线性定常系统的可控性和可测性

自动控制原理Ⅱ

第四章线性定常系统的可控性〔能控性〕和可观测性〔可观性、能观性〕一.概念可控性和可观性是现代控制理论的两个重要的根底概念.状态空间表达式包括:1.状态方程:描述了控制量及初始状态对系统内部状态的影响,说明了系统内部结构特性.2.输出方程:描述了内部状态及控制量对输出的影响.所以状态空间法能描述全部系统内部的结构与特征。由于内部状态的引入,从而理论上产生了新的概念:状态的可控性。而输出是状态的线性组合,产生了可观性概念。(1).可控性简单来说,可控性问题就是系统的控制输入是否具有影响系统中每一个状态的能力.例如:结构图:就该系统而言,控制u只能影响而不能影响换言之无论参加何种控制量,u都无法改变的运动特性,显然是不可控的.当然如果改变系统的结构,例如改变u的参加点,即改变B阵为时,那么可控,而是控制u通过而到达间接控制的目的.显然,由于状态之间的关联性以及状态对系统特性的不同影响作用,所以可控性是十分重要的.(2)可观性可观性指的是,从系统的输出中能否观测到系统的内部信息,或者说能否量测到状态信息的一种特性,这无论对于了解系统的运行情形还是取得状态信息用作控制都是完全必要的.在上例中而并不包含的信息,因而通过对输出y的测量,无法得到任何的信息,从而是不可观的.二.线性定常系统的可控性根据可控性概念,一个系统是否可控,仅与状态方程有关,即只对进行讨论.其中u假设为内的分段连续函数,称u为容许控制.1.可控性定义假设对状态空间的任一状态存在一个有限时刻和一个容许控制能在时刻使状态转移到零,那么称状态方程在时刻是可控的,反之称为在时刻是不可控的.第二种定义见书.注意到这两种定义是等价的因为在状态空间中的任意一点总可以通过坐标变换把它变换为零点,即坐标原点.因此,转移到0或对控制来讲是一样的情形.对定义的说明:1).时刻的状态应是任意的,也即x(t)的各分量在时的值无论如何给定,都存在容许控制,在时刻将初始状态转移到零,系统方为可控,否那么系统不可控.2).应为有限的时间,的选取与有关,假设趋于无穷那么可控失去意义.3).只说明容许控制,与u的具体形式无关.4).转移到零,对转移过程中的轨迹没有规定对时变系统来说,是否可控与时间坐标有关,故应说明在时刻可控.2.可控性判据可控性判据定理一(秩判据)线性定常系统∑(A,B)其状态完全可控的充要条件是由A,B组成的可控性判别矩阵

必须满秩,即可控性判据定理二(对角形)线性定常系统∑(A,B)具有互不相同的特征值,那么其状态完全可控的充分必要条件是:系统经非奇异变换后的对角线标准形方程中阵不包含元素全为零的行.可控性判据定理三(Jordan标准形判据)<见书>

三.线性定常系统的可观性1.定义:线性定常连续系统的状态方程为:系统在给定控制输入u(t)作用下,对任意初始时刻假设能在有限时间间隔之内,根据从到对系统输出y(t)的观测值和输入u(t),唯一地确定系统在时刻的状态,那么称系统是状态完全能观测的,简称可观测或可观性.假设系统哪怕只有一个状态变量在任意初始时刻时的值不能由系统输出唯一地确定,那么称系统状态不完全可观.2.可观性判据判据定理1.线性定常系统或简称为∑(A,B,C,D)状态可观的充要条件是可观性矩阵必须满秩,即判据定理2.线性定常系统∑(A,B,C,D).具有不相等的特征根,那么其状态可观测的充要条件是,系统经非奇异变换后的对角标准形的矩阵中不包含元素全为零的列.四.可控性和可观性的不变性结论:系统经线性非奇异变换后,其可控性和可观性保持不变,这种性质称为可控性和可观性的不变性.证明略,见书.五.传函中零极对消与可控性和可观性的关系.(自学)要点:1).通过非奇异变换转化成对角形(Jordan)2).根据Jordan形求出G(s)3).根据G(s)找到零极点对消的特征4).由上述特征,并据Jordan可控可观性判据,建立特征值和可控可观性的关系结论：状态完全可控和可观的必要条件是：系统的传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。或：系统的传递函数或传递函数矩阵是不可约的六.线性系统可控性和可观性的对偶关系1.对偶关系设为系统∑〔A,B,C,D)设为系统称和对偶.2.性质(1).对偶系统和的传函阵互为转置,即

(2).对偶系统的特征值是相同的3.对偶原理(1)假设可控那么有可观(2)假设可观那么有可控七.系统动态方程的可控和可观标准形通过对动态方程进行非奇异变换,系统的可控性和可观性不变.因而寻找适当的p使得,从而得到可控和可观标准形.一种简化的矩阵表达形式.本节主要介绍单变量系统的可控,可观标准形.1.单变量可控标准形设线性定常系统A的特征多项式为定理1.设系统∑(A,b,c,d)可控,那么通过等价变换将其变换为如下所示的可控标准形其中由于{A,b}对可控,故p一定是非奇异的2.单变量系统的可观标准形定理2.设系统∑(A,b,c,d)可观,那么可通过等价变换将其化成如下可观标准形式.其中p同前.

八.有理传递函数(阵)的实现问题(1).实现问题的定义:构造一个动态方程,使其传递函数(阵)与事先给定的某个传递函递(阵)相等,称为实现问题.其目的,主要用于对系统进行仿真,了解系统的内部外部特性.(2).正那么有理传递函数(阵)假设传函(阵)的分子多项式次数为m,分母多项式的次数为n.假设m<n称传函(阵)为严格正那么有理传函(阵)假设称传函(阵)为正那么有理传函(阵).(3).实现-------主要讨论严格正那么有理传函的实现,并构造下述标准形,即用下述标准形来完成实现.1).对角形2).约当标准形3).可控标准形4).可观标准形.(4).最小实现问题对单变量系统而言,只有当(A,b,c)的维数等于给定传递函数分母的阶数时,才是最小实现,这时不出现零极点对消,动态方程既可观又可控的,也称为可控可观实现.(5).重点掌握和了解单变量实现问题.定义:对给定传函阵W(s)假设有一状态空间表达式∑(A,B,C,D)使之成立,那么称该状态空间表达式为传函阵W(s)的一个实现.九.线性定常连续系统的结构分解一.目的如果一个系统是不完全能控的，那么其状态空间中所有能控状态构成能控子空间，其余为不能控子空间。如果一个系统是不完全能观的，那么其状态空间中所有能观状态构成能观子空间，其余为不能观子空间。

但是在一般形式下，这些子空间并没有明显的区分，因此需要采取一些方法，将这些能控/能观子空间分解出来。分解出来的目的是：1〕进一步揭示系统的本质特征；2〕为系统设计提供依据。

二.方法通过非奇异变换即坐标变换，将系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解。具体来说⑴就是将系统的状态空间表达式分解为一局部状态与输入〔控制〕有关的局部，另一局部状态那么在形式上就与输入〔控制〕无关的局部。

显然那些与输入〔控制〕无关的状态是不可控的，这些状态构成了不可控子空间。而与输入〔控制〕有关的状态是可控的，这些状态构成了可控子空间。上述方法称为按能控性分解，显然主要是对A和B进行变换。⑵.另一种，那么是按能观性分解，其方法是类似的。即将状态空间表达式中的状态分解为：一局部状态与输出有关，另一局部状态那么与输出是无关的。显然这主要是通过对C的变换来到达。⑶.第三种方法是按能控性和能观性进行分解显然如果系统不可控也不可观，那么需要同时进行可控和可观性分解。A,B,C三.按可控性分解设定常系统

是状态不完全能控，其能控性判别阵：的秩那么存在非奇异变换：〔3－2〕将状态空间表达式3－1，变换为：〔3－3〕其中可以看出，状态空间表达式变换为式3－3后，系统的状态空间就被分解成能控和不能控的局部，其中维子空间：是能控的，而维子系统：是不能控的.而对于非奇异变换阵：其中个列矢量可以按如下方法构成：①前个列矢量是可控判别矩阵M中的个线性无关的列；②另外个列向量在确保为非奇异下，完全是任意的。结构图分解例：设线性定常系统如下，判别其能控性，假设不是完全能控，试将该系统进行可控性分解。解：系统的可控性判别阵为：按列作秩判断，那么得到：故为不可控.那么按M变换后的最后一个矩阵即检查，故满秩。那么那么能控子系统为：不能控子系统为：四、按可观性分解设线性定常系统：(4-1)其状态不完全能观，其可观性判别阵的秩那么存在非奇异变换，将状态空间表达式4－1，变换为其中可见，经上述变换后系统分解为能观的维子系统，和不能观的维子系统假设不考虑维子系统，