點的各個不同截面上的應力情況。應力狀態分為空間應力狀態和平面應力狀態。全部應力位於同一平面內時，稱為平面應力狀態；全部應力不在同一平面內，在空間分佈，稱為空間應力狀態。應力狀態分類：

在三對相互垂直的相對面上剪應力等於零，而只有正應力。這樣的單元體稱為主單元體，這樣的單元體面稱主平面。主平面上的正應力稱主應力。通常按數值排列，用字母σ1、σ2和σ3分別表示。主應力、主平面：應力狀態按主應力分類：

（1）單向應力狀態。在三個相對面上三個主應力中只有一個主應力不等於零。

（2）雙向應力狀態。在三個相對面上三個主應力中有兩個主應力不等於零。（3）三向應力狀態。其三個主應力都不等於零。例如列車車輪與鋼軌接觸處附近的材料就是處在三向應力狀態下，9.6.2強度理論1、最大拉應力理論（第一強度理論）：理論認為最大拉應力是引起斷裂的主要因素。最大拉應力σ1達到該材料在簡單拉伸時最大拉應力的危險值材料引起斷裂。

其強度條件為：

σ1≤[σ]

理論理論能很好的解釋石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時，沿縱向發生的斷裂破壞。2、最大伸長線應變理論(第二強度理論)：理論認為最大伸長線應變是引起斷裂的主要因素。

拉斷時伸長線應變的極限值為

斷裂準則為：

第二強度理論的強度條件：理論理論能很好的解釋石料或混凝土等脆性材料受軸向壓縮時的斷裂破壞。3、最大剪應力理論（第三強度理論）

理論認為最大剪應力是引起塑性屈服的主要因素，只要最大剪應力τmax達到與材料性質有關的某一極限值，材料就發生屈服。

單向拉伸下，當與軸線成45。的斜截面上的

τmax=s/2時任意應力狀態下

屈服準則：

第三強度理論建立的強度條件為：

4、形狀改變比能理論(第四強度理論)：第四強度理論認為：形狀改變比能是引起塑性屈服的主要因素。

單向拉伸時，

的形狀改變比能。

就是導致屈服的形狀改變比能的極限值。

在機械和鋼結構設計中常用此理論。形狀改變比能屈服準則為：

在複雜應力狀態下，單元體的形狀改變比能為:

整理後得屈服準則為：按第四強度理論得到其強度條件為：5、莫爾強度理論莫爾認為：最大剪應力是使物體破壞的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略(莫爾摩擦定律)。綜合最大剪應力及最大正應力的因素把一點處材料破壞時的最大應力圓稱為極限應力圓。最大剪應力理論較為滿意地解釋了塑性材料的屈服現象莫爾認為：材料在各種不同的應力狀態下，發生破壞時的所有極限應力圓的包絡線為材料的極限曲線；無論一點處的應力狀態如何，只要最大應力圓與極限曲線相切，材料就發生強度失效，其切點對應該破壞面。莫爾強度條件為：對於拉壓強度不同的脆性材料，如鑄鐵、岩石和土體等，在以壓為主的應力狀態下，該理論與試驗結果符合的較好。10.1組合變形的概念組合變形：構件往往會發生兩種或兩種以上的基本變形的這類變形。10.1.1組合變形的概念10.1.2組合變形的分析方法及計算原理處理組合變形問題的方法：1.將構件的組合變形分解為基本變形；2.計算構件在每一種基本變形情況下的應力；3.將同一點的應力疊加起來，便可得到構件在組合變形情況下的應力。疊加原理是解決組合變形計算的基本原理疊加原理應用條件：即在材料服從胡克定律，構件產生小變形，所求力學量定荷載的一次函數的情況下，

計算組合變形時可以將幾種變形分別單獨計算，然後再疊加，即得組合變形杆件的內力、應力和變形。10.2斜彎曲10.2.1斜彎曲的概念如果我們將載荷沿兩主形心軸分解，此時梁在兩個分載荷作用下，分別在橫向對稱平面(彎曲，這類梁的彎曲變形稱為斜彎曲，它是兩個互相垂直方向的平面彎曲的組合。平面）和豎向對稱平面（平面）內發生平面10.2.2斜彎曲時杆件的內力、應力的計算解：1.將力F沿主形心慣性軸分解為兩個分力，

2.在截面mm上產生的彎矩為=和引起的正應力分別為：

10.2.3斜彎曲時的強度條件在一般情況下，